Đề kiểm tra đội tuyển toán THPT chuyên Bảo Lộc (Lâm Đồng)

[Gin Mellkior]

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẢO LỘC (LÂM ĐỒNG)

LẦN I
Câu 1 (4 điểm): Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left ( u_{n} \right )$, biết:
$$\left\{\begin{matrix} u_{1}=\dfrac{1}{2},\,\,\,\, u_{2}=673 & & \\ u_{n+2}=\dfrac{2\left ( n+2 \right )^{2}u_{n+1}-\left ( n^{3}+4n^{2}+5n+2 \right )u_{n}}{n+3},\,\,\,\, n\in \mathbb{N},\,\,\,\, n\geq 1 & & \end{matrix}\right.$$

Câu 2 (4 điểm): Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $\left ( O \right )$. Tiếp tuyến của $\left ( O \right )$ tại $B$, $C$ cắt nhau tại $S$. Gọi $d$ là đường thẳng chứa phân giác trong góc $A$ của $\triangle ABC$. Các trung trực của $AB$, $AC$ cắt $d$ tại $M$, $N$. Gọi $P$ là giao điểm $BM$ và $CN$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle MNP$, $H$ là trực tâm $\triangle OMN$.
$\qquad a)$ Chứng minh $H$, $I$ đối xứng nhau qua $d$.
$\qquad b)$ Chứng minh $A$, $I$, $S$ thẳng hàng.

Câu 3 (4 điểm): Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$$f\left ( xf\left ( x+y \right ) \right )=f\left ( yf\left ( x \right ) \right )+x^{2}\,\,\,\, \forall x,y\in \mathbb{R}$$

Câu 4 (4 điểm): Tìm tất cả cặp số nguyên dương $\left ( x;y \right )$ với $x$, $y$ nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn phương trình $2\left ( x^{3}-x \right )=y^{3}-y$.

Câu 5 (4 điểm): Cho $n$ là một số nguyên dương chẵn lớn hơn hoặc bằng $4$. Ta tô màu mỗi số trong các số nguyên dương từ $1$ đến $n$ sao cho $\dfrac{n}{2}$ trong số chúng được tô màu xanh, $\dfrac{n}{2}$ trong số chúng được tô màu đỏ. Với mỗi cách tô như vậy, gọi $f_{n}$ là số các số nguyên dương bất kì mà ta có thể viết được dưới dạng tổng hai số khác màu.
$\qquad a)$ Tìm tất cả các giá trị có thể của $f_{4}$.
$\qquad b)$ Khi $n\geq 8$ chứng minh $f_{n}<2n-3$. Hãy chỉ ra một cách tô thỏa mãn $f_{n}=2n-5$.


LẦN II
Câu 1 (3 điểm): Giải phương trình trên tập số thực:
$$\sqrt{x^{3}+x^{2}+3x-1}+\sqrt{x^{3}+6x+2}=5$$

Câu 2 (3 điểm): Cho dãy số thực $\left ( u_{n} \right )$ được xác định bởi:
$$\left\{\begin{matrix} u_{1}=\dfrac{3}{2} & & \\ u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{3}+3u_{n}^{2}-9u_{n}+\dfrac{9n+10}{n+1}-1},\,\,\,\, n\in \mathbb{N},\,\,\,\, n\geq 1 & & \end{matrix}\right.$$
$\qquad a)$ Chứng minh $\left ( u_{n} \right )$ bị chặn dưới.
$\qquad b)$ Chứng minh dãy $\left ( u_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty $. Tìm giới hạn đó.

Câu 3 (3 điểm): Cho $x$, $y$, $z$ là các số dương thỏa
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3$$
Chứng minh rằng
$$\dfrac{x}{x^{4}+1+2xy}+\dfrac{y}{y^{4}+1+2yz}+\d frac{z}{z^{4}+1+2zx}\leq \dfrac{3}{4}$$

Câu 4 (3 điểm): Cho $\triangle ABC$ ($AB<AC$) có ba góc nhọn và nội tiếp $\left ( O \right )$. Các đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại trực tâm $H$ ($E\in AC$, $F\in AB$). Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Lấy điểm $T$ trên $\left ( O \right )$ sao cho $\angle ATH=90^{\circ}$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle GTO$ cắt $EF$ tại $K$ khác $G$. Chứng minh rằng:
$\qquad a)$ $G$, $T$, $A$ thẳng hàng.
$\qquad b)$ Đường thẳng $OK$ vuông góc với đường thẳng $AT$.

Câu 5 (3 điểm): Cho
$$\left\{\begin{matrix} x_{1}=1;\,\,\,\, x_{2}=1;\,\,\,\, x_{3}=1 & & \\ x_{n+3}=x_{n+2}x_{n+1}+x_{n} \end{matrix}\right.$$
với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $x_{k}$ chia hết cho $m$.

Câu 6 (4 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $x$, $y$, $z$ thỏa mãn
$$11^{n}=xy\left ( z^{2}+1 \right )+\left ( x^{2}+y^{2} \right )z$$


LẦN III
Câu 1 (3 điểm): Cho dãy số thực $\left ( u_{n} \right )$ được xác định bởi:
$$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2014 & & \\ u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^{4}+2013^{2}}{u_{n}^{3}-u_{n}+4026},\,\,\,\, n\in \mathbb{N^{*}} & & \end{matrix}\right.$$
Đặt
$$v_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{u_{k}^{2}+2013},\, \,\,\, \forall n\in \mathbb{N^{*}}$$
Tính $\lim v_{n}$.

Câu 2 (4 điểm): $\triangle ABC$ cân tại $A$ có $D$ là trung điểm $AC$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD$ giao với phân giác góc $\angle BAC$ tại $E$ nằm trong $\triangle ABC$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABE$ giao với $BD$ tại $F$ khác $B$. $AF$ giao $BE$ tại $I$, $CI$ giao $BD$ tại $K$. Chứng minh $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABK$.

Câu 3 (3 điểm): Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
$\qquad 1.$ $f\left ( x+y \right )\leq f\left ( x \right )+f\left ( y \right )$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.
$\qquad 2.$ $f\left ( x \right )\leq e^{x}-1$ với mỗi $x\in \mathbb{R}$.

Câu 4 (4 điểm): Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}-\left ( x+y \right )}=\dfrac{y}{\sqrt[3]{x-y}} & & \\ 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )-3\sqrt{2x-1}=11 & & \end{matrix}\right.$$

Câu 5 (3 điểm): Trên bảng ô vuông $3\times 3$, người ta đặt một số viên sỏi sao cho mỗi ô vuông có không quá một viên sỏi. Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số: các hàng, các cột, các đường chéo chứa số lẻ các viên sỏi trên đó. Hàng không có sỏi ứng với $0$ điểm.
$\qquad a)$ Tồn tại hay không cách đặt sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm tương ứng với cách đặt đó là $8$.
$\qquad b)$ Chứng minh rằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số lẻ.

Câu 6 (3 điểm): Cho $x,y,z\in \left ( 0;1 \right )$. Chứng minh rằng
$$\left ( x-x^{2} \right )\left ( y-y^{2} \right )\left ( z-z^{2} \right )\geq \left ( x-yz \right )\left ( y-zx \right )\left ( z-xy \right )$$

Nguồn: thầy Võ Quốc Bá Cẩn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]