[VMO 2012] Bài 1 - Dãy số

[MathForLife]

Tóm tắt lời giải hình như là thế này:
Đầu tiên chứng minh $x_n >1 $ với mọi $n\ge 2 $ bằng quy nạp. Để chứng minh nó chặn dưới.
Sau đó chứng minh $x_n>1+\frac{3}{n} $ với mọi $n\ge 2 $ cũng bằng quy nạp dựa trên công thức tổng quát! Để chứng minh dãy giảm
Từ đó suy ra có giới hạn hữu hạn! Cho n dần về vô cùng thì có $lim=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nghiepdu-socap]

Nguyên văn bởi khoile101

Bài này mình dùng nguyên lí kẹp
$\frac{n+3}{n}\le (x_n) \le \frac{n+2}{n-2} $ với n>5

Hình như $x_n \le \frac{n+2}{n-1} $ nữa
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Traum]

Trước hết dự đoán giới hạn của dãy bằng cách lấy lim hai bên. Ta có $a = 1/3(a+2) $do đó giới hạn $a = 1 $.
Đặt $y_n = x_n - 1 $, thì $3n(y_{n} +1) = (n+2)(y_{n-1} + 3) $; hay $3ny_n = (n+2)y_{n-1} + 6 $.
Vì $y_1 = x_1-1 = 2>0 $ nên $y_n > 0 $ với mọi $n $.
Với $n\ge 6 $ thì ta có $3n \ge 2(n+3) $ nên:
$2(n+3)y_n \le (n+2)x_{n-1} + 6 $.
Đến đây ta xét dãy $z_n = (n+3)y_n $ với $n = 6,7,... $ (dãy bắt đầu với $n = 6 $). Ta có $z_6 = M <+\infty $
Với $n\ge 7 $ thì $2z_n \le z_{n-1} + 6 $, hay $z_n\le \frac{1}{2}z_{n-1} + 3 $. Dễ dàng nếu đặt $N = \max\{M,6\} $ thì : $z_n \le 1/2z_{n-1} + 3 \le N $.
Như vậy với $n\ge 6 $ thì $0<(n+3)y_n\le N $. Do đó $\lim\limits_{n\to \infty}y_n = 0 $. Kết quả là $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = 1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Traum]

Nguyên văn bởi n.v.thanh

Bài 1 (5 điểm).
Cho dãy số thực $(x_n) $ xác định bởi :
$\begin{cases}
& x_1=3\\
& x_n = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2)
\end{cases}
$
với mọi $n\geq 2 $.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n\to\+\infty $ và Tính giới hạn đó.

Chứng minh rằng với $x_1 $ bất kì thì giới hạn của dãy vẫn tồn tại và bằng $1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huymai54c]

Tôi mới gõ được một phần lời giải, hầu hết có tham khảo trên diễn đàn, hy vọng các bạn hoàn thành nốt giúp tôi những phần còn lại.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]