Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2013

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 25-05-2013, 02:22 PM   #1
CSS-MU
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Bài gởi: 26
Thanks: 2
Thanked 100 Times in 16 Posts
Đề kiểm tra đội dự tuyển IMO

Ngày 1.

Bài 1. Cho $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất bộ $n+2$ số thực $(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n, \alpha_{n+1})$ thỏa mãn $\alpha_0=\alpha_{n+1}=0,$ $|\alpha_i|\le\frac{\pi}{6}$ và $1+\sin\alpha_{i+1}+3\sin\alpha_{i-1}=10\sin\alpha_i-2\sin 3\alpha_i$ $\forall i=\overline{1,n}.$

Bài 2. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. Giả sử $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,BD,$ $E,F$ lần lượt là giao điểm của $AB$ với $CD,$ $AD$ với $BC.$ Chứng minh rằng
$$\frac{2MN}{EF}=\left|\frac{AC}{BD}-\frac{BD}{AC}\right|.$$

Bài 3.
Cho dãy số $\{u_n\}_{n=1}^{\infty}$ xác định bởi
$$u_1=1,u_2=11,u_{n+2}=u_{n+1}+5u_n\;\;\forall n\in\mathbb{Z}^{+}.$$
Chứng minh rằng $u_n$ không là số chính phương với mọi $n>3.$

Ngày 2.

Bài 1. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn
$$\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)=0,$$
$$f(x)f(x^{1959}+x^{54})=f(x^{2013}+x)\;\;\forall x\in\mathbb{R}.$$

Bài 2. Cho đường tròn $(O,R)$ và điểm $A$ cố định trên đường tròn này. Giả sử $B,C$ là các điểm thay đổi trên $(O)$ sao cho $\angle BAC=\alpha$ không đổi. Trên các tia $BA,CA$ lần lượt lấy $E,F$ sao cho $BE=BC=CF.$
a) Gọi $\rho$ là bán kính của $(AEF).$ Chứng minh rằng
$$\rho\ge R\frac{\left|\sin\left(\frac{\pi-3\alpha}{4}\right)\right|}{\sin\left(\frac{\pi+ \alpha}{4}\right)}.$$
b) Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm các cung $AB$ không chứa $C$ và $AC$ không chứa $B$ của $(O).$ Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua $O$ vuông góc với $EF$ với $AB$ và $AC.$ Chứng minh rằng giao điểm của $PM$ và $QN$ luôn thuộc một đường tròn cố định.

Bài 3. Cho một bảng chữ cái gồm $29$ chữ cái. Một dãy liên tiếp các chữ cái được gọi là một từ. Với mỗi $n$ nguyên dương, đặt $X_n$ là tập các từ có $n$ chữ cái. Xét hàm số $f:X_n\to X_2$ xác định như sau: với mỗi một từ thuộc $X_n,$ ta bỏ đi $n-2$ chữ cái bất kỳ trong từ đó để được một từ thuộc $X_2.$ Với mỗi hàm số f như thế, đặt $V(f)$ là tập các giá trị của $f.$ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $|V(f)|$ trong các trường hợp sau
a) $n=3.$
b) $n=4.$

Ngày 3.


Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p$ sao cho đa thức sau
$$x^n-px+p^2$$
có thể phân tích được thành tích của hai đa thức hệ số nguyên với bậc ít nhất bằng $1.$

Bài 2. Cho dãy số $\{x_n\}_{n=0}^{\infty}$ xác định như sau
$$x_0=2, x_{n+1}=\left \lfloor\sqrt{2x_n(x_n+1)} \right \rfloor\;\;\forall n\in\mathbb{N}.$$
Chứng minh rằng $x_{2n}=2^n+\lfloor 2^n\sqrt{2}\rfloor$ và $x_{2n+1}=2^{n+1}+\lfloor 2^n\sqrt{2}\rfloor$ với mọi $n\in\mathbb{N}.$

Bài 3. Cho hình vuông $ABCD$ và $2009$ điểm bên trong hình vuông sao cho không có ba điểm nào trong $2013$ điểm này thằng hàng (gồm $2009$ điểm bên trong hình vuông và cả bốn điểm $A,B,C,D$). Ta nối một số điểm bên trong hình vuông (và cả các đỉnh $A,B,C,D$) lại để chia hình vuông thành các tam giác. Mỗi một đoạn nối như thế được gọi là một cạnh. Một đường đi từ điểm này đến điểm kia mà đi qua các cạnh liên tiếp được gọi là một đường gấp khúc.
Xét một cách chia $2013$ điểm trên thành hai tập $X$ và $Y$ sao cho $A,C\in X$ và $B,D\in Y.$ Chứng minh rằng: hoặc tồn tại một đường gấp khúc đi từ $A$ tới $C$ mà chỉ đi qua các đỉnh trong $X$ hoặc tồn tại một đường gấp khúc đi từ $B$ tới $D$ mà chỉ đi qua các đỉnh trong $Y.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Đời vô đối...
CSS-MU is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 18 Users Say Thank You to CSS-MU For This Useful Post:
bangdenas (25-05-2013), batigoal (25-05-2013), blackholes. (25-05-2013), cqb (24-06-2013), dvtruc (28-05-2013), ha.uyen2796 (17-08-2013), hoangnam94 (26-05-2013), hoangqnvip (25-05-2013), huynhcongbang (26-05-2013), hxthanh (25-05-2013), Ispectorgadget (25-05-2013), Lan Phuog (25-05-2013), luugiangnam (30-05-2013), ntuan5 (25-05-2013), thaygiaocht (26-05-2013), TNP (02-07-2013), Trànvănđức (25-05-2013), whatever2507 (25-05-2013)
Old 25-05-2013, 06:29 PM   #2
Vu Hoa
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 10
Thanks: 0
Thanked 44 Times in 5 Posts
Bài 3 ngày 2 đã có trong sách (tiếng Việt) và thi ở Liên Bang Nga. Nhưng họ phát biểu hay hơn, ví dụ: Cho 1000 vé trên đó ghi các số 000, 001, ...., 999 và 100 hộp ghi trên nắp 00, 01, ... , 99. Mỗi vé chỉ được bỏ vào một hộp nếu như gạch 1 chữ số của nó thì 2 chữ số còn lại tạo nên số được ghi trên hộp. Tìm số hộp nhỏ nhất để có thể cho hết vé vào hộp. Bài này trước kia tôi có dạy rồi, sau thấy các khóa sau chép lại bài của khóa trước biết bài này rồi, cho nên thôi không dạy nữa. Có nhiều lời giải cho bài này, có thể dùng lý thuyết đồ thị để giải, khá đơn giản.
Cả bài 3 của ngày 2 cũng là bài lý thuyết đồ thị phẳng, cũng không khó, chắc nhiều người làm được. Cả hai bài tổ hợp đều mang hơi hướng của Nga cả, không phải là bài sáng tác mới.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Vu Hoa, 26-05-2013 lúc 09:20 AM
Vu Hoa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 7 Users Say Thank You to Vu Hoa For This Useful Post:
dvtruc (28-05-2013), huynhcongbang (26-05-2013), madman (28-05-2013), nghiepdu-socap (25-05-2013), ntuan5 (25-05-2013), thaygiaocht (22-08-2014), Trànvănđức (25-05-2013)
Old 25-05-2013, 08:30 PM   #3
whatever2507
+Thành Viên+
 
whatever2507's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: 12A1 Toán THPT chuyên KHTN
Bài gởi: 26
Thanks: 46
Thanked 36 Times in 16 Posts
Bài 2 ngày 1 ở trong đề thi Bulgaria 1997 . 9 anh qua được TST năm nay đều phải giỏi hình cả nên chắc làm được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
A mathematician is a device for turning coffee into theorems
(P.Erdos)

thay đổi nội dung bởi: whatever2507, 25-05-2013 lúc 08:33 PM
whatever2507 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to whatever2507 For This Useful Post:
dvtruc (28-05-2013)
Old 25-05-2013, 08:48 PM   #4
tuannguyenhue
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Bài gởi: 10
Thanks: 2
Thanked 4 Times in 3 Posts
Bài 2 ngày 1 cũng ở trong 1 cuốn hình học phẳng ở mathscope
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tuannguyenhue is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to tuannguyenhue For This Useful Post:
dvtruc (28-05-2013)
Old 25-05-2013, 09:36 PM   #5
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Vu Hoa View Post
Bài 3 ngày 2 đã có trong sách và thi ở Liên Bang Nga. Nhưng họ phát biểu hay hơn, ví dụ: Cho 1000 vé trên đó ghi các số 000, 001, ...., 999 và 100 hộp ghi trên nắp 00, 01, ... , 99. Mỗi vé chỉ được bỏ vào một hộp nếu như gạch 1 chữ số của nó thì 2 chữ số còn lại tạo nên số được ghi trên hộp. Tìm số hộp nhỏ nhất để có thể cho hết vé vào hộp. Bài này trước kia tôi có dạy rồi, sau thấy các khóa sau chép lại bài của khóa trước biết bài này rồi, cho nên thôi không dạy nữa. Có nhiều lời giải cho bài này, có thể dùng lý thuyết đồ thị để giải, khá đơn giản.
Cả bài 3 của ngày 2 cũng là bài lý thuyết đồ thị phẳng, cũng không khó, chắc nhiều người làm được. Cả hai bài tổ hợp đều mang hơi hướng của Nga cả, không phải là bài sáng tác mới.
Bài 3 ngày 3, ý tưởng là đưa về đồ thị hai phía.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to batigoal For This Useful Post:
dvtruc (28-05-2013)
Old 26-05-2013, 03:41 AM   #6
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Mình không dám nhận xét về mức khó-dễ của các bài toán vì đi thi thì khác với ở nhà nhưng có vẻ như có nhiều bài trong 3 vòng thi này đòi hỏi tính toán quá và thậm chí có nhiều bài cũ rồi.

Bài 1 ngày 1 hình như là đề Shortlist năm nào đó và mình nhớ là có lần đã được dùng làm đề đề nghị 30-4.

Bài 2 ngày 1 thì đúng như bạn whatever2507, là đề Bulgari.

Bài 3 ngày 1 thì tính chất của dãy số này đã được phân tích trong cuốn "Fibonacci and Lucas Numbers with Applications". Nếu bạn nào biết chứng minh rằng $F_n$ là số chính phương khi và chỉ khi $n=1,2,12$ thì làm bài này chắc đỡ hơn.

Bài 2 ngày 1 thì dựa trên hai bổ đề sau:
(1) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp (O), ngoại tiếp (I). Trên các tia BA, CA, lần lượt lấy các điểm D, E sao cho $BD=CE=BC$. Khi đó, ta có $\frac{R_{ADE}}{R_{ABC}} = \sqrt{3-2(\cos A + \cos B + \cos C)}$ đồng thời đường thẳng IO vuông góc với DE.
(2) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp (O), ngoại tiếp (I). Gọi M, N lần lượt là giao điểm của IO với AB, AC và P, Q lần lượt là trung điểm cung nhỏ AB, AC. Khi đó, MP và NQ cắt nhau tại một điểm nằm trên (O).

Bổ đề (1) thì xuất hiện nhiều, trong cuốn của thầy Nguyễn Minh Hà chẳng hạn, bài T6/383 hay là mới đây là đề thi Bosnia Herzegovina 2012. Bổ đề (2) cũng quen thuộc.

Bài 2 ngày 3 thì mọi người có thể xem kĩ tính chất của dãy này trong file đính kèm.

Bài 3 ngày 3 thì như thầy Hòa đã nói, việc chia hình vuông thành các tam giác rời nhau rất dễ gợi ta nghĩ đến planar graph. Mình không biết nhiều định lí liên quan đến nội dung này, chỉ biết rằng nếu có k điểm trong hình vuông đó thì chắc chắn chia hình vuông được thành đúng 2k+2 tam giác. Dù vậy bài này dường như có thể giải được bằng quy nạp theo số lượng điểm.



Hình như giữa tuần sau là có danh sách 6 thành viên chính thức nhưng nghe phong phanh tình hình làm bài thì chắc giờ này, nhiều bạn cũng đã đoán được kết quả. Tuy nhiên, không biết là điểm trung bình của 3 bài này có phải là căn cứ duy nhất để chọn không nên cũng không dám đoán gì cả.
Xin chúc 9 bạn trong đội dự tuyển có những ngày học bồi dưỡng cuối cùng thật vui vẻ, trọn vẹn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf Non Linear Recurrence.pdf (200.6 KB, 358 lần tải)
__________________
Sự im lặng của bầy mèo

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 26-05-2013 lúc 04:41 AM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 8 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
dvtruc (28-05-2013), Fool's theorem (26-05-2013), Lan Phuog (26-05-2013), MathForLife (29-05-2013), nghiepdu-socap (26-05-2013), thiendienduong (26-05-2013), Trànvănđức (26-05-2013), whatever2507 (26-05-2013)
Old 26-05-2013, 09:19 AM   #7
Vu Hoa
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 10
Thanks: 0
Thanked 44 Times in 5 Posts
Bài 2 ngày 1 có thể tìm thấy trong tài liệu online: tuyen tap các bai thi hoc sinh gioi the gioi (tiêng Anh), 1997, trang 17. Đúng là bài thi vô địch của Bulgary thật.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Vu Hoa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 07:19 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 75.60 k/84.42 k (10.45%)]