Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2019

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 16-07-2019, 07:40 PM   #1
hung.vx
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 36
Thanks: 0
Thanked 13 Times in 7 Posts
Đề thi IMO 2019

Đề thi IMO 2019


Ngày thi thứ nhất (16/07/2019)


Bài 1: Đặt $ \mathbb {Z} $ là tập hợp các số nguyên. Xác định tất cả các hàm $ f: \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} $ sao cho với tất cả các số nguyên $ a $ và $ b $ thì, $$ f (2a) + 2f (b) = f (f (a + b)). $$
Bài 2: Cho tam giác $ ABC $, lấy điểm $ A_1 $ nằm trên cạnh $ BC $ và điểm $ B_1 $ nằm trên cạnh $ AC $. Lấy $ P $ và $ Q $ lần lượt là các điểm trên các đoạn $ AA_1 $ và $ BB_1 $, sao cho $ PQ $ song song với $ AB $. Lấy $ P_1 $ là một điểm trên đường $ PB_1 $, sao cho $ B_1 $ nằm giữa $ P $ và $ P_1 $ và $ \angle PP_1C = \angle BAC $. Tương tự, Lấy $ Q_1 $ là điểm trên đường $ QA_1 $, sao cho $ A_1 $ nằm giữa $ Q $ và $ Q_1 $ và $ \angle CQ_1Q = \angle CBA $. Chứng minh rằng các điểm $ P, Q, P_1 $ và $ Q_1 $ cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 3: Một mạng xã hội có $ 2019 $ người dùng với một số cặp là bạn bè. Nếu người dùng $ A $ là bạn bè với người dùng $ B $ thì người dùng $ B $ cũng là bạn bè với người dùng $ A $. Các sự kiện thuộc loại sau đây có thể xảy ra lặp đi lặp lại, từng lần một: Ba người dùng $ A $, $ B $ và $ C $ sao cho $ A $ là bạn bè với cả $ B $ và $ C $, nhưng $ B $ và $ C $ không phải là bạn bè, hãy thay đổi trạng thái tình bạn của họ sao cho $ B $ và $ C $ là bạn bè, nhưng $ A $ không còn là bạn với $ B $ và không còn là bạn với $ C $. Tất cả các trạng thái tình bạn khác là không thay đổi.
Ban đầu, có $ 1010 $ người dùng mà mỗi người dùng có đúng $ 1009 $ bạn và $ 1009 $ người dùng còn lại mà mỗi người có đúng $ 1010 $ bạn. Chứng minh rằng tồn tại một chuỗi các sự kiện như vậy mà sau đó mỗi người dùng là bạn với nhiều nhất một người dùng khác.

Bài 4: Tìm các số nguyên dương $k$ và $n$ sao cho\[k! = \left( {{2^n} - 1} \right)\left( {{2^n} - 2} \right) \ldots \left( {{2^n} - {2^{n - 1}}} \right).\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: hung.vx, 16-07-2019 lúc 07:48 PM
hung.vx is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-07-2019, 08:01 PM   #2
Thụy An
+Thành Viên+

 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 90
Thanks: 1
Thanked 66 Times in 45 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hung.vx View Post
Bài 1: Đặt $ \mathbb {Z} $ là tập hợp các số nguyên. Xác định tất cả các hàm $ f: \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} $ sao cho với tất cả các số nguyên $ a $ và $ b $ thì, $$ f (2a) + 2f (b) = f (f (a + b)). $$
Từ giả thiết ta có \[\begin{array}{l}
f\left( {f\left( {a + 1} \right)} \right)& = f\left( {f\left( {0 + a + 1} \right)} \right) = f\left( 0 \right) + 2f\left( {a + 1} \right)\\
&= f\left( {\left( {1 + a} \right)} \right) = f\left( 2 \right) + 2f\left( a \right),\quad \forall {\mkern 1mu} a \in\mathbb Z.
\end{array}\]Vậy là đặt $\frac{f(2)-f(0)}{2}=d$ thì có $d$ phải là một số nguyên, và\[f\left( {a + 1} \right) = f\left( a \right) + d,\quad \forall {\mkern 1mu} a \in \mathbb Z.\]Từ đây ta truy toán để có\[f\left( a \right) = ad + f\left( 0 \right),\quad \forall {\mkern 1mu} a \in \mathbb Z.\]Do đó, hàm cần tìm có dạng $f(x)=kx+l$ với các hằng số nguyên $k,\,l$. Sau thử lại ta được $k=l=0$, hoặc $k=2$ còn $l$ thì tùy ý.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Thụy An, 16-07-2019 lúc 08:23 PM Lý do: Chưa thử lại hàm số
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Thụy An For This Useful Post:
baotram (16-07-2019)
Old 16-07-2019, 08:29 PM   #3
ncthanh
Moderator
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Đến từ: THPT Chuyên Bảo Lộc
Bài gởi: 17
Thanks: 50
Thanked 10 Times in 7 Posts
Lời giải bài 2

Trích:
Nguyên văn bởi hung.vx View Post
Bài 2: Cho tam giác $ ABC $, lấy điểm $ A_1 $ nằm trên cạnh $ BC $ và điểm $ B_1 $ nằm trên cạnh $ AC $. Lấy $ P $ và $ Q $ lần lượt là các điểm trên các đoạn $ AA_1 $ và $ BB_1 $, sao cho $ PQ $ song song với $ AB $. Lấy $ P_1 $ là một điểm trên đường $ PB_1 $, sao cho $ B_1 $ nằm giữa $ P $ và $ P_1 $ và $ \angle PP_1C = \angle BAC $. Tương tự, Lấy $ Q_1 $ là điểm trên đường $ QA_1 $, sao cho $ A_1 $ nằm giữa $ Q $ và $ Q_1 $ và $ \angle CQ_1Q = \angle CBA $. Chứng minh rằng các điểm $ P, Q, P_1 $ và $ Q_1 $ cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi $A_1Q$ giao $AC,AB$ lần lượt tại $X,Z$; $B_1P$ giao $BC,AB$ lần lượt tại $Y,T$.

Áp dụng định lí Pappus cho $(B,Y,A_1)$ và $(X,A,B_1)$ và chú ý rằng $PQ\parallel AB,$ ta thu được $XY\parallel AB.$ Ta cũng có tứ giác $AP_1CT$ nội tiếp nên $\angle P_1CA=\angle P_1TA=P_1YX$, suy ra $P_1$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $CXY.$ Tương tự, ta suy ra $Q_1$ cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $CXY$.

Ta có $\angle P_1PQ=\angle P_1YX=\angle P_1 Q_1Q$ nên bốn điểm $Q,P_1,Q_1,P$ đồng viên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ncthanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-07-2019, 01:40 AM   #4
chemthan
Administrator

 
chemthan's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 349
Thanks: 0
Thanked 306 Times in 160 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hung.vx View Post
Đề thi IMO 2019

Bài 3: Một mạng xã hội có $ 2019 $ người dùng với một số cặp là bạn bè. Nếu người dùng $ A $ là bạn bè với người dùng $ B $ thì người dùng $ B $ cũng là bạn bè với người dùng $ A $. Các sự kiện thuộc loại sau đây có thể xảy ra lặp đi lặp lại, từng lần một: Ba người dùng $ A $, $ B $ và $ C $ sao cho $ A $ là bạn bè với cả $ B $ và $ C $, nhưng $ B $ và $ C $ không phải là bạn bè, hãy thay đổi trạng thái tình bạn của họ sao cho $ B $ và $ C $ là bạn bè, nhưng $ A $ không còn là bạn với $ B $ và không còn là bạn với $ C $. Tất cả các trạng thái tình bạn khác là không thay đổi.
Ban đầu, có $ 1010 $ người dùng mà mỗi người dùng có đúng $ 1009 $ bạn và $ 1009 $ người dùng còn lại mà mỗi người có đúng $ 1010 $ bạn. Chứng minh rằng tồn tại một chuỗi các sự kiện như vậy mà sau đó mỗi người dùng là bạn với nhiều nhất một người dùng khác.
Trước hết ta chỉ chuyển trạng thái mà số thành phần liên thông của đồ thị không thay đổi. Xét trạng thái mà tại đó không thể chuyển tiếp trạng thái mà giữ nguyên số thành phần liên thông. Nếu tồn tại một "cycle" thì thành phần liên thông chứa nó phải là một "clique" hoặc nó chỉ chứa đúng cycle đó. Điều này là không thể vì ban đầu các thành phần liên thông không phải là một "clique" và tồn tại đỉnh bậc lẻ. Do đó đồ thị lúc này là một "forest". Tại mỗi đỉnh có bậc lớn hơn $1$ ta thực hiện chuyển trạng thái và sau mỗi lần thì đồ thị mới sẽ không tạo ra "cycle". Do đó ta sẽ thực hiện được cho đến khi mọi đỉnh có bậc nhỏ hơn $2$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
chemthan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to chemthan For This Useful Post:
MATHSCOPE (17-07-2019)
Old 17-07-2019, 07:18 PM   #5
MATHSCOPE
Administrator

 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 30
Thanks: 110
Thanked 183 Times in 68 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hung.vx View Post
Bài 4: Tìm các số nguyên dương $k$ và $n$ sao cho\[k! = \left( {{2^n} - 1} \right)\left( {{2^n} - 2} \right) \ldots \left( {{2^n} - {2^{n - 1}}} \right).\]
Giả sử $(k,\,n)$ thỏa yêu cầu, với $n>4$ ta có\[\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \sum\limits_{1 \le j \le n - 1} j = {v_2}\left( {\prod\limits_{1 \le j \le n - 1} {\left( {{2^n} - {2^j}} \right)} } \right) = {v_2}\left( {k!} \right) < k,\;(*).\]Từ đây kéo theo là \[k! \ge \left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 1} \right)! = \prod\limits_{2 \le j \le \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}} j \prod\limits_{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4} < j \le \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 1} j > {2^{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}}}{\left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}} \right)^{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}}}.\]Mặt khác ta lại có\[\prod\limits_{0 \le j \le n - 1} {\left( {{2^n} - {2^j}} \right) < {2^{{n^2}}}.} \]Từ đó mà có được\[{2^{{n^2} - \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}}} > {\left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}} \right)^{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}}}.\]Để ý rằng do $n> 4$ nên $n-1\ge\frac{3n+1}{4}$, do đó\[{2^{n - 1}} \ge {2^{\frac{{3n + 1}}{4}}} > {\left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}} \right)^{\frac{{n - 1}}{4}}}.\]Vậy, ta có $16 > \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}$, từ đây có $n\in\{5,\,6,\,7,\,8\}$. Nhưng cũng không xảy ra tình huống này, vì nếu thế thì từ $(*)$ có $k\ge 11$ nên $v_{11}(k!)\ge 1$. Trong khi đó, do $2$ là căn nguyên thủy mod 11 nên với $n\le 8<10$ thì\[{v_{11}}\left( {\prod\limits_{0 \le j \le n-1} {\left( {{2^n} - {2^j}} \right)} } \right) = 0.\]
Thử trực tiếp $n\in\{1,\,2,\,3,\,4\}$ thấy có các cặp $(n,\,k)$ thỏa yêu cầu là $(1,\,1)$ và $(2,\,3)$, vậy nên có hai cặp thỏa yêu cầu như vừa kể.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MATHSCOPE is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 31-08-2019, 03:52 PM   #6
oong0giaf
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2019
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Cho hỏi không ngoài lề lắm

Có một số người thảo luân về Lê Bá Khánh Trình

Trong đó có người xem xét lại bài toán IMO của LBKT

Cánh xem xét này có đúng không?

[Only registered and activated users can see links. ]

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
oong0giaf is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:02 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2019, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 63.99 k/71.95 k (11.06%)]