Hướng tới kỳ thi Vietnam TST 2014

[lucifer97]

Em xin góp vui 2 bài hình @@
Bài 53: Cho đường tròn (O) có B, C là 2 điểm cố định. A là điểm di động trên cung lớn BC. M là trung điểm BC. E, F là chân đường cao hạ từ B và C của tam giác ABC. Trên BE, CF lần lượt lấy điểm P, Q sao cho CP song song ME, BQ song song MF. EF cắt BQ, CF tại I, J.
a) Chứng minh trung trực IJ đi qua điểm cố định.
b) Trên tia IB, JC lấy điểm U, V sao cho IU=JV=BC. Gọi T là giao điểm IB và JC. Chứng minh đường tròn (TUV) tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.
Bài 54:
Cho tam giác $ABC$ có M là trung điểm $BC. d$ đường thẳng thay đổi và luôn đi qua $M. d$ cắt$AB, AC$ tại $E, F$. Từ$ E, F$ vẽ $d1, d2$ vuông góc $AB, AC. d1, d2$ cắt trung trực $BC$ tại$ P, Q.$
a) Chứng minh giao điểm của $BP$ và $CQ$ nằm trên 1 đường cố định.
b) Gọi N là giao điểm của $d1$ và$ d2$. Chứng minh trung điểm đoạn nối trực tâm của 2 tam giác $ABC $và$ NPQ $nằm trên $d.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Từ ngày 21/02 đến 27/02, tại công ty Titan Education ở TPHCM, có tổ chức trường Xuân nhằm tập huấn chuẩn bị cho kỳ thi TST 2014 sắp tới. Chương trình diễn ra trong vòng 1 tuần tương tự như các năm và đến ngày mai là kết thúc. Trong đợt này, có nhiều bài giảng của các chuyên gia như thầy Trần Nam Dũng, thầy Lê Bá Khánh Trình, thầy Nguyễn Trọng Tuấn, thầy Lê Anh Vinh và 2 cựu IMO là: Võ Văn Huy và Cấn Trần Thành Trung. Ngoài ra, còn có một số nội dung bổ sung vào ban đêm cùng 2 bài kiểm tra theo hình thức đề TST các năm (mỗi ngày giải 3 bài toán trong vòng 270 phút).

Xin giới thiệu với mọi người các bài toán trong 2 bài kiểm tra này.

Bài 1.

Cho $a,b,c$ là các số thực có tổng khác 0, thỏa mãn điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2(ab+bc+ca)$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{12}\le \frac{{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a}{{{(a+b+c)} ^{3}}}\le \frac{5}{36}.$$ Bài 2.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Các điểm $P,Q$ lần lượt di chuyển trên các đoạn $AB,AC$ (không trùng với đỉnh tam giác $ABC$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $A$. Gọi $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua $PQ$. Chứng minh rằng:
a) ${{S}_{AQP}}+{{S}_{BPN}}+{{S}_{CNQ}}<{{S}_{ABC}}$.
b) Nếu $N$ nằm trên đoạn $BC$ thì đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 3.

Ký hiệu $(x,y,z)$ là ước chung lớn nhất của các số nguyên dương $x,y,z$.
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $M$, tồn tại các số nguyên dương $a,b,c$ có $(a,b,c)=1$ sao cho $$(a+b+c,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}},{{a}^{2014} }+{{b}^{2014}}+{{c}^{2014}})>M.$$ b) Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương có $(a,b,c)=1$. Tìm tất cả các giá trị có thể có của $$D=(a+b+c,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}},{{a}^{201 3}}+{{b}^{2013}}+{{c}^{2013}}).$$ Bài 4.

Ký hiệu $\mathbb{R}$ là tập hợp các số thực. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $$f(x)f\left( yf(x)-1 \right)={{x}^{2}}f(y)-f(x)$$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.

Bài 5.

Cho một đa giác lồi có $n$ đỉnh với $n\ge 3$ và mỗi đỉnh của đa giác được tô một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Ta thực hiện trò chơi sau đây: ở mỗi bước, chọn $k$ đỉnh liên tiếp của đa giác và đổi màu của chúng ($k<n$). Biết rằng lúc ban đầu, tất cả các đỉnh của đa giác đều được tô màu xanh.
a) Cho $n={{2014}^{2016}}$ và $k={{2016}^{2014}}$ , hỏi sau một số hữu hạn bước, có thể chuyển tất cả các đỉnh của đa giác về màu đỏ được hay không?
b) Hỏi với các giá trị $n,k$ bất kì ($n\ge 3,k<n$), bằng cách chơi đó, có thể thu được đa giác có số đỉnh màu đỏ nhiều nhất là bao nhiêu?

Bài 6.

Cho tứ giác $ABCD$ có các cạnh đối không song song. Giả sử các đường thẳng $AB,CD$ cắt nhau ở $E$ và các đường thẳng $AD,BC$ cắt nhau ở $F$. Kí hiệu ${{O}_{1}},{{O}_{2}},{{O}_{3}},{{O}_{4}}$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $EBC,EAD,FDC,FAB$. Đường tròn $(E{{O}_{1}}{{O}_{2}})$ cắt $EB,EC$ lần lượt ở $X,Y$; đường tròn $(F{{O}_{3}}{{O}_{4}})$ cắt $FC,FD$ lần lượt ở $Z,T$. Chứng minh rằng các điểm $X,Y,Z,T$ cùng thuộc một đường tròn.

------ Hết -----

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Nguyên văn bởi hothevinh

Thay nam dung cho em hỏi 45 bạn thi TST 2013 co bạn nào giải được bài 6 không ạ và thầy có nhận xét gì về bài 6 năm đó ạ

Năm đó không ai đạt điểm tối đa bài này.Tôi đánh giá bài 6 là một bài hay.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Cũng như các năm trước, mình cũng chỉ có thể post các nội dung của HLV bọn mình làm việc với các học sinh thôi (sau ngày mai). Bài giảng của các thầy thì do không có file và mình cũng không có điều kiện đi nghe giảng đầy đủ nên không ghi chép lại được. Tất nhiên, quan trọng là tiếp xúc với các thầy để học cách tư duy, phân tích vấn đề thôi chứ bài tập để luyện thi thì không thiếu, có thể tìm được từ nhiều nguồn mà bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]