BĐT-Đánh giá từng biến-7

[MathNMN2016]

Đề bài:

Cho x, y và z là ba số thực có tổng khác 0, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ). $

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{12}\leq \frac{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x}{\left ( x+y+z \right )^{3}}\leq \frac{5}{36}. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Có ai có cách tiếp cận cho bài này chưa ạ?


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Ở [Only registered and activated users can see links. ] có 1 cách tiếp cận cho bất đẳng thức chứa biểu thức không đối xứng mà hoán vị như trên.

Liệu có thể áp dụng tương tự vào bài toán nay hay còn một cách tiếp cận nào khác, mọi người cùng góp ý, thảo luận ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Sử dụng các tính toán trong topic [Only registered and activated users can see links. ], và dùng chuẩn hóa $p=x+y+z=2, q=xy+yz+xz=1$.

Đặt
$P=x^2z + xy^2 + yz^2, Q=x^2y + xz^2 + y^2z.$
Ta cần chứng minh
\[ \frac{2}{3} \le Q \le \frac{10}{9}.\]

Ta có

$\begin{cases} P+Q=pq-3r=2-3r,\\
PQ= 9r^2 + (p^3 - 6pq)r + q^3=9r^2 - 4r + 1.\end{cases}$
Với $0\le r \le \frac{4}{27}.$
Vì phương trình bậc 2: $X^2- (2-3r)X+9r^2 - 4r + 1=0$ có hai nghiệm $X_1, X_2$ (với $X_1\le X_2$) nên

Do đó
\[ \frac{2-3r-\sqrt{10r-27r^2}}{2}=X_1 \le Q \le X_2= \frac{2-3r+\sqrt{10r-27r^2}}{2}.\]
Do đó ta cần chứng minh
\[\frac{2-3r-\sqrt{4r-27r^2}}{2}\ge \frac{2}{3},\]
và
\[\frac{2-3r+\sqrt{4r-27r^2}}{2}\le \frac{10}{9}.\]

BĐT đầu tiên tương đương $4(9r - 1)^2\ge 0.$ Và BĐT thứ 2 tương đương $4(27r - 1)^2\ge 0$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Em giải theo hướng giống của anh ở bài toán 6:

Em chứng minh được:

$\left ( P-\frac{2}{3} \right )\left ( Q-\frac{2}{3} \right )\geq 0, $

và:

$\left ( P-\frac{10}{9} \right )\left ( Q-\frac{10}{9} \right )\geq 0 $

Rồi suy ra kết luận bài toán, với lưu ý $\frac{14}{9}\leq P+Q\leq 2 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Em giải theo hướng giống của anh ở bài toán 6:

Em chứng minh được:

$\left ( P-\frac{2}{3} \right )\left ( Q-\frac{2}{3} \right )\geq 0, $

và:

$\left ( P-\frac{10}{9} \right )\left ( Q-\frac{10}{9} \right )\geq 0 $

Rồi suy ra kết luận bài toán, với lưu ý $\frac{14}{9}\leq P+Q\leq 2 $.

Các bài này đều tính toán rất cực. Tuy nhiên, mình đỡ phải suy nghĩ.

Tính toán như em đề cập ở trên nhẹ nhàng hơn!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Dạ đúng rồi anh, khi em bắt đầu với ý tưởng cho chuỗi các bài toán này, điều em muốn đạt được là sử dụng một tư duy để giải những bài toán "khác nhau".


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]