Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2019-2020-Lời giải và bình luận

[Hải Thụy]

MỘT SỐ CÂU HÌNH

Bài 1. [LHP-TPHCM-1] Cho đường thẳng $d$ cố định và điểm $A$ cố định không thuộc $d.$ Các điểm $B,\,C$ di động trên $d$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB\,<\,AC.$ Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, $AI$ cắt $BC$ tại $D,$ cắt $(ABC)$ tại $J,$ khác $A.$
$\,a.\,$ CMR $IJ^2\,=\,JD.JA.$
$\,b.\,$ Gọi $K$ đối xứng $I$ qua $BC.$ $AI$ cắt $(BIC)$ tại $G$ khác $I.$ CMR $GK$ luôn đi qua một điểm cố định.
$\,c.\,$ Gọi $E$ là tâm đường tròn qua $A$ và tiếp xúc $BC$ tại $D,$ gọi $M,\,N$ là hình chiếu của $D$ lên $BE,\,CE.$ Chứng minh $B,\,I,\,M,\,N,\,C$ đồng viên.
Bài 2. [PTNK-1]Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $B,\,C$ cố định và $A$ thay đổi trên cung lớn $BC.$ Các đường tròn bàng tiếp góc $A,\,B,\,C$ lần lượt tiếp xúc $BC,\,CA,\,AB$ tại $D,\,E,\,F.$
$\,a.\,$ Gọi $L$ là giao điểm thứ hai của $(ABE)$ và $(ACF).$ CMR $AL$ luôn đi qua một điểm cố định.
$\,b.\,$ $(BCF)$ cắt $(BAD)$ tại $M,\,B,$ $(CAD)$ cắt $(CBE)$ tại $N,\,C.$ Gọi $K,\,I,\,J$ lần lượt là trung điểm $AD,\,BE,\,CF.$ CMR $KL,\,IM,\,JN$ đồng quy.
Bài 3. [PTNK-2] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,\,CA,\,AB$ lần lượt tại $D,\,E,\,F.$ Gọi $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $EF.$
$\,a.\,$ CM giao điểm của $AH$ và $JD$ thuộc $OI.$
$\,b.\,$ $DH$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $D,$ $IK$ cắt $(IEF)$ tại $L$ khác $I.$ CM $AD$ và $LH$ cắt nhau tại một điểm trên đường tròn $(IEF).$
Bài 4. [Khánh Hòa-1] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có đường trung tuyến $AM$ và phân giác trong $AD.$ Qua điểm $N$ trên đoạn $AD$($N$ không trùng $A,\,D$)kẻ $NP$ vuông góc $AB$ ($P$ thuộc cạnh $AB.$)Đường thẳng qua $P$ vuông góc $AD$ cắt đoạn thẳng $AM$ tại $Q.$ CMR $QN\,\bot \,BC.$
Bài 5. [Phú Thọ] Cho tam giác $ABC$ thỏa $AB\,=\,AC\,>\,BC.$ Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác, $BI$ cắt $AC$ tại $D,$ lấy $J$ đối xứng $I$ qua $AC.$ Đường tròn $(BDJ)$ cắt $AI$ tại $E.$
$\,a.\,$ CMR $ED\,//\,IJ.$
$\,b.\,$ CMR $9AE\,\geqslant\,8AI.$
Bài 6. [Khánh Hòa-2] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đưởng tròn $(O),$ ba đường cao $AD,\,BE,\,CF.$ Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $I$ là giao điểm $EF$ và $BC.$
$\,a.\,$ $AD$ cắt $(O)$ tại $L.$ CMR $A,\,I,\,L,\,M$ đồng viên.
$\,b.\,$ Qua $D$ kẻ đường thẳng song song $EF;$ cắt $AB,\,AC$ lần lượt tại $R,\,S.$ CMR $DM.DI\,=\,DR.DS.$
Bài 7. [Kiên Giang] Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(\Omega).$ Các tiếp tuyến tại $B,\,C$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn lần lượt tại $K,\,L.$ Đường thẳng qua $K$ song song $AB$ cắt đường thẳng qua $L$ song song $AC$ tại $P.$ CMR $BP\,=\,CP.$
Bài 8. [Đồng Nai]Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I).$ Gọi $D,\,E,\,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $BC,\,CA,\,AB.$ Gọi $M$ là trung điểm $AB.$ Gọi $N,\,P,\,Q$ lần lượt là giao điểm ba đường thẳng $AM,\,BI,\,CI$ với đường thẳng $EF.$
$\,a.\,$ CMR ba điểm $D,\,N,\,I$ thẳng hàng.
$\,b.\,$ CM bốn điểm $B,\,C,\,P,\,Q$ đồng viên.
Bài 9. [Hà Tĩnh] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân, các đường cao $AA_1,\,BB_1$ cắt nhau tại $H.$ Hai đường tròn $(ABC)$ và $(A_1B_1C)$ cắt nhau tại $N$ khác $C.$ Gọi $M$ là trung điểm $AB,$ $K$ là giao điểm $CN$ và $AB.$ Đường thẳng $CM$ cắt đường tròn $(A_1B_1C)$ tại điểm thứ hai $P,$ cắt $(ABC)$ tại điểm thứ hai $Q.$
$\,a.\,$ CMR $K,\,H,\,P$ thẳng hàng.
$\,b.\,$ CMR $AQ\,=\,BP.$
Bài 10. [Hà Nam]Cho $A$ là điểm di động trên cung lớn $BC$ cố định của đường tròn $(O).$ Gọi $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC.$ Trên cạnh $BC$ lần lượt lấy $P,\,Q$ sao cho $IP\,\bot\,IC,\,IQ\,\bot\,IB.$ \\
$\,a.\,$ Gọi $D$ là trung điểm cung nhỏ $BC$ của $(O).$ CMR $AD $ là trục đẳng phương hai đường tròn $(ABP)$ và $(ACQ).$
$\,b.\,$ Gọi $L$ là giao điểm ba đường đối trung của tam giác $IPQ.$ Gọi $S$ là trung điểm $PQ.$ CMR $LS$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di động trên cung lớn $BC$ của $(O).$
Bài 11. [Lam Sơn] Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $I$ cố định khác $O$ ở trong đường tròn, đường thẳng qua $I$ vuông góc $OI$ cắt đường tròn tại hai điểm $C,\,D.$ $A$ là một điểm nằm trên đường tròn, tia đối xứng với tia $IA$ qua đường thẳng $CD$ cắt đường tròn tại $B,$ gọi $M$ là trung điểm $AB.$
$\,a.\,$ CMR đường thẳng $AB$ đi qua một điểm cố định $L$ khi $A$ thay đổi trên $(O;R).$
$\,b.\,$ Gọi $N,\,P$ là giao điểm của đường thẳng $OM$ với đường tròn $(O;R).$ Điểm $N$ nằm trên cung $ADB,$ $CN$ và $DP$ cắt nhau tại $Q.$ CMR các điểm $Q,\,N$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của tam giác $CMD.$
Bài 12. [Lào Cai] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ với các đường cao $AD,\,BE,\,CF$ đồng quy tại $H.$ $AA'$ là đường kính của $(O).$ Các đường thẳng $A'B,\,A'C$ cắt $AC,\,AB$ lần lượt tại $M,\,N.$ Các điểm $P,\,Q$ thuộc đường thẳng $EF$ sao cho $PB,\,QC$ vuông góc $BC.$ Đường thẳng qua $A$ vuông góc $QN,\,PM$ lần lượt cát $(O)$ tại $X,\,Y.$ Hai tiếp tuyến tại $X,\,Y$ của $(O)$ cắt nhau tại $J.$
$\,a.\,$ Gọi $S$ là trung điểm $AH.$ CMR $SB\,//\,AY.$
$\,b.\,$ CMR $JA'\,\bot \,BC.$
Bài 13. [Hải Dương]
$\,a.\,$Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ xét đường tròn $(O')$ tiếp xúc $AB,\,AC$ lần lượt tại $P,\,Q$ và tiếp xúc trong $(O)$ tại $S.$ Gọi $D$ là giao điểm $AS$ và $PQ.$ CMR $\frac{BP}{CQ}\,=\,\frac{BS}{CS}$ và $\angle BDP\,=\,\angle CDQ.$
$\,b.\,$ Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$ và $D_1,\,E_1$ là tiếp điểm của $(I)$ với $BC,\,CA.$ Lấy $D_2,\,E_2$ trên $BC,CA$ sao cho $BD_1\,=\,CD_2,AE_1\,=\,CE_2.$ Gọi $P$ là giao điểm $AD_1$ và $BE_2,$ $Q,\,R$ là giao điểm $AD_2$ và $(I),$($Q$ nằm giữa $A$ và $R$). CMR $AQ\,=\,D_2P.$
Bài 14. [Bắc Giang] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $H$ là trực tâm. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung $BHC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC.$ $BM$ cắt $AC$ tại $E,$ $CM$ cắt $AB$ tại $F.$ $AD$ là phân giác trong góc $BAC.$ Gọi $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF.$
$\,a.\,$ CM $TD\,\bot \,BC.$
$\,b.\,$ CM bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ bằng $OD.$
Bài 15. [Vĩnh Long] Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB\,>\,AC.$ Hai phân giác $BE,CF$ cắt nhau tại $I,$ đường thẳng qua $I$ vuông góc $EF$ theo thứ tự cắt $BC,EF$ tại $P,\,Q.$ Gọi $L$ là giao điểm $EF,BC;$ $R$ là giao điểm $PQ,AL.$ $H,D$ là giao điểm của $AI$ với $EF$ và $BC.$ Biết $IP\,=\,2IQ.$
$\,a.\,$ CM tam giác $LPR$ cân tại $L.$
$\,b.\,$ Tính số đo góc $BAC.$
Bài 16. [Bắc Ninh] Cho tam giác $ABC$ không cân có trực tâm $H$ và tâm ngoại tiếp $O,$ $D,\,E$ là chân đường cao hạ từ $A,\,B.$ $OD$ cắt $BE$ tại $K,$ $OE$ cắt $AD$ tại $L.$ Gọi $M$ là trung điểm $AB.$ CMR $K,\,L,\,M$ thẳng hàng khi và chỉ khi $ C,D,O,H$ đồng viên.
Bài 17. [Đà Nẵng-1]
$\,a.\,$ Cho tam giác $ABC$ có điểm $P$ thay đổi trên trung tuyến $AM.$ Gỉa sử $(APB)$ cắt $AC,\,BC$ tại $E,\,X.$ Còn $(APC)$ cắt $AB,\,BC$ tại $F,\,Y.$ $AM$ cắt lại $(AEF)$ tại $T,$ $EF$ cắt $BC$ tại $K.$ CMR $KT$ tiếp xúc $(AEF).$
$\,\b.\,$ Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp $(O)$ có đường cao $AD,$ trực tâm $H,$ $M$ là trung điểm $BC.$ Hạ $AG$ vuông góc $HM$ và lấy $L,P$ lần lượt là trung điểm $HG,\,AG.$ Lấy $K$ đối xứng $G$ qua $OL,$ trên $LK$ lấy $S$ sao cho $SD\,=\,SM.$ Gọ $T$ là giao điểm $GK$ và $BC.$ Lấy $X$ thuộc $MK$ để $XT$ vuông góc $ST.$ Lấy $Y$ đối xứng $X$ qua $T.$ CMR $KG,YD,MP$ đồng quy.
Bài 18. [Long An-1]
$\,a.\,$ Cho $A,\,B$ là hai điểm cố định, phân biệt. Điểm $M$ thay đổi sao cho $\frac{MA}{MB}\,=\,\frac{1}{2}.$ Điểm $M$ có thuộc một đường tròn cố định hay không?
$\,b.\,$ Cho $4$ điểm $A,B,C,D$ cố định, phân biệt, thẳng hàng theo thứ tự này và $AB\,\neq\,CD.$ Điểm $M$ thay đổi sao cho $\angle AMB\,=\,\angle CMD,$ $M$ không thuộc $AB.$ Điểm $M$ có thuộc một đường tròn cố định hay không? Vì sao?
Bài 19. [Long An-2] Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, không cân, $AB\,>\,AC.$ $A',B',C'$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB.$ Hai điểm $P,P'$ phân biệt sao cho $PA\,=\,P'A',PB\,=\,P'B',PC\,=\,P'C',$ $G$ là trọng tâm tam giác $ABC,$ $E$ là tâm ngoại tiếp tam giác $A'B'C',$ $Q$ là ảnh của $P$ qua phép vị tự tâm $G,$ tỉ số $\frac{1}{2},$($P$ khác $G,$ $Q$ khác $P'.$) Đường thẳng $PP'$ cắt $GE$ tại $S,$ $G$ nằm giữa $S$ và $E.$ Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?\\
$a.\,$ $E$ nằm trên đường thẳng $QP'.$
$b.\,$ $G$ là trung điểm $SE.$
Bài 20. [Quảng Ninh]
Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân, đường cao $AD,$ trực tâm $H.$ Dựng đường tròn tâm $M$ đường kính $BC.$ Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AE,\,AF$ tới đường tròn $M,$($E,\,F$ là các tiếp điểm). Các đường thẳng $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $N,$ $I$ là trung điêm $AH.$ Đường thẳng qua $D$ vuông góc $IM$ cắt các đường thẳng $AB,\,AC$ lần lượt tại $P$ và $Q.$ CM bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng viên.
Bài 21. [KonTum] Cho đường tròn $(O,R)$ cố định, tam giác $ABC$ là tam giác nhọn thay đổi nội tiếp $(O).$
$\,1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ${m^2}_a\,+\,{m^2}_b\,+\,{m^2}_c$ với $m_a,m_b,m_c$ là độ dài ba trung tuyến xuất phát từ $A,B,C$ của tam giác $ABC.$
$\,2.$ Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm $BC.$ Điểm $P$ thuộc đường thẳng $HM$ sao cho $AP$ là phân giác trong góc $BAC.$ Đường thẳng $d$ qua $H$ vuông góc với $AP$ cắt các đường thẳng $AB,AC$ lần lượt tại $E,F.$ Gọi $N$ là giao điểm $AO$ và $EF.$ CMR $PH\,=\,PN$ và tứ giác $AEPF$ nội tiếp.
Bài 22. [Hải Phòng-1] Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I),$ $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D.$ $AD$ cắt $(I)$ tại $P.$ $PB,PC$ cắt $(I)$ tại $N,M.$ CMR $BM,CN,DP$ đồng quy.
Bài 23. [Hải Phòng-2] Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I),$ $(I)$ tiếp xúc $BC, CA,AB $ tại $D,E,F.$ $AD$ cắt $(I)$ tại $Q.$ Tiếp tuyến tại $I$ cắt $EF$ tại $S.$
$\,a.\,$ CM $S,D,B,C$ thẳng hàng và tạo thành hàng điều hòa.
$\,b.\,$ Gọi $K,\,M $ là giao điểm các cặp đường $(DI,EF)$ và $(AK,BC).$ $CH$ vuông góc $AB$ tại $H.$ CMR $MH$ là tiếp tuyến $(SHD).$
Bài 24. [Quảng Ngãi-1] Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC.$ $M$ là trung điểm $BC.$ Đường tròn nội tiếp $(I).$ Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AI$ cắt tiếp tuyến vẽ từ $M$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$(Khác đường $BC$) tại điểm $P.$ Gọi $D$ là điểm tếp xúc của $BC$ với $(I).$\\
$\,a.$ Gọi $(Q)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC.$ $BC$ tiếp xúc $(Q)$ tại $E.$ $D'$ đối xứng $D$ qua $I.$ CMR $A,E,D'$ thẳng hàng.
$\,b.$ CMR $AI$ tiếp xúc $(MIP).$
Bài 25. [Quảng Ngãi-2] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ một đường tròn $(I)$ bất kì qua $B,C$ cắt $AB,AC$ tại $E,D.$ $BD$ cắt $CE$ tại $F,$ $IG\,\bot\,AF,\,G\,\in\, AF.$
$\,a.\,$ CM $D,E,G,I$ đồng viên và $GA$ là phân giác góc $DGE.$
$\,b.\,$ $BD$ cắt $GE$ tại $H,$ $CE$ cắt $GD$ tại $K.$ $DE$ cắt $(O)$ tại $M,N.$ CMR $(GHK)$ tiếp xúc $(GMN).$
Bài 26. [Quang TrungBP-1] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân, hai đường cao $AA_1,BB_1$ cắt nhau tại $H.$ Đường tròn $(ABC)$ cắt $(A_1B_1C)$ tại $N(\,\neq C).$ Gọi $M$ là turng điểm $AB,$ $K$ là giao điểm $CN$ và $AB.$ $CM$ cắt $(CA_1B_1)$ tại điểm thứ hai $P,$ cắt $(ABC)$ tại điểm thứ hai $Q.$
$\,a.\,$ CM $K,H,P$ thẳng hàng.
$\,b.\,$ $APBQ$ là hình bình hành.
Bài 27. [Quang TrungBP-2] Cho tam giác $ABC$ và $D$ là một điểm nằm trên cạnh $AC.$ Gọi $I_1,I_2$ là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$ và $BCD.$
$\,a.\,$ Gọi $R,S$ là các tiếp điểm của $(I_1)$ với $AB,AD.$ Gọi $E$ là trung điểm $AD,$ $K$ là giao điểm $BI_1$ với $RS.$ CM $ES\,=\,EK.$
$\,b.\,$ Đường tròn $(BI_1I_2)$ cắt $BA,BC$ tại $X,Y$ tương ứng. CM $AX\,+\,CD\,=\,CY\,+\,AD.$
Bài 28. [Quang TrungBP-3] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ $P$ bất kì trên đoạn $AO.$ $X,Y,Z$ lần lượt thuộc $BC,CA,AB$ sao cho $PX,PY,PZ$ lần lượt là phân giác các góc $BPC,CPA,APB.$ CMR $H,X,Y,Z$ đồng viên với $H$ là hình chiếu vuông góc $A$ lên $BC.$
Bài 29. [Quảng Ninh-2] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ các tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $M.$ Các tiếp tuyến tại $A,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $N,$ $AM$ và $BC$ cắt nhau tại $D,$ $BN$ và $CA$ cắt nhau tại $E.$ $I,J$ lần lượt la trung điểm $AD,BE.$
$\,a.\,$ CM $\angle ABI\,=\,\angle BAJ.$
$\,b.\,$ Tính tỉ số các cạnh tam giác $ABC$ để góc $ABI$ có số đo lớn nhất.
Bài 30. [Quảng Trị] Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC,$ ba đường cao $AD, BE,CF $ đồng quy tại $H.$ $G$ là giao điểm $BH$ và $DF,$ $L$ là giao điểm $BC$ và $EF,$ $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $BCH,$ $K$ là trung điểm $BC.$ CM $H$ là trực tâm tam giác $AKL$ và $LG$ vuông góc $AO.$
Bài 31. [Bình Thuận] Cho tam giác nhọn $ABC$ có đường cao $AH,$ lấy điểm $P$ trong tam giác sao cho $\angle APB\,=\,\angle APC.$ Gọi $R,Q$ là điểm đối xứng của $P$ qua $AB,AC.$ Gỉa sứ $(APH)$ cắt $BC$ tại $T$($T$ không trùng $H.$) CMR $T,Q,R$ thẳng hàng.
Bài 32. [Gia Lai] Cho tam giác $ABC$ nhọn, hai điểm $M,N$ lần lượt nằm trên $AB,AC$ sao cho $BM\,=\,CN.$ Giả sử $(ABC)$ cắt $(AMN)$ tại $A$ và $K.$
$\,a.\,$ CMR $K$ là trung điểm cung $BAC$ của đường tròn $(ABC.)$
$\,b.\,$ Gọi $I,J$ lần lượt là tâm $(ABN)$ và $(ACM).$ CMR $A,K,I,J$ đồng viên.
Bài 33. [Quảng Trị] Cho đường tròn $(O)$ tiếp xúc $AB,AC$ tại $B,C.$ Đường thẳng $d$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $D,E.$ $(d)$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P,Q.$ Đường thẳng qua $D$ song song $AC$ cắt $BC$ tại $M.$ Đường thẳng qua $E$ song song $AB$ cắt $BC$ tại $N.$
$\,a.\,$ CM $M,N,P,Q$ đồng viên.
$\,b.\,$ CM đường tròn $(MNPQ)$ tiếp xúc đường thẳng $DM.$
Bài 34. [Quảng Trị] Cho tam giác $ABC$ không cân, trên cạnh $BC$ lấy $D,E$ sao cho $\angle DAB\,=\,\angle EAC.$ Đường trung trực của $DE$ cắt $AB,AC$ tại $F,G.$ CMR hình chiếu của $F,G $ trên $AD,AE$ đồng viên.
Bài 35. [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O),$ $(K)$ là đường tròn qua $B,C$ và không qua $A.$ $E,F$ là giao điểm thứ hai của $(K)$ và $AC,AB.$ $H$ là giao điểm $BE$ và $CF.$ CMR:
$\,a.\,$ Các đường tròn $(AEF), (BKE),(CKF)$ cùng đi qua một điểm thuộc $(O).$
$\,b.\,$ Tâm đường tròn $(KEF)$ thuộc $OH.$
Bài 36. [Ninh Bình] Cho tam giác $ABC$ có $AB\,<\,AC.$ Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F.$ Điểm $M$ di động trên đoạn $FD,$ đường thẳng qua $M$ song song $BC$ cắt $EF$ tại $K$ và cắt $DE$ tại $P.$ Kẻ tiếp tuyến $KH$ với $(MEF),$ $H$ là tiếp điểm. Đường trung trực $ME$ cắt $AI$ tại $N$ và $HD$ cắt $ME$ tại $G.$
$\,a.\,$ CM $F,G,P$ thẳng hàng.
$\,b.\,$ CM khi $M$ thay đổi trên $DF$ thì $GN$ luôn đi qua điểm cố định.
Bài 37. [Lào Cai] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân. Đường tròn $(O)$ đi qua hai điểm $B,C$ cắt các cạnh $AB,AC$ tại $D,E.$ Giả sử $BE$ cắt $CD$ tại $I,$ gọi $M,N$ là trung điểm $BE,CD$ và $MN$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q.$
$\,a.$ CMR $AI$ là đường đối trung tam giác $APQ.$
$\,b.$ CMR $(APQ)$ tiếp xúc đường tròn đường kính $IO.$
Bài 38. [Hướng tới VMO-N1] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O).$ Trên $AB,AC$ lấy $X,Y$ sao cho $BX+CY=BC.$
Gọi $M,N$ là tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $B,C$ của tam giác $ABC.$ Gọi $T$ là giao điểm $MX$ và $NY.$ $MN$ cắt lại 4(O)$ tại $P,$ $PT$ cắt lại $(O)$ tại $Q.$ CMR bốn điểm $X,Y,T,Q$ đồng viên.
Bài 39. [Cà Mau] Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O;R).$ Một đường thẳng $d$ thay đổi sao cho $d$ luôn vuông góc $OA$ và luôn cắt $AB,AC$ tại $M,N.$ Giả sử $BN$ và $CM$ cắt nhau tại $K$ và $AK,BC$ cắt nhau tại $P.$
$\,a.\,$ CMR đường tròn $(MNP)$ luôn đi qua điểm cố định khi $d$ thay đổi.
$\,b.\,$ Gọi $G$ là trực tâm tam giác $AMN.$ CMR $GK$ luôn đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC.$
Bài 40. [Hướng tới VMO-N2] Cho đường tròn $(O)$ có dây $BC$ cố định, điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho $ABC$ nhọn không cân. Gọi $M$ là trung điểm $BC,$ $H$ là trực tâm tam giác $ABC.$ Gọi $R,S$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AB,AC.$ Đường tròn $(ARS)$ cắt lại $(O)$ ở $T.$
$\,a.\,$ CMR $HT$ luôn đi qua điểm cố định.
$\,b.\,$ Gọi $KL$ là dây cung thuộc cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(BHC)$ sao cho $A$ là trung điểm cung lớn $KL$ của đường tròn $(KTL).$ CMR $(KLM)$ chia đôi $AH.$
Còn nữa.....p~

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ncthanh]

Nguyên văn bởi Hải Thụy

MỘT SỐ CÂU HÌNH

Bài 2. [PTNK-1]Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $B,\,C$ cố định và $A$ thay đổi trên cung lớn $BC.$ Các đường tròn bàng tiếp góc $A,\,B,\,C$ lần lượt tiếp xúc $BC,\,CA,\,AB$ tại $D,\,E,\,F.$ \\
$\,a.\,$ Gọi $L$ là giao điểm thứ hai của $(ABE)$ và $(ACF).$ CMR $AL$ luôn đi qua một điểm cố định.\\
$\,b.\,$ $(BCF)$ cắt $(BAD)$ tại $M,\,B,$ $(CAD)$ cắt $(CBE)$ tại $N,\,C.$ Gọi $K,\,I,\,J$ lần lượt là trung điểm $AD,\,BE,\,CF.$ CMR $KL,\,IM,\,JN$ đồng quy.

a) Ta thấy $L$ là tâm của phép vị tự quay biến $BF$ thành $CE$, mà $$BF=\dfrac{AB+AC-BC}{2}=CE.$$ Nên hai tam giác $LBF$ và $LEC$ bằng nhau. Kéo theo $LB=LE$, $LF=LC$ nên $AL$ là phân giác góc $BAC$, do đó nó đi qua trung điểm cung nhỏ $BC$ là một điểm cố định.


b) Vì $N$ và $L$ có vai trò tương tự nhau nên từ câu a) ta có $LB=LE$, $NB=NE$ nên $NL$ là trung trực của $BE$, suy ra $I$ thuộc $NL.$ Tương tự $LM$ đi qua $J$ và $MN$ đi qua $K.$

Ta có hai tam giác $LBE$ và $LFC$ đồng dạng có $LI$, $LJ$ là các đường cao tương ứng nên $$\dfrac{LI}{LJ}=\dfrac{BE}{CF}.$$
Và như vậy $$\dfrac{LI}{LJ}\cdot \dfrac{MJ}{MK} \cdot \dfrac{NK}{NI} = \dfrac{BE}{CF} \cdot \dfrac{CF}{AD} \cdot \dfrac{AD}{BE}=1.$$
Nên theo định lí Ceva, ta có $KL$, $MI$ và $NJ$ đồng quy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Hải Thụy]

[QUOTE=Hải Thụy;214419]

Các bài toán Giải Tích

1.[ TPHCM Ngày 1] Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $$u_1\,=\,\frac{-1}{3},\,u_{n+1}\,=\,\frac{u_n\,+\,1}{\sqrt{{u_n}^2 \,+\,1}}\,-\,1,\,n\,=\,1,2,3...$$ Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.
2. [ Lam Sơn-Thanh Hóa]Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi: $$x_1\,=\,\alpha,\,(\alpha \in\,\mathbb{R}),\,\,x_{n+1}\,=\,(1\,+\,\frac{1}{n +1}\,-\,\frac{2}{(n+1)^2})x_n\,+\,\frac{8}{(n+1)^2},\,\, \forall n\,\geqslant\,1.$$ Tìm số hạng tổng quát của dãy $(x_n),$ từ đó tìm $\alpha$ để dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn.

3. [Lam Sơn-Thanh Hóa] Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R},$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa: $$f(xy)\,+\,f(x+y)\,=\,f(xy+x)\,+\,f(y).$$
4. [Sóc Trăng ngày 1]Cho dãy số $(u_n)$ thỏa: $$\left\{ \begin{gathered} {u_1}\, = \,2020 \hfill \\ 2020{u_{n + 1}}\, = \,2019{u_n}\, + \,u_n^2,\,\,\,\,\,\forall \,n\, \in \,{N^*} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{u_k}}}{{{u_{k + 1}}\, - \,1}}.} $
5. [ Sóc Trăng ngày 2]Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau: $$\left\{ \begin{gathered} {a_1}\, = \,5,\,{a_2}\, = \,13 \hfill \\ {a_{n + 2}}\, = \,5{a_{n + 1}}\, - \,6{a_n},\,\,\,\,\,\forall \,n\, \in \,{N^*} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ Chứng minh rằng với $k$ nguyên dương bất kì, nếu $p$ là một ước nguyên tố của $a_{2k}\,+\,2.6^k$ thì $p$ cũng là ước của $a_{2k+1}\,+\,5.6^k.$ 6. [Lào Cai] Cho $(a_n),\,(b_n)$ thỏa: $$a_0\,=\,1,\,a_1\,=\,\frac{1}{2},\,b_n\,=\,\frac{ 1}{3}\,+\,2a_{n+1},\,2b_{n+1}\,=\,2b_n\,-\,a_n.$$ Với mỗi $n\,\in \mathbb{N},$ đặt ${c_n}\, = \,\frac{1}{{{2^{n + 1}}}}\sum\limits_{i = 0}^n {\frac{{{b_i}}}{{{a_i}}}.} $ Tính lim$c_n.$
7. [Cần Thơ]Cho hàm số $f$ liên tục trên $[0;2020]$ thỏa $f(2020)\,=\,f(0)\,+\,2020,$ $f(1010)\,\ne f(0)\,+\,1010.$ Chứng minh rằng tồn tại $x_1,\,x_2\,\in\, (0;2020)$ mà $x_1\,\ne\,x_2$ sao cho $f(x_1)\,-\,x_1\,=\,f(x_2)\,-\,x_2.$
8. [PTNK] Số thực $\alpha$ được gọi là điểm tụ của dãy số $(u_n)$ nếu tồn tại ít nhất một dãy con của dãy $(u_n)$ hội tụ đến $\alpha.$ $\,(a)\,$ Hãy chỉ ra một dãy có vô hạn điểm tụ. $\,(b)\,$ CMR nếu mọi dãy con của dãy $(u_n)$ đều hội tụ thì dãy $(u_n)$ cũng hội tụ. $\,(c)\,$ Gọi $S$ là tập các số chính phương. Dãy số $(a_n)$ thỏa $a_n\,=\,\frac{1}{n}$ nếu $n\,\in \,S$ bỏ ${0}$ và $a_n\,=\,\frac{1}{n^2}$ nếu $n\,\notin \,S.$ Xét tính hội tụ của các dãy $(a_n),\,(b_n)$ với $b_n\, = \,\sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}.}$ 9. [Bắc Giang]Tìm hàm số liên tục: $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa: $$f(x+y)f(x-y)\,=\,f^2(x)f^2(y)\,\,\,\,\,\forall x,\,y\,\in\,\mathbb{R}.$$
10. [KHTN] Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi: $$a_0\,=\,1,\,a_1\,=\,\frac{1}{2},\,a_{n+1}\,=\,\f rac{{a_n}^3}{2{a_{n-1}}^2-{a_n}^2}$$ với mọi $n\,\geqslant \,1.$ Đặt ${x_n}\, = \,\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{a_k}}}{{{2^k}}}.} $ CMR dãy $(x_n)$ hội tụ và tìm giới hạn đó.
11. [Hùng Vương-Bình Dương] Với mỗi $n\,\in\,\mathbb{N^*},$ đặt ${Q_n}(x)\, = \,\prod\limits_{i = 0}^n {(x - {i^2})} $ và kí hiệu ${Q'_n(x)}$ là đa thức đạo hàm của $Q_n(x).$ $\,1.\,$ Khi $n\,=\,2020$ thì đa thức $Q'_n(x)$ có bao nhiêu nghiệm thực? $\,2.\,$ CMR với mỗi $n$ nguyên dương, đa thức $Q'_n(x)$ có duy nhất một nghiệm thực $x_n$ thuộc $(0;1).$ $\,3.\,$ Tồn tại hay không giới hạn của dãy $(x_n)$ khi $n\,\to\,+\infty?$
12. [ĐH Vinh]Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi: $$x_1\,=\,1,\,{x_{n + 1}}\, = \,\sqrt[3]{{8x_n^3\, + 12x_n^2 + 1}}$$ với mọi $n$ nguyên dương. Tính $\lim \frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}.$ 13. [Amsterdam]Cho hàm số $y\,=\,x\,+\,\frac{1}{x}$ với $x\,>\,0$ có đồ thị $(C).$ Một đường thẳng đi qua điểm $A(0;1)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M$ và $N.$ Các tiếp tuyến với $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M,\,N$ cắt nhau tại điểm $P.$ Tìm hoành độ điểm $P,$ và chứng minh rằng tung độ của điểm $P,$ kí hiệu $y_P$ thỏa $2\,<\,y_P\,<\,\frac{5}{2}.$
14. [Lâm Đồng] Cho số thực $a$ và dãy số thực $(u_n)$ thỏa: $$\left\{ \begin{gathered} {u_1}\, = \,a \hfill \\ {u_{n + 1}}\, = \,\ln (8\, + \,\cos {u_n}\, + \,\sin {u_n})\, + \,2019,\,\,\,\forall \,n\,=\,1,2,3...\,\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ CMR dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.
15. [Đồng Tháp]Cho dãy số thực dương $(x_n)$ xác định bởi: ${x_n}\, = \,2(1\, - \,\frac{1}{{2{n^2}\, + \sqrt {4{n^4}\, + \,1} }})$ với mọi $n$ nguyên dương. Đặt ${S_n}\, = \,\sum\limits_{i = 1}^n {\sqrt {{x_i}} } \,(n\, \geqslant \,1).$ $\,a.\,$ Tính $S_{20}.$ $\,b.\,$ CMR tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $S_n$ nhận giá trị nguyên.
16. [Quảng Bình] Cho hai dãy số thực $(a_n),\,(b_n)$ thỏa mãn: $ \left\{ \begin{gathered} {a_1}\, = \,2 \hfill \\ {a_n}\, = \,2(n + {a_{n - 1}}),\,\forall \,n\, \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ và $\left\{ \begin{gathered} {b_1}\, = \,2 \hfill \\ {b_n}\, = \,\frac{{n + 1}}{{n - 1}}({b_1} + \,{b_2}\, + ... + \,{b_{n - 1}}),\,\forall \,n\, \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\,a.\,$ CMR $a_n\,<\,2^{n+2}$ với mọi $n$ nguyên dương.\\ $\,b.\,$ Tính giới hạn: $\lim \frac{{2({b_n} + n + 2) + {a_n}}}{{{6^n}}}.$
17. [Hà Tĩnh] Cho các dãy số $(u_n),\,(v_n)$ thỏa: $lim(u_n)^n\,=\,2,\,lim(v_n)^n\,=3;\,u_n,\,v_n\,\n eq \,1$ với mọi $n.$ $\,a.\,$ CMR lim$u_n\,=\,1.$ $\,b.\,$ Tìm lim$(\frac{2u_n+3v_n}{5})^n.$
18. [Hà Nam]Cho hai số thực $a,\,b\,\in\,(0,1)$ và dãy số $(x_n)$ thỏa : $$x_1\,=\,a,\,x_2\,=\,b,\,{x_{n + 2}}\, = \,\frac{1}{4}x_{n + 1}^2\, + \,\frac{3}{4}\sqrt {{x_n}} \,,\,\forall \,n\, \geqslant 1.$$ CMR dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính lim$x_n.$

19. [Phú Thọ] Có tồn tại hay không hàm $f(x)$ gián đoạn tại mọi điểm thuộc $\mathbb R$ còn $f(x)^2$ liên tục trên $\mathbb R$.
20. [KHTNHN-3] Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn:
$a_1\,=\,\frac{2}{3},\,a_{n+1}\,=\,\frac{{a_n}^2\, +\,(n-1)a_n\,+\,2}{n+1}$ với mọi $n$ nguyên dương.
$\,a.\,$ CMR $(a_n)$ bị chặn.
$\,b.\,$ CM $(a_n)$ hội tụ và tìm giới hạn.
21. [Vĩnh Long] Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $a_1\,=\,2$ và $(4-a_n)(6+a_{n-1})\,=\,24$ với mọi $n$ nguyên dương lớn hơn hoặc bằng $2.$
$\,a.\,$ CMR $a_n$ khác $0$ với mọi $n\,\in\,\mathbb{N^*}.$
$\,b.\,$ Tính $S_{2020}\,=\,\frac{1}{a_1}\,+\,\frac{1}{a_2}\,+.. .\,+\frac{1}{a_{2020}}.$
22. [Bắc Ninh] Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ thỏa $u_0\,=\,a, v_0\,=\,b$ với $a,b$ là hai hằng số thực cho trước thỏa $0\,<\,a\,<\,b$ và $u_{n+1}\,=\,\frac{u_n+v_n}{2}$ và $v_{n+1}\,=\,\sqrt{u_{n+1}.v_n}$ với mọi số tự nhiên $n.$
$\,a.\,$ Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau.
$\,b.\,$ Tìm giới hạn đó theo $a,b.$
23. Đà Nẵng]
$\,a.\,$ CMR dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_n\,\in\,[0;n]$ và ${x_n}^n\,=\,e^{x_n}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
$\,b.\,$ CMR dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $a_1\,=\,a$ và $a_{n+1}\,=\,{a_n}^2\,-\,6.$ Xác định tất cả giá trị của $a$ để dãy này tuần hoàn.
24. Hải Dương] Cho dãy số $(x_n)$ thỏa $x_1\,=\,2019,$ $x_{n+1}\,=\,1\,+\,ln{\frac{x_n.({x_n}^2+3)}{3{x_n }^2+1}}.$ CM dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
25. [KonTum-1]Cho dãy số $(a_n)$ thỏa: $a_1\,=\,2019,\,a_{n+1}\,=\,\frac{{a_n}^2}{{a_n}^2 \,-\,a_n\,+\,1},\,n\,\in\,\mathbb{N^*}.$
$\,1.\,$ CM dãy $(a_n)$ là một dãy số giảm và bị chặn dưới. Tính giới hạn lim$a_n.$
$\,2.\,$ Tính giới hạn dãy số $(S_n)$ với $S_n\,=\,\sum\limits_{i = 1}^n {a_i}.$
26. [SGDĐT Thanh Hóa] Với mỗi số thực $a$ xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi:
$$\left\{ \begin{gathered}
{u_1}\, = \,a \hfill \\
{u_{n + 1}}\, = \,3{u^3}_n\, - \,7{u^2}_n\, + \,5{u_n}\,,\,\forall \,n\, \in \,\mathbb{N^*}\, \hfill \\
\end{gathered} \right.$$
Tìm tất cả giá trị $a$ để dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n$ tiến ra dương vô cực, và tìm giới hạn trong mỗi trường hợp đó.
27. [Quảng Ninh] Cho dãy số $(u_n)$ thỏa: $u_1\,=\,2019,\,u_{n+1}\,=\,\frac{1}{u_1+u_2+...+u _n}$với $n$ nguyên dương. CMR tồn tại $N$ nguyên dương sao cho:
$$u_1\,+\,u_2\,+\,...\,+\,u_N\,>\,2020.$$
28. [Hải Phòng-1] Cho dãy số $(u_n)$ thỏa: $u_1\,=\,2019,\,u_{n+1}\,=\,\sqrt{{u_n}^2\,-\,u_n\,+\,1\,+\,\frac{1}{n+1}}.$ CM dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
29. [Đồng Nai]Cho hàm số $$f(x)\, = \,\left\{ \begin{gathered}
0\,,\,0\, \leqslant \,x\, < \,a \hfill \\
1\, - \,{[\sqrt {ax} \, + \,\sqrt {(1 - a)(1 - x)} ]^2}\,,\,a\, \leqslant x\, \leqslant \,1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$
Ở đây $a$ là số thực $0\,<\,a\,<\,1.$ Cho dãy số $u_n$ xác định bởi : $u_1\,=\,1,\,u_n\,=\,f(u_{n-1})$ với mọi $n$ nguyên dương lớn hơn $1.$ CMR tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $u_k\,=\,0.$\
30. [Lào Cai] Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1\,=\,2019,\,u_{n+1}\,=\,(\sqrt{n^2+n}-n)(u_n+1)$ với mọi $n$ nguyên dương.
CMR dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
31. [Thanh Hóa-2] Cho $p>0,\,q>0,\,p+q=1$ và dãy $(a_n)$ không âm thỏa $a_{n+1}\,\leqslant \,pa_{n+1}+qa_n,\,n\,\in\,\mathbb{N^*}.$
CMR dãy $(a_n)$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.
32. [Tiền Giang] Có tồn tại hay không hàm $f:\,\mathbb{R}\,\to \,\mathbb{R}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho phương trình $f(x)\,=\,a$ có $2$ nghiệm thực phân biệt với mọi $a\,\in\,\mathbb{R}.$
33. [Vĩnh Phúc]
Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi $x_1\,=\,1,\,x_{n+1}\,=\,\frac{x_n+2}{x_n+3}\,\,\f orall n\,\in \mathbb{N^*}.$ CMR dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
34. [Thái Bình] Cho dãy số thực $(u_n)$ xác định bởi: $u_1\,=\,1,\,u_{n+1}\,=\,u_n\,+\,\frac{1}{2u_n}$ với mọi $n$ nguyên dương.
$\,1.\,$ Tính $lim\frac{u_n}{\sqrt{n}}.$
$\,2.\,$ Tính $[u_{2019}}.$( Ở đây $[x]$ kí hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá $x.$)
35. [Phú Yên] Cho $a\,\in\,\mathbb{R},$ xét dãy số $(u_n)$ được xác định bởi: $u_0\,=\,a,\,u_{n+1}\,=\,|u_n\,-\,2^{-n}|,\,n\,=\,0,1,2...$
Với giá trị nào của $a$ thì dãy có giới hạn hữu hạn, hãy tìm các giới hạn đó.
36. [Vũng Tàu] Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1\,=\,1,\,a_2\,=\,2,\,a_{n+2}\,=\,\frac{{a_{n+1 }}^2+3}{a_n}$ với mọi $n$ nguyên dương.
$\,a.\,$ CMR ${a_{n+1}}^2\,+\,{a_n}^2\,-\,4a_{n+1}a_n\,=\,-3$ và $\frac{{a_n}^2-1}{3}$ là số chính phương với mọi $n$ nguyên dương.
$\,b.\,$ Với mỗi số nguyên dương $b_n,$ đặt ${b_n}\, = \,\prod\limits_{i = 1}^n {(\frac{3}{{a_i^2}}\, + \,1)} .$ Tính $\lim {b_n}.$
37. [Lào Cai] Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi: $a_1\,=\,1,\,4a_{n+1}-2a_n\,=\,\sqrt{{a_n}^2+12}$ với mọi $n$ nguyên dương.
$\,1.\,$ CMR $0\,<\,a_n\,<\,2\,\,\forall n\,\geqslant\,1.$
$\,2.\,$ Xét dãy số $(b_n)$ xác định bởi : $b_1\,>\,0,\,b_{n+1}\,=\,\sqrt{a_n\,+\,b_n}.$ CMR dãy số $(b_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Le khanhsy]

[QUOTE=Hải Thụy;214426]

Nguyên văn bởi Hải Thụy

Các bài toán Giải Tích

1.[ TPHCM Ngày 1] Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $$u_1\,=\,\frac{-1}{3},\,u_{n+1}\,=\,\frac{u_n\,+\,1}{\sqrt{{u_n}^2 \,+\,1}}\,-\,1,\,n\,=\,1,2,3...$$ Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Ta sẽ chứng minh $u_n\ge -1$.
Kiểm tra $u_1$, giả sử $u_k> -1.$ Tiếp tục kiểm tra bước $u_{k+1}$ , hay là
$$u_{k+1}=\dfrac{u_k+1}{\sqrt{u_k^2+1}}-1> -1.$$
$$u_{n+1}+1=\dfrac{u_n+1}{\sqrt{u_n^2+1}}\le u_n+1\le \cdots\le u_1+1=\dfrac{2}{3}\rightarrow U_{n}\le -\dfrac{1}{3}.$$
Vậy nên ta được $-1< u_n\le -\dfrac{1}{3}.$ Vì dãy số trên bị chăn nên giả sử giới hạn là $\lim u_n=c$. Khi đó $c$ là nghiệm của phương trình
$$c+1=\dfrac{c+1}{\sqrt{c^2+1}}\Rightarrow c=\left\{-1,0\right\}$$
So sánh điệu kiền ta có ngay $\lim u_n=-1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Le khanhsy]

Nguyên văn bởi Hải Thụy

Các bài toán Giải Tích

14. [Lâm Đồng] Cho số thực $a$ và dãy số thực $(u_n)$ thỏa: $$\left\{ \begin{gathered} {u_1}\, = \,a \hfill \\ {u_{n + 1}}\, = \,\ln (8\, + \,\cos {u_n}\, + \,\sin {u_n})\, + \,2019,\,\,\,\forall \,n\,=\,1,2,3...\,\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ CMR dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Viết dãy số về dạng $u_{n+1}=f(u_n)$. Khi đó ta có
$$f'(x):=\dfrac{cosx-sinx}{sinx+cosx+8}.$$
Theo phương pháp điều kiện có nghiệm của dạng $a sin x+b cosx=c$
chúng ta có ngay $$-\dfrac{1}{\sqrt{31}}\le f'(x)\le \dfrac{1}{\sqrt{31}}.$$
Điều này chứng tỏ rằng $h(x):=f(x)-2000x=0,$
nếu có nghiệm nghiệm thì có cao nhất 1 nghiệm, ngoài tính liên tục. Lại có $h(1).h(2)<0$ nên có thể giả sử rằng $f(m)=2000m,\ m\in(1;2)$. Áp dụng định lý lagrange suy ra
$$|f(x)-f(y)|=|f'(c)||x-y|\le \dfrac{|x-y|}{\sqrt{31}}.$$
Suy ra
$$|u_{n+1}-2000m|=|f(u_n)-f(m)|\le \dfrac{1}{\sqrt{31}}|u_{n}-2000m|\le ..... \le \left(\dfrac{1}{\sqrt{31}}\right)^n|a-2000m|.$$
Chúng ta lại có
$$\lim \left(\dfrac{1}{\sqrt{31}}\right)^n|a-2000m|=0.$$
Vậy nên ta được điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Le khanhsy]

Bình Phước
Cho các số thực dương $a,b,c$. Biết rằng $a=\max\{a,b,c\}.$ Chứng minh rằng
$$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\dfrac{11}{2}\left(\sqrt{ \dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \right)+2\sqrt{\dfrac{a+7(b+c)}{a}}>\dfrac{15}{2}. $$

Chúng ta sẽ chứng minh
$$\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}.$$
Áp dụng Holder, ta có
$$\left(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b} } \right)^2\left[b^2(c+a)+c^2(a+b) \right]\ge (b+c)^3.$$
Do đó ta cần chứng minh
$$a(b+c)^3\ge (b+c)\left[b^2(c+a)+c^2(a+b) \right]=bc(b+c)(2a-b-c)\ge 0.$$
Do đó ta có
$$f(a,b,c)\ge x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{2\sqrt{x^2+7}}{x} ,\,\ x\ge \sqrt{2}/2$$
Lại có
$$\sqrt{x^2+7}\ge \dfrac{3x+7}{4}.$$
Vậy nên
$$f(a,b,c)\ge x+\dfrac{9}{x}+\dfrac{3}{2}\ge \dfrac{15}{2}.$$
Dấu bằng không xảy ra và có điểm nhạy cảm là $(9t,t,0)$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Le khanhsy]

Bình Phước
Cho các số thực không âm và không có 2 biến nào đồng thời bằng không. Biết rằng $a=\max\{a,b,c\}.$ Chứng minh rằng
$$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\dfrac{11}{2}\left(\sqrt{ \dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \right)+2\sqrt{\dfrac{a+7(b+c)}{a}}>\dfrac{15}{2}. $$

Ta có
$$\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge \sqrt{\dfrac{b^2}{ac+ba}}+\sqrt{\dfrac{c^2}{ca+ba} }=\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}.$$
Do đó ta có
$$f(a,b,c)\ge x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{2\sqrt{x^2+7}}{x} ,\,\ x\ge \sqrt{2}/2$$
Lại có
$$\sqrt{x^2+7}\ge \dfrac{9x+7}{4}.$$
Vậy nên
$$f(a,b,c)\ge x+\dfrac{9}{x}+\dfrac{3}{2}\ge \dfrac{15}{2}.$$
Dấu bằng không xảy ra.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Le khanhsy]

Nguyên văn bởi KHTNHN 2019

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng
$$\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfra c{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+6\left(ab+bc+ca\right) \ge 9\left(a^2+b^2+c^2\right)$$

Viết lại bất đẳng thức như sau
$$\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfra c{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-3\left(ab+bc+ca\right) \ge \dfrac{9}{2}\displaystyle\sum_{\text{cyc}}(a-b)^2,$$
$$\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)(a+b+c)}{abc}\sum_{\ text{cyc}}(a-b)^2\ge 9\displaystyle\sum_{\text{cyc}}(a-b)^2,$$
hay
$$\left[\left(ab+bc+ca\right)(a+b+c)-9abc\right]\displaystyle\sum_{\text{cyc}}(a-b)^2\ge 0. $$
Hiển nhiên đúng theo AM-GM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Hải Thụy]

MỘT SỐ CÂU TỔ HỢP

1.[Vĩnh Long]Cho $A$ là tập con của tập $X\,=\{1,2,3,...,10000\}$ sao cho nếu $a,\,b$ thuộc $A$ thì $ab$ không thuộc $A.$ Tìm số phần tử lớn nhất của tập $A.$
2.[Yên Bái-2] Cho tập $X$ gồm $15$ số nguyên dương phân biệt. Với mỗi tập con $A$ của $X$ ta kí hiệu $|A|$ là số phần tử của $A$ và $S_A$ là tổng các phần tử của $A.$ CMR tồn tại hai tập con $A,\,B$ khác rỗng của $X$ thỏa ba điều kiện sau:
$\,1.$ $|A|\,=\,|B|\,\leqslant\,6.$
$\,2.$ $A$ giao $B$ là rỗng.
$\,3.$ $S_A\,-\,S_B$ chia hết cho $5000.$
3.[Đắc Lắc] Cho $M$ là tập $n$ điểm trong mặt phẳng thỏa mãn hai điều kiện:
$\,1.\,$ Tồn tại $7$ điểm thuộc $M$ là các đỉnh của một thất giác lồi.
$\,2.\,$ Với $5$ điểm bất kì thuộc $M$ là các đỉnh của một ngũ giác lồi, tồn tại một điểm thuộc $M$ nằm ở miền trong ngũ giác lồi đó.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $n.$
4.[Đà Nẵng] Có $2019$ máy tính mà trong đó một số máy được nối với nhau. Biết rằng $2$ máy bất kì thì có đúng một máy nối với cả hai máy đó. Máy được nối đến nhiều máy nhất sẽ là máy chủ. Hỏi số máy được nối với máy chủ ít nhất là bao nhiêu?
5.[Long An]Cho $a_1,\,a_2,\,...,a_{2019}$ là $2019$ số thực bất kì. Có tồn tại số thực $x$ sao cho $a_1+x,a_2+x,...,a_{2019}+x$ đều là số vô tỉ hay không? Vì sao?
6.[Quang Trung]Trong một trận đấu võ thuật, mỗi võ sĩ thi đấu với một võ sĩ khác đúng một trận. Mỗi trận đấu được điều khiển bởi một trọng tài. Sau khi giải đấu kết thúc người ta nhận thấy rằng mỗi trọng tài đều điều khiển ít nhất một trận đấu và không có hai trọng tài nào điều khiển số trận đấu bằng nhau. Võ sĩ Bắc nói rằng:"Mỗi trận đấu của anh ta được điều khiển bởi một trọng tài khác nhau. Các võ sĩ Trung và Nam cũng khẳng định y hệt như vậy. Hỏi có khi nào cả ba võ sĩ đều đúng.
7.[Quảng Ngãi]
$\,a.\,$ Có thể đánh số các ô vuông của một bảng ô vuông $4*4$ bởi các số tự nhiên từ $1$ đến $16$ (Mỗi ô chỉ viết một số, mỗi số chỉ viết một lần) sao cho tổng $4$ số ở mọi phần của bảng ô vuông có dạng hình chữ $T$ dưới đây (Có thể xoay về mọi phía) đều chia hết cho $4$ hay không?
$\,b.\,$ Cho tập hơp gồm $2019$ phần tử sau $\{ 1,2,3,...,2019\}.$ Cần loại bỏ ít nhất bao nhiêu phần tử khỏi tập hợp trên sao cho tập hợp gồm các phần tử còn lại có tính chất: Với ba phần tử bất kì, không có phần tử nào bằng tích hai phần tử còn lại?\\
8.[Hải Phòng-Vòng 1]
Một phòng có $n$ người ($n\,\geqslant\,2$) Cứ hai người bất kì thì quen nhau hoặc không quen nhau. Biết rằng:
$\,1.$ Một người quen đúng $30$ người khác.
$\,2.$ Một cặp quen nhau thì có đúng $19$ người khác quen với cả hai người đó.
$\,3.$ Một cặp không quen nhau thì có đúng $20$ người khác quen với cả hai người đó.
Tìm $n.$
9.[Hải Phòng-Vòng 2]
Một dãy ô vuông có $100$ ô. Điền vào mỗi ô các chữ số $2,\,1,\,0,\,9.$ Hỏi có bao nhiêu cách điền mà tổng các số trên $100$ ô chia hết cho $4.$
10.[Đồng Nai]
Cho $P$ là tập gồm $n\,+\,1$ số thưc với $n\,\geqslant\,2,\,n\,\in\,\mathbb{N}.$ Hai bộ sắp thứ tự gồm $n$ phần tử phân biệt $(a_1,\,a_2,\,...,a_n)$ và $(b_1,\,b_2,...,b_n)$ của $P$ được gọi là lệch nhau nếu tồn tại hai chỉ số $i,\,j$ khác nhau sao cho $a_i\,=\,b_j.$ Gọi $S(n)$ là tập hợp các bộ sắp thứ tự gồm $n$ phần tử phân biệt của $P$ sao cho hai bộ bất kì đều lệch nhau.
$\,a.$ Tìm số phần tử lớn nhất của $S(2).$
$\,b.$ Tìm số phần tử lớn nhất của $S(2019).$
11.[ĐH Vinh]
Có $16$ học sinh tham gia làm một bài thi trắc nghiệm. Đề thi chung cho tất cả học sinh và có $n$ câu hỏi. Mỗi câu hỏi có $4$ phương án trả lời. Sau khi thi xong, thầy giáo nhận thấy với mỗi câu hỏi, mỗi học sinh chọn đúng một phương án trả lời và hai học sinh bất kì có nhiều nhất một câu hỏi có phương án trả lời giống nhau.
$\,a.\,$ Với $n\,=\,2,$ hãy chỉ ra một ví dụ về phương án trả lời của $16$ học sinh.
$\,b.\,$ CMR $n\,\leqslant\,5.$
12.[Bắc Ninh]
Cho một đa giác đều $A_1A_2...A_{20},$ có $10$ đỉnh của đa giác được tô màu xanh, $10$ đỉnh còn lại được tô màu đỏ. Ta nối các đỉnh với nhau.
$\,a.$ Gọi $a$ là số đọạn thẳng nối hai đỉnh màu đỏ liên tiếp, $b$ là số đoạn thẳng nối hai đỉnh màu xanh liên tiếp. CMR $a\,=\,b.$
$\,b.$ Xét tập hợp $S$ gồm đường chéo $A_1A_4$ và tất cả các đường chéo khác của đa giác mà có cùng độ dài với nó. CM trong tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu là màu đỏ bằng số đường chéo có hai đầu là màu xanh. Gọi $k$ là số đường chéo có hai đầu màu xanh trong $S.$ Tìm tất cả các giá trị có thể có của $k.$
13.[Yên Bái-1]
Từ các chữ số $1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $12$ chữ số thỏa mãn điều kiện trong mỗi số đó, mỗi chữ số có mặt đúng $2$ lần và hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.
14.[Đà Nẵng-2]
Tô màu mỗi ô vuông của bàn cờ $50*50$ bởi $n$ màu mà màu nào cũng được sử dụng. Một con mã đi từ ô ở vị trí $(1;1)$ đến ô ở vị trí $(50;50)$(đi như luật cờ vua). Một đường đi tốt là đường đi không đi qua đủ tất cả $n$ màu. Tìm $n$ nhỏ nhất để với mọi cách tô bằng $n$ màu thì luôn có đường đi tốt.
15.[Vĩnh Long-2]
Cho tứ giác lồi $ABCD.$ Trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$ lần lượt lấy $3,4,5,6$ điểm phân biệt khác các điểm $A,B,C,D.$ Tìm số tam giác có các đỉnh là các điểm vừa lấy.
16.[Hải Dương]
Gọi $T$ là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương của $n\,=\,2004^{2010}.$ Gỉa sử $S$ là tập con khác rỗng bất kì của $T$ thỏa mãn điều kiện: Với mọi $a,\,b$ thuộc $S$ mà $a\,>\,b$ thì $a$ không chia hết cho $b.$ Tìm số phần tử lớn nhất của tập $S.$
17.[Bình Dương]
Cho tập hợp $T$ gồm $2020$ số nguyên dương đầu tiên.
$\,a.\,$ Gọi $A$ là một tập con của tập $T$ thỏa: Nếu $a,\,b,\,c$ thuộc $A$ và $a<b<c$ thì $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Hỏi tập $A$ có nhiều nhất bao nhiêu phần tử.
$\,b.\,$ Gọi $X$ là một tập con của tập $T$ thỏa: Nếu $x,\,y\,\in\,X,\,x\,\neq\, y$ thì có đúng một tam giác cân(không đều) xác định bởi độ dài các cạnh là $x,\,y.$ Tìm giá trị lớn nhất của $|X|.$
18.[KHTNHN-3]
Cho các số nguyên dương $k,\,m,\,n$ sao cho $k\,<\,n$ và ${2^n}\, \geqslant \,m\, > \,\sum\limits_{i = 0}^k {C_n^i} .$ Xét $m$ tập con phân biệt của $n$ số nguyên dương đầu tiên là $S_1,\,S_2,\,...,S_m.$ CMR tồn tại tập hợp $T$ có $k+1$ phần tử sao cho với mọi tập con $S$ của $T,$ tồn tại chỉ số $1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,m$ mà $S\, = \,{S_i}\, \cap \,T.$
19.[KHTNHN-2]
Cho một nhóm người bất kì thỏa mãn nếu hai người không quen nhau thì có đúng hai người quen chung, nếu hai người quen nhau thì không có người quen chung nào. CMR số người quen của mỗi người là như nhau.
20.[Phú Thọ]}
Cho hai số nguyên dương $k,\,n(k\,<\,n).$ Xét bảng hình chữ nhật kích thước $2\,*\,n$ chứa các ô vuông. Tìm số cách chọn $k$ ô vuông sao cho không có hai ô vuông nào có đỉnh trùng nhau.
21.[Hà Tĩnh]
Cho một số viên bi có khối lượng khác nhau đôi một và một cái cân thăng bằng. Biết rằng chiếc cân này không cho phép đo chính xác khối lượng của viên bi mà mỗi lần cân chỉ cho phép so sánh khối lương hai viên bi bất kì. Mục tiêu cuối cùng là có thể sắp xếp các viên bi này theo thứ tự khối lượng tăng dần bằng một số lần cân hữu hạn.
$\,a.\,$ CMR với $4$ viên bi bất kì thì chỉ cần sử dụng $5$ lần cân.
$\,b.\,$ CMR với $2^n$ viên bi bất kì thì chỉ cần sử dụng $(n-1)2^n\,+\,1$ lần cân($n\,=\,2,3,...$).
22.[Hà Nam]
Trên các cạnh của một tam giác ta thực hiện đánh số từ các số thuộc tập hợp $\{1,2,3,...,9\}$ sao cho mỗi đỉnh được đánh một số, trên mỗi cạnh, trừ đỉnh được đánh hai số thỏa mãn:
$\,i)\,$ Mỗi số chỉ đánh một lần.
$\,ii)\,$ Tổng của bốn số ở mỗi cạnh tam giác bằng nhau.
$\,iii)\,$ Tổng bình phương bốn số trên mỗi cạnh tam giác là bằng nhau.
Tìm tất cả các cách đánh số thỏa mãn yêu cầu trên.
23.[Tây Ninh-1]
Có $n$ người ngồi thành một hàng ngang vào $n$ chiếc ghế. Người ta lập hàng mới cho $n$ người này bằng cách(vẫn ngồi vào $n$ ghế nêu trên): Mỗi người hoặc giữ nguyên vị trí của mình, hoặc đổi chỗ cho người liền bên trái, hoặc đổi chỗ cho người liền bên phải.
$\,a.\,$ Với $n\,=\,5,$ hỏi có bao nhiêu cách lập hàng mới cho $5$ người.
$\,b.\,$ Có bao nhiêu cách lập hàng mới cho $n$ người, $n$ nguyên dương.
24.[Thanh Hóa-1]
Một cuộc thi đấu của các cặp đôi được tổ chức như sau: Mỗi đấu thủ có thể thi đấu cho $1$ hoặc $2$ cặp. Hai cặp bất kì có thể thi đấu với nhau nhiều nhất là một trận, nhưng nếu hai cặp nào có cầu thủ chung thì không thể thi đấu với nhau. Cho tập hợp $S\,=\,\{6,12,18,24\}.$ Hãy tìm số lượng bé nhất các đấu thủ để trong cuộc thi đấu này, người ta có thể sắp xếp các đấu thủ theo cặp và tham gia cuộc thi thỏa mãn hai điều kiện sau:
$\,i.\,$ Số trận đấu mà mỗi đấu thủ tham gia phải là một trong các số $a$ thuộc tập $S.$
$\,ii.\,$ Với mọi số $b$ thuộc tập $S$ cho trước, có thể tìm được ít nhất một đấu thủ đã tham gia đúng $b$ trận đấu.
25.[Bắc Giang]
Người ta dùng $4$ màu để tô các đỉnh của một đa giác lồi $2019$ cạnh sao cho mỗi đỉnh tô một màu và hai đỉnh kề nhau tô bởi hai màu khác nhau. Hai cách tô màu được coi là khác nhau nếu tồn tại một đỉnh của đa giác đó có màu được tô khác nhau trong hai cách. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô màu?
26.[TPHCM]
Với $n$ là số nguyên dương, hỏi có bao nhiêu hoán vị $(a_1,\,a_2,\,...,a_n)$ của $n$ số nguyên dương đầu tiên sao cho $a_i\,-\,1\,\leqslant\,a_{i+1}$ với mọi $1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,n-1.$
27.[Khánh Hòa]
Một nhóm phượt thủ có $n$ thành viên. Năm $2018$ họ thực hiện $6$ chuyến du lịch mà mỗi chuyến có đúng $5$ thành viên tham gia. Biết rằng hai chuyến du lịch bất kì chung nhau không quá hai thành viên. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n.$\\
28.[Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang]
Cho $2019$ số nguyên khác $0,$ thỏa mãn điều kiện: tổng của một số tùy ý trong chúng với tích của $2018$ số còn lại là một số âm. Phân chia $2019$ số đó, một cách tùy ý, thành hai nhóm, với mỗi nhóm tính tích tất cả các số thuộc nhóm ấy. CMR tổng của hai tich thu được là một số âm.
29.[Sóc Trăng]
$\,a.\,$ Một lớp học có $35$ học sinh được xếp thành hàng ngang. GV phụ trách lớp cần chọn $5$ đội để tham gia một trò chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết rằng mỗi đội gồm $3$ học sinh đứng liền kề nhau trong hàng ngang ban đầu.
$\,b.\,$ Có $12$ học sinh được xếp thành hàng ngang. GV phụ trách cần chia các học sinh trên thành các nhóm sao cho
mỗi nhóm là $1$ hoặc $2$ học sinh đứng liền kề nhau trong hàng ban đầu. Hỏi có bao nhiêu cách chia nhóm ?
30.[Lào Cai]
Một cuộc thi toán gồm $2$ vòng, vòng $1$ và vòng $2$ với tổng cộng $28$ bài toán. Mỗi thí sinh giải được đúng $7$ bài và số thí sinh giải được mỗi bài là như nhau. Với hai bài toán bất kì, có đúng hai thí sinh giải được cả hai bài đó.
$\,a.\,$ Hỏi có tất cả bao nhiêu thí sinh tham dự cuộc thi.
$\,b.\,$ CMR ở vòng $1$ có một thí sinh hoặc không giải được bài nào hoặc giải được ít nhất $4$ bài.
31. [Quảng Ninh] Cho số nguyên dương $n\,\geqslant \,2.$ Tìm số tập con của $S_n\,=\,\{1,2,3,...,n\}$ chứa đúng hai số nguyên dương liên tiếp.
32. [Bà Rịa- Vũng Tàu] CMR với mọi tập hơp $S$ gồm $2019$ số nguyên dương, ta luôn tìm được một hoán vị $a_1,\,a_2,\,...,\,a_{2019}$ của các số $1,2,...,2019$ sao cho tập hợp $\{a_1,\,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,...,a_1+a_2+...+a_{20 19}\}$ và tập hợp $S$ không có quá một phần tử chung.
33. [Lào Cai-1] Trong mặt phẳng cho tập $A$ gồm $n$ điểm phân biệt ($n\,\in\,\mathbb{N^*}$) và tập $B$ gồm $14$ đường thẳng phân biệt. Biết mỗi đường thẳng của tập $B$ đi qua đúng $14$ điểm của tập $A.$
$\,a.\,$ Gọi các điểm của tập $A$ là $P_1,P_2,...,P_n.$ Với mỗi điểm $P_i$ giả sử có đúng $a_i$ đường thẳng của tập $B$ đi qua $P_i.$ CMR $\sum\limits_{i = 1}^n {a_i}\,=\,196.$
$\,b.\,$ CMR $n\,\geqslant\,102.$
34. [Thanh Hóa-2] Cho $m>n>4$ và $m,n$ là các số nguyên dương, $A$ là một tập con có đúng $n$ phần tử của tập hợp $S\,=\,\{1,2,3,...,m\}.$ CMR nếu $m\,>\,(n-1)(1+{C^2}_n+{C^3}_n+{C^4}_n) $ thì ta luôn chọn được $n$ phần tử đôi một phân biệt $x_1,x_2,...,x_n\,\in\,S$ sao cho các tập hợp $A_i\,=\,\{x+y+x_i|x \in\,A,y \in \,A\}$ sao cho $A_j$ giao $A_k$ là rỗng với mọi $j$ khác $k$, ở đây $j,k$ chạy từ $1$ đến $n.$
35. [Thừa Thiên Huế] Khối $12$ trường Quốc Học Huế có $15$ lớp và có tất vả $b$ giáo viên tham gia giảng dạy. Tìm số giáo viên $b$ biết mỗi giáo viên trên dạy đúng $4$ lớp khối $12$ và với hai lớp khối $12$ bất kì có đúng $2$ giáo viên chung.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Các em coi lại xem bài 1 phần số học đề có đúng không? Điểm (1/5, 16/3) ấy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Le khanhsy]

PTNK 2019
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $8(a^2+b^2+c^2)=9(ab+bc+ca).$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}.$ $

Cho $ab+bc+ca=8$ nên ta có $a^2+b^2+c^2=9$ suy ra $a+b+c=5.$ Theo Cauchy Schwarz, ta có
$$2(9-a^2)\ge (5-a)^2.$$
Do tính đối xứng nên chúng ta thu được
$$1\le a,b,c\le \dfrac{7}{3}.$$
Do $(a-1)(b-1)(c-1)\ge 0,$ suy ra $abc\ge 4$
Do $(7-3a)(7-3b)(7-3c)\ge 0,$ suy ra $abc\le \dfrac{112}{27}.$
Quây lại bài toán ta có
$$P=\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}-3=\dfrac{40}{abc}-3.$$
Đên đây chúng ta có ngay $\dfrac{93}{14}\le P\le 7$ và có thể chỉ ra theo yêu cầu bài toán.
Chúng ta có thể chặn abc như sau
Xét phương trình có 3 nghiệm
$$(x-a)(x-b)(x-c)=0,$$
hay
$$abc=x^3-5x^2+8x.$$
Bằng việc khảo sát cũng thu về $4\le abc\le \dfrac{112}{27}.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MATHSCOPE]

Nguyên văn bởi namdung

Các em coi lại xem bài 1 phần số học đề có đúng không? Điểm (1/5, 16/3) ấy.

Là do em gõ nhầm tọa độ điểm, đáng lý là (1/5, 16/13) thì em lại gõ là (1/5, 16/3). Giờ em sửa lại rồi ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Le khanhsy]

Nguyên văn bởi Hà Nội

Cho các số thực dương $a,b,c$, thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất
$$P=a^3+b^3+c^3-3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right). $$

Ta có $$a^3+b^3-(a+b)^3/4=3/4(a-b)^2(a+b),$$
và $$-\dfrac{3}{a}-\dfrac{3}{b}+\dfrac{12}{a+b}=-\dfrac{3(a-b)^2}{ab(a+b)}.$$
Lại có nếu như giả sử $a+b\le 2$ thì
$$ a+b-\dfrac{4}{ab(a+b)}= \dfrac{ab(a+b)^2-4}{ab(a+b)}\le 0.$$
Điều này dần đến. Nếu chúng ta giả sử $a\le b\le c$ thì
$$P\le \dfrac{(a+b)^3}{4}+c^3-\dfrac{12}{a+b}-\dfrac{3}{c}=-\dfrac{21}{4}-\dfrac{3(c-2)^2(c^3+4c^2-6c+3)}{4(3-c)c}.$$
Lại có
$$c^3+4c^2-6c+3=c^3+1+2(2c-1)(c-1)\ge 2.$$
Điều này cho ta được $P_{max}=-\dfrac{21}{4}$. Đẳng thức xảy ra khi hoán vị $(a,b,c)\sim\left(1/2,1/2,2\right)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Le khanhsy]

Cách 2 đề Hà Nội
Chúng ta sẽ chứng minh $P_{max}=-\dfrac{21}{4}$, hay là
$$\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}-\dfrac{21}{4}\ge a^3+b^3+c^3,$$
Giả sử $a\le b\le c$. Áp dụng Cauchy Schwarz, ta có
$$\begin{aligned}\dfrac{(2a-1)^2(3-a)(a+4)}{4a}+\dfrac{(2b-1)^2(3-b)(b+4)}{4b}&\ge \dfrac{(2a+2b-2)^2}{\dfrac{4a}{(3-a)(a+4)}+\dfrac{4b}{(3-b)(b+4)} }\\
\left(\dfrac{1}{(3-x)(x+4)}\le\dfrac{1}{(3-c)(c+4)}\right)_{0<x\le c<3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\ge \dfrac{(2a+2b-2)^2}{\dfrac{4(a+b)}{(3-c)(c+4)}}\\
&=(c+4)(c-2)^2.\end{aligned}$$
Vậy nên chúng ta cần chứng minh
$$\dfrac{98-51(a+b)}{4}+(c+4)(c-2)^2\ge c^3-\dfrac{3}{c}+\dfrac{21}{4},$$
$$(c+4)(c-2)^2\ge \dfrac{(c-2)^2(4c^2+16c-3)}{4c},$$
hay
$$\dfrac{3(c-2)^2}{4c}\ge 0.$$
Hoàn tất chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Le khanhsy]

Đề chọn HSGQG Ninh Bình.
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=8.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$P=ab+bc+ca.$$

Vì $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=8,$ nên có thể giả sử rằng
$$(a^2+1)(b^2+c^2)\le 4,$$
Áp dụng AM-GM, ta có
$$\begin{aligned}ab+bc+ca&=bc+a(b+c)\\
&\le \dfrac{b^2+c^2}{2}+a\sqrt{2(b^2+c^2)}\\
&\le \dfrac{2}{a^2+1}+\sqrt{\dfrac{8a^2}{a^2+1}}\\
&=2- \dfrac{2a^2}{a^2+1}+\sqrt{\dfrac{8a^2}{a^2+1}}\\
&\le 3\end{aligned}$$
Vì theo AM-GM, ta có
$$\dfrac{2a^2}{a^2+1}+1\ge \sqrt{\dfrac{8a^2}{a^2+1}}.$$
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ bằng 3. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$

Cách 2 dùng 2/3 Cauchy
Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có
$$8=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\ge (a^2+1)(b+c)^2.$$
Vậy nên
$$\begin{aligned} (b+c)^2&\le \dfrac{8}{a^2+1}.\\
P=ab+bc+ca&\le \dfrac{(b+c)^2}{4}+a(b+c)\\
&\le \dfrac{2}{a^2+1}+2\sqrt{\dfrac{2a^2}{a^2+1}}\\
\text{(Đó là do AM-GM)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=2-\dfrac{2a^2}{a^2+1}+2\sqrt{\dfrac{2a^2}{a^2+1}}\\
\dfrac{2a^2}{a^2+1}+1\ge 2\sqrt{\dfrac{2a^2}{a^2+1}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\le 3\end{aligned}$$
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ bằng 3. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$

Cách 3 AM-GM

Vì $(x^2+1)(y^2+1)\ge (x+y)^2$. Vậy nên từ giả thuyết ta có
$$(a+b)(b+c)(c+a)\le 8.$$
Nếu $a+b+c\le 3$ thì hiển nhiên $P=ab+bc+ca\le 3$
Nếu $a+b+c\ge 3$, ta có
$$\begin{aligned}P=\dfrac{(ab+bc+ca)(a+b+c)}{a+b+c }&\le \dfrac{9}{8}\cdot \dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{a+b+c}\\
&\le \dfrac{9}{a+b+c}\\
&\le 3.\end{aligned}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]