Tìm giá trị nhỏ nhất

canh_96 · 01-03-2024, 11:48 AM

Với các số thực $x,\,y$ thỏa mãn $x+y=1$, tìm giá trị nhỏ nhất của
$$P(x,\,y)=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}.$$

2M · 01-03-2024, 12:10 PM

Giả như có giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $m$, lúc đó chọn
$$x=-\frac{1}{4+2|m|},\,y=1-x.$$
Thế thì có $- \frac{1}{2} \le x < 0,\;y > 1$ nên $x^3+y^3>\dfrac{1}{2}$ và do đó có mâu thuẫn
\[P\left( {x,{\mkern 1mu} y} \right) < 2 + \frac{1}{{xy}} =2 - \left( {2 + |m|} \right)\left( {\frac{{8 + 4|m|}}{{5 + 2|m|}}} \right) < 2 - \left( {2 + |m|} \right) = - |m| \le m.\]
Vậy, không tồn tại giá trị bé nhất của $P$.

01-03-2024, 11:48 AM	#1
canh_96 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 4 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	Tìm giá trị nhỏ nhất Với các số thực $x,\,y$ thỏa mãn $x+y=1$, tìm giá trị nhỏ nhất của $$P(x,\,y)=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}.$$

01-03-2024, 12:10 PM	#2
2M thảo dân Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 192 Thanks: 108 Thanked 509 Times in 146 Posts	Giả như có giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $m$, lúc đó chọn $$x=-\frac{1}{4+2\|m\|},\,y=1-x.$$ Thế thì có $- \frac{1}{2} \le x < 0,\;y > 1$ nên $x^3+y^3>\dfrac{1}{2}$ và do đó có mâu thuẫn \[P\left( {x,{\mkern 1mu} y} \right) < 2 + \frac{1}{{xy}} =2 - \left( {2 + \|m\|} \right)\left( {\frac{{8 + 4\|m\|}}{{5 + 2\|m\|}}} \right) < 2 - \left( {2 + \|m\|} \right) = - \|m\| \le m.\] Vậy, không tồn tại giá trị bé nhất của $P$. __________________ ./.