Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán trường KHTN Huế

[liverpool29]

Câu 1: (3 điểm)
$1)$ Tính giá trị biểu thức:
$A=\dfrac{x^4-6x^3-2x^2+18x+25}{x^2-8x+15}$ khi $x=\sqrt{19-8\sqrt{3}}$
$2)$ Giải phương trình: $x^2-\sqrt{x+12}=12$
$3)$ Giải hệ phương trình:
$\begin{cases}xy+x+y=5 \\ (x+1)^3+(y+1)^3=35 \end{cases}$

Câu 2: (1.5 điểm)
Cho các số thực $a,b,x,y$ thoả $a,b,a+b$ khác $0$, $x^2+y^2=1$ và $\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}$. Chứng minh rằng:
$1)$ $bx^2=ay^2$
$2)$ $\dfrac{x^{2012}}{a^{1006}}+\dfrac{y^{2012}}{b^{10 06}}= \dfrac{2}{ (a+b)^{1006} }$

Câu 3: (1.5 điểm) Cho $k$ là tham số sao cho phương trình $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=k$ có 4 nghiệm $x_1,x_2,x_3,x_4$ khác $0$. Tính giá trị sau theo $k$:
$P=\dfrac{1}{x_1}+ \dfrac{1}{x_2}+ \dfrac{1}{x_3}+ \dfrac{1}{x_4}$

Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $BC$ cố định. Lấy $A$ tuỳ ý trên (O) ($A$ khác $B,C$). Vẽ đường cao $AH$ của tam giác. Gọi $I,J,K$ lần lượt là tâm nội tíêp của $ABC,HAB,HAC$.
$1)$ Chứng minh $AI \perp JK$
$2)$ Chứng minh tứ giác $BCJK$ nội tiếp được.
$3)$ Khi $A$ di đông trên (O) thì $I$ chạy trên đường nào? Nêu cách vẽ đường này.

Câu 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương $n$ đề $Q=n^2-19n+91$ là số chính phương.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Nguyên văn bởi liverpool29

Câu 1: (3 điểm)
$1)$ Tính giá trị biểu thức:
$A=\dfrac{x^4-6x^3-2x^2+18x+25}{x^2-8x+15}$ khi $x=\sqrt{19-8\sqrt{3}}$
$2)$ Giải phương trình: $x^2-\sqrt{x+12}=12$
$3)$ Giải hệ phương trình:
$\begin{cases}xy+x+y=5 \\ (x+1)^3+(y+1)^3=35 \end{cases}$

Câu 2: (1.5 điểm)
Cho các số thực $a,b,x,y$ thoả $a,b,a+b$ khác $0$, $x^2+y^2=1$ và $\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}$. Chứng minh rằng:
$1)$ $bx^2=ay^2$
$2)$ $\dfrac{x^{2012}}{a^{1006}}+\dfrac{y^{2012}}{b^{10 06}}= \dfrac{2}{ (a+b)^{1006} }$

Câu 3: (1.5 điểm) Cho $k$ là tham số sao cho phương trình $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=k$ có 4 nghiệm $x_1,x_2,x_3,x_4$ khác $0$. Tính giá trị sau theo $k$:
$P=\dfrac{1}{x_1}+ \dfrac{1}{x_2}+ \dfrac{1}{x_3}+ \dfrac{1}{x_4}$

Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $BC$ cố định. Lấy $A$ tuỳ ý trên (O) ($A$ khác $B,C$). Vẽ đường cao $AH$ của tam giác. Gọi $I,J,K$ lần lượt là tâm nội tíêp của $ABC,HAB,HAC$.
$1)$ Chứng minh $AI \perp JK$
$2)$ Chứng minh tứ giác $BCJK$ nội tiếp được.
$3)$ Khi $A$ di đông trên (O) thì $I$ chạy trên đường nào? Nêu cách vẽ đường này.

Câu 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương $n$ đề $Q=n^2-19n+91$ là số chính phương.

Câu hệ pt.
$$\begin{cases}xy+x+y=5 \\ (x+1)^3+(y+1)^3=35 \end{cases}v \Leftrightarrow \begin{cases}(x+1)(y+1)=6 \\ (x+1)^3+(y+1)^3=35 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(x+1)(y+1)=6 \\ (x+y+2)^3=53 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases}(x+1)(y+1)=6 \\ x+y+2=5 \end{cases}$$
Đến đây quy về phương trình bậc 2, kết quả là: $x=2, y =1$ hoặc $x=1, y=2$
Câu 2:
Áp dụng BĐT CS ta có: $$(a+b)\left(\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}\right) \ge \left(x^2+y^2\right)^2=1$$
Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{x^2}{a}=\dfrac{y^2}{b}$
a) từ điều kiện dấu bằng ra ngay đpcm.
b) Dễ thấy là cần chứng minh được:
$\left(\dfrac{x^2}{a}\right)^{1006}+\left(\dfrac{y ^2}{b}\right)^{1006}=\dfrac{2}{(a+b)^{1006}}$
Từ đây chú ý là đã có: $\dfrac{x^2}{a}=\dfrac{y^2}{b}$. Thế vào đẳng thức ta suy ra đpcm.
Câu 4.
a. Do $\angle{HAB}=\angle{ACB}$ nên $\angle{JAH}=\angle{ACI}=\angle{BCI}$ Do đó dễ dàng suy ra $CI$ $\perp AJ$, tương tự $BJ \perp AK$.
Do đó $I$ là trực tâm tam giác $AJK$. Từ đó suy ra $AI \perp JK$.
b) Gọi $M, N$ là giao điểm của $BI, CI$ với $(O)$. Suy ra $MN \perp AI$. Do đó $MN \| JK$. Suy ra $\angle{JBC}=\angle{MNC}=\angle{NKJ}$
Suy ra tứ giác $BCKJ$ nội tiếp.
c) Gọi $P, Q$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$ và chứa $A$ thì $PB=PC=PI$ do đó $I$ thuộc đường tròn tâm $P$ bán kính $PB$ cố định. Nhưng do $I$ di chuyển trên toàn bộ hình tròn và trường hợp trên chỉ xét $A$ nằm trên một nửa đường tròn do đó quỹ tích $I$ sẽ là cung hai cung nhỏ $BC$ của đường tròn tâm $P$ bán kính $PB$ và tâm $Q$ bán kính $QB$.
Câu 5. $4Q=(2n-19)^2+3$
Do $Q$ là số chính phương nên $4Q$ cũng chính phương, từ đó đặt $4Q=a^2$ suy ra: $(a-2n+19)(a+2n-19)=3.$
Đến đây chia trường hợp ra giải.
Đáp số là: $n=9$ và $n=10$
Mấy bạn xem xem có sai xót ko
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TNP]

Em xin được giải thử câu 3, các anh xem có đúng không
Câu 3:
Ta có $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=k(1)$
$\Leftrightarrow (x^2-5x+5)^2=k+1 (DK:k \geq -1$)
$\Leftrightarrow (x^2-5x+5-\sqrt{k+1})(x^2-5x+5+\sqrt{k+1})=0$
Dễ thấy rằng (1) có 4 nghiệm khác 0, thế nên mỗi phương trình bậc 2 phải có 2 nghiệm
$\Rightarrow 25-4(5+\sqrt{k+1})\geq 0$
$\Leftrightarrow \sqrt{k+1}\leq \frac{5}{4}$
$\Leftrightarrow k \leq \frac{9}{16}$
Gọi $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình $(x^2-5x+5-\sqrt{k+1})$, $x_3,x_4$ là 2 nghiệm của phuơng trình còn lại, theo Viet ta có
$x_{1}x_{2}=5-\sqrt{k+1}$
$x_{3}x_{4}=5+\sqrt{k+1}$
$x_1+x_2=x_3+x_4=5$
Từ đây thay vào $P=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_3+x_4}{x_3x_4}=\ frac{5}{5-\sqrt{k+1}}+\frac{5}{5+\sqrt{k+1}}$
$\Leftrightarrow P=\frac{50}{24-k}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Trầm]

Bài 2 của anh thephuong hình như chưa chuẩn anh ạ. $a, b$ phải dương mới dùng $C.S$ được.
Từ điều kiện $\Rightarrow \dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{(x^2+y^2)^2}{ a+b}$.
Đến đây quy đồng thu gọn là ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hungqh]

3)Bài này nếu dùng được viet thì đơn giản quá. Khai triển được
$x^4-10x^3+35x^2-50x+24-k=0 $
nên $x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=50 $ và $x_1x_2x_3x_4=24-k $ là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Trầm]

Nguyên văn bởi hungqh

3)Bài này nếu dùng được viet thì đơn giản quá. Khai triển được
$x^4-10x^3+35x^2-50x+24-k=0 $
nên $x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=50 $ và $x_1x_2x_3x_4=24-k $ là xong.

Mình chỉ cần đồng nhất hệ số 2 phương trình là được xem như chứng minh Viet luôn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Nguyên văn bởi tanggo

Bài 2 của anh thephuong hình như chưa chuẩn anh ạ. $a, b$ phải dương mới dùng $C.S$ được.
Từ điều kiện $\Rightarrow \dfrac{x^4}{a}+{y^4}{b}=\dfrac{(x^2+y^2)^2}{a+b}$.
Đến đây quy đồng thu gọn là ra

Đúng thế em ạ anh ko đọc kĩ đề. Mà nhìn vô là muốn BĐT cho nhanh rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Trầm]

Em cũng đã từng $C.S$ rồi anh ạ nên thấm lắm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lilsalyn]

Bài 2 theo mình thì có thể tổng quát lên:
$ \frac{x^{2n+2}}{a^n}+\frac{y^{2n+2}}{b^n}=\frac{1} {(a+b)^n} $ với mọi n nguyên dương
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[datlam]

Nguyên văn bởi liverpool29

Câu 1: (3 điểm)
$1)$ Tính giá trị biểu thức:
$A=\dfrac{x^4-6x^3-2x^2+18x+25}{x^2-8x+15}$ khi $x=\sqrt{19-8\sqrt{3}}$
$2)$ Giải phương trình: $x^2-\sqrt{x+12}=12$
$3)$ Giải hệ phương trình:
$\begin{cases}xy+x+y=5 \\ (x+1)^3+(y+1)^3=35 \end{cases}$

Câu 2: (1.5 điểm)
Cho các số thực $a,b,x,y$ thoả $a,b,a+b$ khác $0$, $x^2+y^2=1$ và $\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}$. Chứng minh rằng:
$1)$ $bx^2=ay^2$
$2)$ $\dfrac{x^{2012}}{a^{1006}}+\dfrac{y^{2012}}{b^{10 06}}= \dfrac{2}{ (a+b)^{1006} }$

Câu 3: (1.5 điểm) Cho $k$ là tham số sao cho phương trình $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=k$ có 4 nghiệm $x_1,x_2,x_3,x_4$ khác $0$. Tính giá trị sau theo $k$:
$P=\dfrac{1}{x_1}+ \dfrac{1}{x_2}+ \dfrac{1}{x_3}+ \dfrac{1}{x_4}$

Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $BC$ cố định. Lấy $A$ tuỳ ý trên (O) ($A$ khác $B,C$). Vẽ đường cao $AH$ của tam giác. Gọi $I,J,K$ lần lượt là tâm nội tíêp của $ABC,HAB,HAC$.
$1)$ Chứng minh $AI \perp JK$
$2)$ Chứng minh tứ giác $BCJK$ nội tiếp được.
$3)$ Khi $A$ di đông trên (O) thì $I$ chạy trên đường nào? Nêu cách vẽ đường này.

Câu 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương $n$ đề $Q=n^2-19n+91$ là số chính phương.

Ủa sao không ai làm câu pt vô tỉ thế:
$x^2-\sqrt{x+12}=12 (x \ge -12) $
$x^2 - 12 = \sqrt{x+12}$
$<=> x^4-24x^2-x+132=0 ( x^2 >= 12 )$
$<=> (x+3)(x-4)(x^2+x-11)=0$
mà $x^2 >= 12$ nên $x=4$ hoặc $x=\frac{-1-3\sqrt{5}}{2}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]