Đề thi vào 10 THPT chuyên Hà Nội Amsterdam năm học 2012 - 2013

[liverpool29]

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - TIN TRƯỜNG THPT HÀ NỘI - AMSTERDAM
(Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu 1. (2 điểm)
1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ thì $n^{5}+5n^{3}-6n$ chia hết cho $30$.
2. Cho số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n\left ( n+1 \right )+6$ không chia hết cho 3. Chứng minh rằng $2n^{2}+n+8$ không phải là số chính phương.
Câu 2. (2 điểm)
1. Giải hệ phương trình sau $\left\{\begin{matrix} x-2y-\frac{2}{x}+1=0\\x^{2}-4xy+4y^{2}-\frac{4}{x^{2}}+1=0\\ \end{matrix}\right.$
2. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=2 xy-yz-zx $.
Câu 3. (3 điểm)
Cho đường tròn $\left ( O, R \right )$ và dây cung $BC$ cố định $\left (BC<2R \right )$. Một điểm $A$ di động trên đường tròn $\left ( O, R \right )$ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn. Gọi $AD$ là đường cao và $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
1. Đường thẳng chứa phân giác ngoài $\angle BHC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng tam giác $AMN$ cân.
2. Gọi $E, F$ là hình chiếu của $D$ lên $BH, CH$. Chứng minh rằng $OA$ vuông góc với $EF$.
3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ cắt đường phân giác trong $\angle BAC$ tại $K$. Chứng minh rằng $HK$ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 4. (1 điểm)
Tìm các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn $(x+1)(y+z)=xyz+2$
Câu 5. (1 điểm)
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, bán kính $R=2cm$. Chứng minh rằng trong số 17 điểm $A_{1}, A_{2},..., A_{17}$ bất kì nằm trong tứ giác $ABCD$ luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 cm.

Nguồn: diendantoanhoc.net

Đề có gì sai thì mọi người đừng ném đá nhé.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vjpd3pz41iuai]

Câu 1:
1/$P=n^{5}-n+5n^{3}-5n=(n-1)n(n+1)(n^{2}+1) $ chia hết cho 5
Lại có $P=n^{5}-n^{3}+6n^{3}-6n=n^{2}(n-1)(n+1) +6n^{3}-6n $ chia hết cho 6
Nên P chia hết cho 30
2/Vì $n(n+1)+6 $ không chia hết cho 3 nên $n(n+1) $ không chia hết cho 3 nên $n\equiv 1(mod3) $ thì $P\equiv 2(mod3) $ không cp
Câu 2:
1/$(x-2y)-(\frac{2}{x}-1)=0 $
$(x-2y)^{2}-(\frac{4}{x^{2}}-1)=0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Oxyz]

Sao mới có 9/10 điểm nhỉ. Thiếu 1 bài à.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Nguyên văn bởi liverpool29

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - TIN TRƯỜNG THPT HÀ NỘI - AMSTERDAM
(Thời gian làm bài: 150 phút)

2. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=2\left ( xy-yz-zx \right )$.

Câu này quá dễ:
Xét $(x+y-z)^2\geq 0 $
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy-yz-xz)\geq 0 $
$\Leftrightarrow 2012+M\geq 0 $
$\Rightarrow M\geq -2012 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TNP]

Nguyên văn bởi liverpool29

Câu 1. (2 điểm)
1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ thì $n^{5}+5n^{3}-6n$ chia hết cho $30$.
2. Cho số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n\left ( n+1 \right )+6$ không chia hết cho 3. Chứng minh rằng $2n^{2}+n+8$ không phải là số chính phương.

Dễ thấy $n+2 \vdots 3$, ta có
$2n^2+n+8=2(n^2-4)+n+2+14$ chia 3 dư 2, suy ra $2n^2+n+8$ không là số chính phương
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Nguyên văn bởi liverpool29

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - TIN TRƯỜNG THPT HÀ NỘI - AMSTERDAM
(Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu 2. (2 điểm)
1. Giải hệ phương trình sau $\left\{\begin{matrix} x-2y-\frac{2}{x}+1=0\\x^{2}-4xy+4y^{2}-\frac{4}{x^{2}}+1=0\\ \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x-2y-\frac{2}{x}+1=0\\(x-2y)^2-\frac{4}{x^{2}}+1=0\\ \end{matrix}\right. $
Đặt $t=x-2y; u=\dfrac{1}{x} $ ta có:
$\left\{\begin{matrix} t-2u=-1\\t^2-4u^2=-1\\ \end{matrix}\right. $
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t-2u=-1\\t+2u=1\\ \end{matrix}\right. $
Đến đây thì dễ rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vjpd3pz41iuai]

Bài cuối chắc là chia tứ giác thành 16 phầnNhưng khó chia quá
------------------------------
Bài nghiệm nguyên thì biến đổi $x=\frac{2-(y+z)}{y+z-yz}=\frac{2-yz}{y+z-xz}-1 $
Để pt có nghiệm nguyên dương thì $2-yz $ chia hết cho $y+z-yz $
$\rightarrow 2-yz\geq y+z-yz\rightarrow y+z\leq 2 $
Đến đây chắc ok rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[12121993]

Nguyên văn bởi vjpd3pz41iuai

Bài cuối chắc là chia tứ giác thành 16 phầnNhưng khó chia quá
------------------------------
Bài nghiệm nguyên thì biến đổi $x=\frac{2-(y+z)}{y+z-yz}=\frac{2-yz}{y+z-xz}-1 $
Để pt có nghiệm nguyên dương thì $2-yz $ chia hết cho $y+z-yz $
$\rightarrow 2-yz\geq y+z-yz\rightarrow y+z\leq 2 $
Đến đây chắc ok rồi

Sai rồi bạn!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vjpd3pz41iuai]

Nguyên văn bởi 12121993

Sai rồi bạn!

Sai ở đâu vậy bạn,chỉ cho mình với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[12121993]

Nguyên văn bởi vjpd3pz41iuai

Sai ở đâu vậy bạn,chỉ cho mình với

phải là trị tuyệt đối của $2-yz $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[anh19101997]

Câu 2.2 sai đề rồi:
đề em ghi là M=2xy-yz-zx cơ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vjpd3pz41iuai]

Nguyên văn bởi 12121993

phải là trị tuyệt đối của $2-yz $

sao lại trị tuyệt đối
------------------------------

Nguyên văn bởi anh19101997

Câu 2.2 sai đề rồi:
đề em ghi là M=2xy-yz-zx cơ

thế thì chắc chắn là dùng tam thức
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Trầm]

Ta sẽ thay $z$ bằng $-z$ $\Rightarrow M=2xy+yz+zx$
Ta có:
$(x+y+z)^2 +(x+y)^2+z^2 \ge 0\\
\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)+2(2xy+yz+zx) \ge 0\\
\Rightarrow 2xy+yz+zx \ge -2012$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Mấy em post đề ẩu vậy???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lilsalyn]

Nguyên văn bởi vjpd3pz41iuai

Bài cuối chắc là chia tứ giác thành 16 phầnNhưng khó chia quá
------------------------------
Bài nghiệm nguyên thì biến đổi $x=\frac{2-(y+z)}{y+z-yz}=\frac{2-yz}{y+z-xz}-1 $
Để pt có nghiệm nguyên dương thì $2-yz $ chia hết cho $y+z-yz $
$\rightarrow 2-yz\geq y+z-yz\rightarrow y+z\leq 2 $
Đến đây chắc ok rồi

Theo mình thì để chia xuống thì phải xét trường hợp $ y+z=yz \Leftrightarrow (y-1)(z-1) =1 \Leftrightarrow y=z=2 $, thay vào thì không thoả.
Trường hợp $ y+z>yz \Leftrightarrow 1> (y-1)(z-1) \Leftrightarrow y=1 \vee z=1 $. Với $y=1 $, $ x= \frac{2-(y+z)}{y+z-yz} = 1-z \geqslant 1 \Rightarrow 0 \geqslant z $, không thoả. Tương tự với $ z = 1 $
Trường hợp $ y+z<yz \Leftrightarrow 1 < (y-1)(z-1) \Rightarrow y,z>1 $. Ta có: $ x= \frac{2-(y+z)}{y+z-yz} \geqslant 1 \Leftrightarrow 2-y-z \leqslant y+z-yz \Leftrightarrow (y-2)(z-2) \leqslant 2 $.
Không mất tính tổng quát, giả sử $ y \geqslant z $,
với $ z=2 $, ta giải được $ (x;y) = (2;4), (3;3) $
với $ z=3 \Rightarrow y=3;4 $, thay vô ta nhận $ (x;y) = (1;4) $
với $ z=4 $ thì không có $ y $
Vì hồi nãy ta giả sử $ y \geqslant z $ nên khi đếm nghiệm ta sẽ hoán vị y và z.
Tóm lại, $ (x;y;z) = (1;4;3),(1;3;4),(2;4;2)(2;2;4),(3;3;2);(3;2;3) $
Qua đó thấy là $ y+z\leq 2 $ của bạn vjpd3pz41iuai là chưa chính xác.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]