Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 18-03-2019, 10:48 AM   #1
MinChau
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2017
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Bài số học thi hsg Hà Nội cũ

Tìm các số nguyên dương $a$ và $b$ sao cho $a^3+a$ chia hết cho $ab-1$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MinChau is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 18-03-2019, 11:06 AM   #2
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 83
Thanks: 1
Thanked 64 Times in 43 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MinChau View Post
Tìm các số nguyên dương $a$ và $b$ sao cho $a^3+a$ chia hết cho $ab-1$.
Giả sử $(a,\,b)$ là cặp số thỏa yêu cầu, vì $\gcd (a,\,ab-1)=\gcd (b,\,ab-1)=1$, nên điều kiện cần thỏa tương đương với\[\left( {{a^3} + a} \right)b \equiv \left( {{a^3} + a} \right){b^3} \equiv 0\pmod{ab-1}.\]Lại để ý $ab\equiv 1\pmod{ab-1}$, nên lại có điều kiện tương đương\[{a^2} + 1 \equiv {b^2} + 1 \equiv 0\;\;\;{\kern 1pt} \left( {\bmod ab - 1} \right).\]Như vậy thì về bản chất, vai trò của $a$ và $b$ là như nhau, ta giả sử $a\ge b$ và xét hai trường hợp
  1. Nếu $a=b$, thì từ $a^2\equiv 1\pmod{ab-1}$, và điều kiện cần thỏa là $a^2+1\equiv 0\pmod{a^2-1}$ ta có $a>1$ và\[a^2-1\mid 2.\]Điều này là không thể do $a^2-1\ge 3$.
  2. Nếu $a>b$, thế thì $a\ge b+1$. Từ $ab-1\mid b^2+1$ ta có bất đẳng thức\[{b^2} + 1 \ge ab - 1 \ge \left( {b + 1} \right)b - 1.\]Từ đó có $b\le 2$. Khi $b=1$ thì từ $b^2+1=2$ là bội của $ab-1=a-1$ ta có ngay $a=2$ hoặc $a=3$. Còn khi $b=2$, thì từ $b^2+1=5$ là bội của $ab-1=2a-1$ kết hợp $a>b=2$ ta có ngay $a=3$.
Tóm lại, các cặp $(a,\,b)$ thỏa yêu cầu sau khi đã thử lại là\[\left( {2,{\mkern 1mu} 1} \right),\quad\left( {1,{\mkern 1mu} 2} \right),\quad\left( {3,{\mkern 1mu} 1} \right),\quad\left( {1,{\mkern 1mu} 3} \right),\quad\left( {3,{\mkern 1mu} 2} \right),\quad\left( {2,{\mkern 1mu} 3} \right).\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Thụy An For This Useful Post:
Akira Vinh HD (01-05-2019)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:56 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2019, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 41.80 k/45.95 k (9.02%)]