|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
|
12-01-2013, 11:13 AM | #1 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | [VMO 2013] Bài 7 - Số học thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 12-01-2013 lúc 11:46 AM |
The Following 7 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post: | hieu1411997 (12-01-2013), kimlinh (12-01-2013), Lan Phuog (12-01-2013), lexuanthang (13-01-2013), nguyenhtctb (12-01-2013), TNP (13-01-2013), tqdungt1k20 (12-01-2013) |
12-01-2013, 11:23 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2012 Đến từ: CLA Bài gởi: 538 Thanks: 183 Thanked 136 Times in 63 Posts | Tìm tất cả bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa $$\left\{ \begin{align} & ab+{{a}^{'}}{{b}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 15 \right) \\ & ac+{{a}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 15 \right) \\ & bc+{{b}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 15 \right) \\ \end{align} \right.$$ Với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1...14 \right\}$ __________________ Sẽ không quên nỗi đau này..! |
12-01-2013, 11:38 AM | #3 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->??? Bài gởi: 210 Thanks: 102 Thanked 179 Times in 90 Posts | Trích:
bí __________________ Touch me touch me, don't be shy I'm in charge like a G.U.Y. I'll lay down face up this time Under you like a G.U.Y. | |
12-01-2013, 11:55 AM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2008 Bài gởi: 89 Thanks: 19 Thanked 70 Times in 28 Posts | Mình dùng định lý Thặng dư Trung Hoa, tách qua mod $3 $ và mod $5 $. Kết quả: $3472$. Không biết có đúng không nhỉ thay đổi nội dung bởi: Mashimaru, 12-01-2013 lúc 11:57 AM |
The Following 5 Users Say Thank You to Mashimaru For This Useful Post: | huynhcongbang (12-01-2013), kimlinh (12-01-2013), Lan Phuog (12-01-2013), magician_14312 (12-01-2013), ntuan5 (12-01-2013) |
12-01-2013, 12:10 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2011 Bài gởi: 9 Thanks: 6 Thanked 12 Times in 3 Posts | [QUOTE=Mashimaru;182373]Mình dùng định lý Thặng dư Trung Hoa, tách qua mod $3 $ và mod $5 $. Kết quả: $3472$. Không biết có đúng không nhỉ Em ra 2347 |
12-01-2013, 02:04 PM | #6 | |
Administrator | Trích:
Mà anh nghĩ bài này chắc phải có vài phép biến đổi đại số cho cái biểu thức kia để ra được một cái gì đó hay ho rồi thu nhỏ số trường hợp. Có khi các thầy đếm 1 cái gì đó để ra cái này cũng không chừng. __________________ Sự im lặng của bầy mèo | |
12-01-2013, 02:11 PM | #7 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2008 Bài gởi: 89 Thanks: 19 Thanked 70 Times in 28 Posts | Trích:
| |
12-01-2013, 11:56 PM | #8 |
Administrator | Trước hết, theo định lí phần dư Trung Hoa thì ta thấy rằng nếu số $x \equiv a \mod{3}, 0 \le a \le 2$ và $x \equiv b \mod{5}, 0 \le b \le 4$ thì tồn tại duy nhất số $c, 0 \le c \le 14$ mà $x \equiv c \mod{15}$ do $(3,5)=1$. Do đó, ta sẽ đếm số bộ $(a,b,c,a',b',c')$ mà $$\left\{ \begin{align} & ab+{{a}^{'}}{{b}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 3 \right) \\ & ac+{{a}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 3 \right) \\ & bc+{{b}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 3 \right) \\ \end{align} \right.$$ với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1,2 \right\}$ Giả sử số bộ này là A. Tiếp theo, ta đếm số bộ $(a,b,c,a',b',c')$ mà $$\left\{ \begin{align} & ab+{{a}^{'}}{{b}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 5 \right) \\ & ac+{{a}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 5 \right) \\ & bc+{{b}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 5 \right) \\ \end{align} \right.$$ với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1,2,3,4 \right\}$ Giả sử số bộ này là B. Khi đó, ứng với mỗi bộ A và mỗi bộ B sẽ tương ứng với một bộ 6 số thỏa mãn đề bài, tức là ta cần tính $A \cdot B$. (1) Đếm số bộ A. Trước hết ta sẽ đếm số bộ theo mod ta thấy rằng $(ab, a'b'), (bc, b'c'), (ca,c'a')$ đều không cùng chia hết cho 3 nên dễ thấy rằng $abc, a'b'c'$ cũng không cùng chia hết cho 3 (nếu không thì sẽ có một trong 3 bộ kia chia hết cho 3, mâu thuẫn). Giả sử $abc$ không chia hết cho 3, do chỉ có 2 số dư là $1,2$ nên sẽ có 2 trong 3 số $a,b,c$ đồng dư với nhau theo modulo 3. Ta tiếp tục giả sử đó là $a,b$. Khi đó, tương ứng $a'b'$ chia hết cho 3. Nếu $a'$ chia hết cho 3 thì lại suy ra tiếp $a'c'$ chia hết cho 3 hay $ac$ chia 3 dư 1, tức là $a,c$ đồng dư với nhau theo modulo 3. Mà $bc$ chia 3 dư 1 thì dẫn đến $b'c'$ chia hết cho 3 và suy ra thêm có 1 số trong $b',c'$ chia hết cho 3. Từ đó, do tính bình đẳng của các số $a,b,c$ và $a',b',c'$ ta suy ra rằng cả ba số $a,b,c$ đồng dư với nhau theo modulo 3 và trong các số $a',b',c'$ thì có 2 số chia hết cho 3, số còn lại tùy ý. Có 2 cách chọn bộ $(a,b,c)$ và 7 cách chọn bộ $(a',b',c')$ (do có 1 cách chọn (0,0,0), 3 cách chọn (0,0,1)$ và 3 cách chọn (0,0,2)$). Tương tự với trường hợp $a'b'c'$ không chia hết cho 3. Do đó, số bộ trong trường hợp này là $A=2 \cdot 2 \cdot 7 = 28$ bộ. (1) Đếm số bộ B. Các số dư khi chia cho 5 là $0,1,2,3,4$ và ta thấy các tích của các bộ sau sẽ có số dư tương ứng khi chia cho 5 được liệt kê bên dưới: $1 \cdot 2 \equiv 1 Tương tự trên, các số $abc, a'b'c'$ đều không cùng chia hết cho 5.1 \cdot 2 \equiv 2, \, 1 \cdot 3 \equiv 3, \, 1 \cdot 4 \equiv 4, \, 2 \cdot 2 \equiv 4, \, 2 \cdot 3 \equiv 1, \, 2 \cdot 4 \equiv 3, \, 3 \cdot 3 \equiv 4, \, 3 \cdot 4 \equiv 2, \, 4 \cdot 4 \equiv 1$ Ta xét các trường hợp sau: - Nếu $abc$ hoặc $a'b'c'$ chia hết cho 5, giả sử $abc$ chia hết cho 5 và ta tiếp tục giả sử $a$ chia hết cho 5 thì $a'b', a'c'$ chia 5 dư 1. Ta xét 4 trường hợp sau: + Nếu $a'$ chia 5 dư 1 thì $b',c'$ chia 5 dư 1 và dẫn đến $bc$ chia hết cho 5 và có thêm 1 trong 2 số $b,c$ chia hết cho 5. Khi đó, bộ số mà 2 trong 3 số $(a,b,c)$ chia hết cho 5 và $(a',b',c')=(1,1,1)$ là thỏa mãn đề bài. Có tất cả $7 \cdot 1 = 7$ bộ như thế. + Nếu $a$ chia 5 dư 4 thì $b',c'$ chia 5 dư 4 và dẫn đến $bc$ chia hết cho 5, có bộ mà 2 trong 3 số $(a,b,c)$ chia hết cho 5 và $(a',b',c')=(4,4,4)$ là thỏa mãn đề bài. Có tất cả $7 \cdot 1 = 7$ bộ như thế. + Nếu $a'$ chia 5 dư 2 thì $b',c'$ chia 5 dư 3 thì $b'c'$ chia 5 dư 4 và dẫn đến $bc$ chia 5 dư 2. Khi bộ số có dạng $(a,b,c)=(0,1,2),(0,3,4)$ và $(a',b',c') = (2,3,3)$ thỏa mãn. Có tất cả $6 \cdot 2 = 12$ bộ như thế. * Nếu $a'$ chia 5 dư 3 thì $b',c'$ chia 5 dư 2 và dẫn đến $bc$ chia 5 dư 2. Khi đó bộ số có dạng $(a,b,c)=(0,1,2),(0,3,4)$ và $(a',b',c') = (3,2,2)$ thỏa mãn. Có tất cả $6 \cdot 2 = 12$ bộ như thế. Trường hợp này có tất cả $2 \cdot (7+7+12+12)=76$ bộ thỏa. - Ta tính trường hợp mà cả $abc,a'b'c'$ đều không chia hết cho 5. Khi đó, ta thấy $ab,bc,ca$ chỉ có thể chia 5 dư $2,3,4$ vì nếu chia 5 dư 1 thì bộ $a'b',b'c',c'a'$ sẽ chia hết cho 5, mâu thuẫn. Ta thấy các số dư của $ab,bc,ca$ khi chia cho 5 không thể là $(2,2,2), (2,2,3),(2,2,4), (2,3,3), (2,4,4), (3,3,3), (3,3,4), (3,4,4)$ Thật vậy, chẳng hạn với bộ $(2,2,2)$, ta có $ab \equiv bc \equiv ca \equiv ca \equiv 2$ dẫn đến $2 \cdot c^2 = 4$, vô lí. Tương tự với các trường hợp còn lại. Chỉ có thể là $(2,3,4),(3,3,4),(4,4,4)$, ta có 3 trường hợp: - Nếu $(ab,bc,ca)=(2,3,4)$ thì $(a'b',b'c',c'a') = (4,3,2)$ và ta tìm được $(a,b,c,a',b',c')$ tương ứng là $(4,3,1,1,4,2)$ hoặc $(1,2,4,1,4,2)$ hoặc $(4,3,1,4,1,3)$ hoặc $(1,2,4,4,1,3)$ thỏa mãn Có tất cả $6 \cdot 4 = 24$ bộ thỏa mãn. - Nếu $(ab,bc,ca)=(2,4,2)$ thì $(a'b',b'c',c'a')=(4,2,4)$ không thỏa. - Nếu $(ab,bc,ca)=(4,4,4)$ thì $(a'b',b'c',c'a')=(2,2,2)$ không thỏa. Do đó, trong trường hợp này có $2 \cdot 24 = 48$ bô thỏa mãn đề bài. Từ đó ta tính được tổng số bộ $B$ là $76+48=124$ bộ. Vậy tổng số bộ cần tính là $28 \cdot 124 = 3472$. __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
The Following 5 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | ha.uyen2796 (14-01-2013), hoangkute69 (13-01-2013), hungvu (13-01-2013), nghiepdu-socap (13-01-2013), TNP (13-01-2013) |
01-07-2013, 11:32 PM | #9 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 6 Thanks: 12 Thanked 1 Time in 1 Post | Trích:
| |
13-01-2013, 01:32 PM | #10 |
Administrator | Một kết quả tổng quát hơn: Gọi $f(p)$ là số tất cả bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa mãn điều kiện $$\left\{ \begin{align} & ab+{{a}^{'}}{{b}^{'}}\equiv x \left( \bmod p \right) \\ & ac+{{a}^{'}}{{c}^{'}}\equiv y \left( \bmod p \right) \\ & bc+{{b}^{'}}{{c}^{'}}\equiv z \left( \bmod p \right) \\ \end{align} \right.$$ với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1,2,...,p \right\}$ và $0 \le x, y, z \le p-1$. Khi đó: - Nếu $0 < x, y, z \le p-1$ thì: + $f(p) = p^3-1=(p-1)(p^2+p+1)$ nếu $p \equiv 1 \left( \bmod 4 \right)$ + $f(p) = p^3+1 = (p+1)(p^2-p+1)$ nếu $p \equiv 3 \left( \bmod 4 \right)$. - Nếu trong 3 số $x,y,z$ có một số bằng 0 thì: + $f(p) = p^3-p^2+p-1=(p-1)(p^2+1)$ nếu $p \equiv 1 \left( \bmod 4 \right)$ + $f(p) = p^3-p^2-p+1=(p+1)(p-1)^2$ nếu $p \equiv 3 \left( \bmod 4 \right)$. - Nếu trong 3 số $x,y,z$ có 2 số bằng 0 thì + $f(p) = 2p^3-3p^2+2p-1 = (p-1)(2p^2-p+1)$ nếu $p \equiv 1 \left( \bmod 4 \right)$. + $f(p) = 2p^3-p^2-2p+1=(p+1)(p-1)(2p-1)$ nếu $p \equiv 3 \left( \bmod 4 \right))$. - Nếu cả 3 số $x,y,z$ đều bằng 0 thì: + $f(p) = 5p^3-6p^2+3p-1$ nếu $p \equiv 1 \left( \bmod 4 \right)$. + $f(p) = 3p^3-3p+1$ nếu $p \equiv 3 \left( \bmod 4 \right)$. Các kết quả này mình kiểm tra bằng máy tính, quả thật rất bất ngờ với các số này, tức là đề thi của chúng ta có thể 3 số 1 bởi 3 số khác 0 bất kì (tất nhiên là đều không vượt quá 2) và kết quả vẫn không đổi. Kiểm tra thử: - Với $p$ chia 4 dư 1 thì số tất cả các trường hợp xảy ra là: $(p^3-1)(p-1)^3+3(p-1)^2(p^3-p^2+p-1)+3(p-1)(2p^3-3p^2+2p-1)+(5p^3-6p^2+3p-1)=p^6$. - Với $p$ chia 4 dư 1 thì số tất cả các trường hợp xảy ra là: $(p^3+1)(p-1)^3+3(p-1)^2(p^3-p^2+p-1)+3(p-1)(2p^3-p^2-2p+1)+(3p^3-3p+1)=p^6$. Hoàn tất trùng khớp do mỗi số $a,b,c,a',b',c'$ có $p$ cách chọn. Các đại lượng trên hứa hẹn sẽ có một lời giải đẹp cho trường hợp tổng quát này. __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: congbang_dhsp, 14-01-2013 lúc 01:36 PM |
The Following 5 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | ha.uyen2796 (14-01-2013), hongduc_cqt (18-07-2013), nghiepdu-socap (13-01-2013), nyctkt (14-01-2013), pmn_t1114 (13-01-2013) |
13-01-2013, 03:59 PM | #11 | |
+Thành Viên+ | Trích:
Thật vậy, khi đó tồn tại $m,n,q $ mà $mnx\equiv x_1,nqy\equiv y_1,qmz\equiv z_1 $, lúc này chỉ cần thay $a,a' $ thành $ma $ và $ma' $, tương tự... __________________ Quay về với nơi bắt đầu | |
The Following User Says Thank You to kien10a1 For This Useful Post: | huynhcongbang (14-01-2013) |
14-01-2013, 12:28 AM | #12 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 252 Thanks: 40 Thanked 455 Times in 95 Posts | MS nghĩ bài toán kiểu này xuất phát từ các vấn đề nghiên cứu về phương trình Diophantine trên các trường hữu hạn. Việc cho modulo 15 ở đây đơn giản vì $15=3\times5$ để đưa về việc đếm số nghiệm của một hệ phương trình trong $\mathbb Z_p$ với $p$ là số nguyên tố. Có một số bài toán kiểu này đã được sử dụng trong các cuộc thi Olympiad. Liên quan đến phương trình xuất hiện trong hệ này có một câu hỏi nổi tiếng như sau: giả sử A,B,C,D là các tập con của $\mathbb Z_p=\{0,1,\ldots,p-1\}$. Với điều kiện nào của $A,B,C,D$ thì phương trình $ab+cd\equiv 1\pmod p$ có nghiệm? |
The Following User Says Thank You to Mr Stoke For This Useful Post: | thaygiaocht (14-01-2013) |
14-01-2013, 10:05 AM | #13 |
Vọng Phong Nhi Đào Tham gia ngày: Jul 2011 Bài gởi: 282 Thanks: 85 Thanked 207 Times in 111 Posts | Câu hỏi nổi tiếng đây á? __________________ Nhâm Ngã Hành |
12-01-2013, 11:58 AM | #14 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Bài gởi: 127 Thanks: 87 Thanked 35 Times in 22 Posts | Anh Hiếu trình bày đầy đủ đi ạ __________________ Lê Minh Phúc-12A1 THPT Đạ Hoai VMO 2014- Đợi mình nhé |
12-01-2013, 01:52 PM | #15 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->??? Bài gởi: 210 Thanks: 102 Thanked 179 Times in 90 Posts | Mọi người trình bày lời giải hộ mình __________________ Touch me touch me, don't be shy I'm in charge like a G.U.Y. I'll lay down face up this time Under you like a G.U.Y. |
Bookmarks |
|
|