Đề bài và lời giải môn Toán khối A 2012

[DaiToan]

Thấy anh em bình luận đề ĐH sôi nổi quá, mình xin đóng góp thêm một số nhận xét thế này:
1. Bài hệ phương trình: Thực chất đây là hệ pt cơ bản (có thể gọi là gần đối xứng): Chỉ cần đặt y=-t ta được hệ đx với hai biến x và t. Sau đó giải bình thường bằng cách đặt S=x+t; P=xt.
Còn kĩ thuật đặt ẩn phụ, phân tích nhân tử hay dùng hàm số chỉ là những hướng khác cho bài toán này. HS được học cơ bản trong SGK có thể làm được.
2. Bài HHGT phẳng (Câu 7.a): Mấu chốt là tính được đoạn MA thông qua cạnh của hình vuông ABCD. Với dạng bài toán này mà trong hình vuông và hình chữ nhật thì dùng diện tích là căn bản và dễ làm hơn cả. Kĩ thuật này đã xuất hiện trong bài hh không gian đề KA năm 2009.
3. Bài 9.a về khai triển Newton: HS dễ mất 0,25 điểm ở kết luận bài toán. Đề bài hỏi tìm Số hạng chứa x5, nhiều hs sẽ chỉ tìm hệ số thôi...huu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[xonatph]

Nguyên văn bởi daitoancvp2010

Thấy anh em bình luận đề ĐH sôi nổi quá, mình xin đóng góp thêm một số nhận xét thế này:
1. Bài hệ phương trình: Thực chất đây là hệ pt cơ bản (có thể gọi là gần đối xứng): Chỉ cần đặt y=-t ta được hệ đx với hai biến x và t. Sau đó giải bình thường bằng cách đặt S=x+t; P=xt.
Còn kĩ thuật đặt ẩn phụ, phân tích nhân tử hay dùng hàm số chỉ là những hướng khác cho bài toán này. HS được học cơ bản trong SGK có thể làm được.
u

Liệu có quá máy móc không khi nhìn vào đã thấy hệ thực chất chỉ có 2 biến là $ x^2+y^2 $ và $x-y $ !! Thế thì thuận theo tự nhiên mà làm, cớ sao đặt ẩn phục lung tung máy móc thế không hay nhỉ !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[franciscokison]

Nguyên văn bởi daitoancvp2010

Thấy anh em bình luận đề ĐH sôi nổi quá, mình xin đóng góp thêm một số nhận xét thế này:
1. Bài hệ phương trình: Thực chất đây là hệ pt cơ bản (có thể gọi là gần đối xứng): Chỉ cần đặt y=-t ta được hệ đx với hai biến x và t. Sau đó giải bình thường bằng cách đặt S=x+t; P=xt.
Còn kĩ thuật đặt ẩn phụ, phân tích nhân tử hay dùng hàm số chỉ là những hướng khác cho bài toán này. HS được học cơ bản trong SGK có thể làm được.

Chuẩn rồi thầy, hướng này là đưa về hệ đối xứng 2 biến, như thế nó sẽ có "form" tư tưởng khi giải đề những bài này và điểm cũng sẽ ăn theo "form" hơn. Tuy nhiên bài này sẽ rất đa dạng chỗ biến đổi để tìm ra nghiệm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mr Stoke]

Đề năm nay nhạt nhẽo quá nhỉ, không có điểm nhấn nào đáng chú ý cả . Việc tách thành nhiều câu là để phục vụ cho việc chấm thi nhanh chóng, mỗi câu 1 điểm, trừ câu 1. Vì thế cấu trúc năm nay trông có lạ hơn mọi năm dù bản chất không có gì thay đổi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ThangToan]

Nguyên văn bởi toanlc_gift

Già thật rồi mất một lúc mới ra
Câu 6:
$x+y+z=0 => x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+zx) $
bên trong dấu căn có thể biến đổi thành
$2[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] $
đổi biến thì bài toán trở thành tìm min của
${3^a} + {3^b} + {3^c} - \sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} $trong đó a,b,c không âm
đến đây thì có thể giải theo nhiều cách,chẳng hạn
xét hàm số ta chứng minh được ${3^a} \ge \sqrt{2}a + 1 $ nên
${3^a} + {3^b} + {3^c} \ge \sqrt{2}( a + b + c) +3 \ge \sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} +3 $

p/s: may thế chưa đụng hàng cách nào bên trên ))))

Cách giải của bạn như trên là sai ở bất đẳng thức $3^a-\sqrt{2}a+1 $.
Xét hàm $f(t)=3^t-\sqrt{2}t-1, t\ge 0 $. Khi đó ta có
$f'(t)=3^t.\ln3-\sqrt{2} $, nhưng $\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} f'(t) = \ln 3 - \sqrt 2 \approx -0,315601<0 $ suy ra hàm số không đồng biến trên $\[\left[ {0;\,\, + \infty } \right)\] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hungchng]

Tổng hợp như vầy xem còn lỗi không nhe.

- Flash Trực Tuyến -

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Cảm ơn thầy. Để em cho lên #1.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguoibimat]

Nguyên văn bởi hungchng

Tổng hợp như vầy xem còn lỗi không nhe.

Thầy ơi, cho em hõi theo thầy, thầy nhận xét đề năm nay thế nào ạ??
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Highschoolmath]

Nguyên văn bởi ThangToan

Cách giải của bạn như trên là sai ở bất đẳng thức $3^a-\sqrt{2}a+1 $.
Xét hàm $f(t)=3^t-\sqrt{2}t-1, t\ge 0 $. Khi đó ta có
$f'(t)=3^t.\ln3-\sqrt{2} $, nhưng $\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} f'(t) = \ln 3 - \sqrt 2 \approx -0,315601<0 $ suy ra hàm số không đồng biến trên $\[\left[ {0;\,\, + \infty } \right)\] $

Số 6 của bài toán là tương đối chặt rồi, liệu với số $k>6 $ thì bài toán sẽ như thế nào nhỉ?
Cho các số thực $x,y,z $ thõa mãn $x+y+z=0 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=3^{|x-y|}+3^{|y-z|}+3^{|z-x|}-\sqrt{kx^2+ky^2+kz^2} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[k30101201]

Câu 5:
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $HA=2HB$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^o$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ và tính khoảng cách giữa đường thẳng $SA$ và $BC$ theo $a$.


Theo mình câu 5 này có thể chuyển sang hệ trục tọa độ như sau:
Gọi O là trung điểm cạnh AB, từ O dựng đường thẳng song song với SH ta xây dựng hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Khi đó tọa độ các điểm là O(0,0,0), A(0,-a/2,0), B(0,a/2,0), C(a$\sqrt{3}$/2,0,0), S(0, a/6, a$\sqrt{7}$/9)
Như vậy bài toán của mình được giải quyết theo phương pháp tọa độ trong không gian...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hungchng]

Lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như sau: $O$ là trung điểm $AB$,
$A, B$ thuộc $Oy$ với $A(0; -\frac{a}{2}; 0), B(0; \frac{a}{2}; 0)$. $C$ thuộc $Ox$ với $C(\frac{a\sqrt3}{2}; 0; 0)$,
khi đó $H$ thuộc $Oy$ có $H(0; \frac{a}{6}; 0)$ nên $HC= \sqrt{ \frac{a^2}{36}+ \frac{3a^2}{4}}= \frac{a \sqrt{7}}{3}$.
Do $60^o=\widehat{(SC,(ABC))}=\widehat{SCH}$ nên $SH=HC\tan60^o=\frac{a\sqrt7}{\sqrt3}$
do đó $V_{S.ABC}= \dfrac1 3S_{ABC}.SH= \dfrac1 3 \dfrac{a^2\sqrt3}{4} \dfrac{a \sqrt7}{ \sqrt3}= \dfrac{ a^3 \sqrt{7}}{12}$.
Từ trên ta được $S(0; \frac{a}{6}; \frac{a\sqrt7}{\sqrt3})$, $\overrightarrow{AS}=(0; \frac{2a}{3}; \frac{a\sqrt7}{\sqrt3}), \overrightarrow{BC}=(\frac{a\sqrt3}{2}; -\frac{a}{2}; 0)$
nên tích có hướng $[\overrightarrow{AS},\overrightarrow{BC}]=\left(\frac{a^2\sqrt7}{2\sqrt3}; \frac{a^2\sqrt7}{2}; -\frac{a^2}{\sqrt3}\right)$ còn $\overrightarrow{AB}=(0; a; 0)$.
Khoảng cách $d[AS,BC]=\dfrac{\left|[\overrightarrow{AS},\overrightarrow{BC}]\overrightarrow{AB}\right|}{\left|[\overrightarrow{AS},\overrightarrow{BC}]\right|}=\dfrac{\frac{a^3\sqrt7}{2}}{\sqrt{\frac{7 a^4}{12}+\frac{7a^4}{4}+\frac{a^4}{3}}}=\dfrac{ a\sqrt{42}}{8}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Gravita]

Thầy cho em file LaTex cái đáp án của thầy vừa mới làm được không ạ!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[antoank21]

Nguyên văn bởi paul17

Bài hệ mình cũng có 1 cách trai triển ra luôn.
Nhận thấy 2 vế có dạng hằng đẳng thức nên ta thêm bớt như sau
Từ PT(1) ta có $(x-1)^3-(y+1)^3-12x+12y+24=0$
$\Leftrightarrow (x-y-2)(x^2+y^2-x+y+xy-11)=0$
Thế $x=y+2$ vào PT(2) ta nhận được nghiệm, chứng minh vế còn lại vô nghiệm là xong

Chứng minh thế nào bạn ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[levietbao]

Nguyên văn bởi antoank21

Chứng minh thế nào bạn ?

Dễ thôi bạn à!
Từ phương trình thứ 2 của hệ là $x^2+y^2-x+y=\frac{1}{2}$ ta thế vào biểu thức $x^2+y^2-x+y+xy-11=0$ thì suy ra là $xy=\frac{21}{2}$.Mặt khác thì phương trình thứ hai của hệ đã cho có thể viết được dưới dạng $(x-y)^2-(x-y)+2xy=\frac{1}{2}$,tiếp tục thế $xy=\frac{21}{2}$ ta có phương trình $(x-y)^2-(x-y)+\frac{41}{2}=0$,đến đây thì dẽ thấy phương trình này không có nghiệm thực.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]