Bài dãy số

[dissonline]

Cho dãy số: 1. $\left\{ \begin{matrix} u_1=1; u_2=2 \\ u_n=\sqrt{u_{n-1}}+\sqrt{u_{n-2}}\end{matrix} \right. $
Chứng minh rằng dãy số bị chặn và là dãy số tăng. (Với $n=3,... $)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mars]

Nguyên văn bởi dissonline

Cho dãy số: $\left\{ \matrix{
u_1=1; u_2 =2 \hfill \cr
u_n=\sqrt{u_{n-1}}+\sqrt{u_{n-2}}
\right. $ Với $n =3,... $
Chứng minh rằng dãy số bị chặn và là dãy số tăng.

$u_1<4,u_2<4 $ nên $u_3=\sqrt{u_1}+\sqrt{u_2}<2+2=4,u_4=\sqrt{u_3}+ \sqrt{u_2}<2+2=4,... $
$u_3=1+\sqrt{2}>u_2>u_1\Rightarrow \sqrt{u_3}+\sqrt{u_2}>\sqrt{u_2}+\sqrt{u_1} $
$\Rightarrow u_4>u_3\Rightarrow \sqrt{u_4} +\sqrt{u_3}>\sqrt{u_3}+\sqrt{u_2} $
$\Rightarrow u_5>u_4,... $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dissonline]

Phải chứng minh dãy số bị chặn nữa bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Nguyên văn bởi dissonline

Phải chứng minh dãy số bị chặn nữa bạn.

bị chặn bởi 4 mà bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huymai54c]

Nguyên văn bởi dissonline

Cho dãy số: 1. $\left\{ \begin{matrix} u_1=1; u_2=2 \\ u_n=\sqrt{u_{n-1}}+\sqrt{u_{n-2}}\end{matrix} \right. $
Chứng minh rằng dãy số bị chặn và là dãy số tăng. (Với $n=3,... $)

Bài toán trên có thể phát biểu tổng quát như sau:
Cho dãy số: 1. $\left\{ \begin{matrix} u_1=a>0; u_2=b>0 \\ u_n=\sqrt{u_{n-1}}+\sqrt{u_{n-2}}\end{matrix} \right. $.
Chứng minh rằng dãy trên có giới hạn là 4.
Và có thể tổng quát hơn nữa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mars]

Liên quan đến bài này, có một bài tương tự, mình đã làm lâu lắm rồi mà bây giờ cũng chưa xong. Mọi người giúp mình!
Cho dãy số $(u_n) $ có $u_1=3 $ và $u_2=b>0,u_{n+2}=\sqrt{u_{n+1}}+\sqrt{u_{n}} $
Tìm b sao cho dãy có vô số số hạng >4 và vô số số hạng <4.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]