Đề thi học sinh giỏi lớp 12 thành phố Hà Nội (v1)

[tranhongviet]

Đề không quá khó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nguyễn Đức Anh]

Câu hàm số c ra bao nhiêu thế
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranhongviet]

Bài 1:
a) $S=6$
b) Cặp tiếp tuyến đi qua 2 điểm có hoành độ $\sqrt{3}-1;-\sqrt{3}-1$.

Bài 2:
a) Nghiệm duy nhất $x=1$ (dùng AMGM đánh giá VP $\leq $ VT)
b) Có 2 nghiệm $(0;0;0)$; $(\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})$.

Bài 3:
Sử dụng đánh giá
$\frac{1}{abc}\geq \frac{9}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\frac{9}{ab+bc+ca}$
Và $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2}{ab+bc+ca} \geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}$
Tóm lại Min=30.
Bài 4:
a) Quen thuộc
b) Tính toán cụ thể các cạnh của AIK rồi suy ra $\Delta $ hợp với AB góc 30 độ.

Bài 5:
a) Chuyển vế, bình phương 2 vế ta được : $u_{n+1}^{2}+u_{n}^{2}-4u_{n+1}u_{n}=1$
Cho n tăng lên 1 đơn vị, ta được đpcm

b) Dãy thỏa mãn tính chất sau:
$u_{3k+1}\equiv 4(mod5)$
$u_{3k+2}\equiv 0(mod5)$
$u_{3k+3}\equiv 1(mod5)$.
Mọi người xem xem mình có nhầm chỗ nào không.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhansp]

Câu 5. Đây là bài toán đòi hỏi kỹ thuật biến đổi như sau
$u_{n+1}=2u_n+\sqrt{3u_n^2+1}$
<=> $u_{n+1}^2-4u_nu_{n+1}+4u_n^2=3u_n^2+1$
<=> $4u_{n+1}^2-4u_nu_{n+1}+u_n^2=3u_{n+1}^2+1$
<=> $(2u_{n+1}-u_n)^2=(u_{n+2}-2u_{n+1})^2$
<=> $2u_{n+1}-u_n=u_{n+2}-2u_{n+1}$
<=> $u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n$
Tới đây xem như là okie... Câu 5 có thể tổng quát lên như sau
Cho hai số a, b thỏa mãn $a^2=b+1$. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_{n+1}=au_n+\sqrt{bu_n^2+c^2}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]