China Mathematical Olympaid 2014.

[quocbaoct10]

Ngày thi thứ nhất: 21-12-2013.

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với $AB>AC$. Gọi $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$. Gọi $F,E$ lần lượt trên $AC,AB$ sao cho $BCFE$ là tứ giác nội tiếp. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $BE+CF=BC.$

Bài 2: Đặt $D(n)=\{a-b|ab=n,a>b,a,b\in\mathbb{N}^*\}$. Chứng minh rằng với mọi $k$ nguyên dương luôn tồn tại các số $n_1,n_2,...,n_k$ gồm các số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho
$$|D(n_1)\cap D(n_2)\cap ...D(n_k)|\geq 2.$$

Bài 3: Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hàm $f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*$ thỏa đồng thời các điều kiện sau

1. $f(1)=f(2)=1$,
2. $f(n)=f(f(n-1))+f(n-f(n-1)) , n=3,4,\cdots$.

Khi đó tính $f(2^m)$ với $m$ nguyên dương.

Ngày thi thứ 2: 22-12-2013.

Bài 4: Gọi $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_t^{a_t}$ là phân tích chuẩn tắc của $n$. Ta định nghĩa
$$ \omega(n)=t\text{ và } \Omega(n)=a_1+a_2+...+a_t $$
Chứng minh hoặc bác bỏ khẳng định sau: Với mọi số nguyên dương $k$ và hai số thực dương $\alpha,\beta$ cho trước luôn tồn tại số nguyên $n>1$ sao cho hai điều kiện sau đồng thời xảy ra

1. $\dfrac{\omega(n+k)}{\omega(n)}>\alpha$,
2. $\dfrac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}<\beta$.



Bài 5: Cho $f:X\to X$ với $X=\{1,2,...,100\}$ là hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
$f(x)\neq x,\forall x\in X$, với mọi tập con $A$ của $X$ và $|A|=40$ thì $ A\cap f(A)\neq\emptyset $. Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ sao cho với mọi hàm $f$ luôn tồn tại $B$ con $X$, $|B|=k$ và $ B\cup f(B)=X $.


Bài 6: Định nghĩa $ S+T=\{s+t|s\in S, t\in T\}$ và $2R=\{2r|r\in R\}$. Gọi $A,B$ là hai tập con của tập $\{1,2,...,n\}$. Chứng minh rằng tồn tại tập $D$ sao cho hai điều kiện sau đồng thời xảy ra

1. $D+D$ là tập con của tập $2(A+B)$,
2. $|D|\geq\dfrac{|A||B|}{2n}$.

nguồn:mathvn.net.vn

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]