Đề chọn Đội tuyển trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Ninh Thuận

[Livetolove2207]

Đề thi Học sinh giỏi cấp trường
Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn tỉnh Ninh Thuận
Năm học: 2014-2015
Môn Toán-Trung học phổ thông
Thời gian làm bài: 180 phút

Đề thi:

Câu 1:
Cho $x, y, z$ là các số không âm. Chứng minh rằng:

$xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+5\geq 3\left ( x+y+z \right )$

Câu 2:
Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định như sau:

$x_{1}=1$,
$x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2015}+2015x_{n}}{2015}$,
với mọi số nguyên dương $n$.

Hãy tìm giới hạn của dãy số $(u_{n})$ xác định bởi:

$u_{n}=\frac{x_{1}^{2014}}{x_{2}}+\frac{x_{2}^{201 4}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n}^{2014}}{x_{n+1}}$.

Câu 3:
Cho $a$ là một số nguyên khác $0$. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của số: $a^{2.6^{n}}-a^{6^{n}}+1$ đều có dạng $6^{n+1}.k+1$, với $n, k$ là các số nguyên dương.

Câu 4:
Cho đường tròn tâm $O$ được chia thành $7$ cung bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô $7$ cung bằng $3$ màu xanh, đỏ và vàng. Biết rằng hai cách tô màu thu được bằng một phép quay quanh tâm $O$ được coi là giống nhau.

Câu 5:
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có trực tâm là $H$. Trên cung $BC$ không chứa điểm $A$ của đường tròn $(O)$, lấy điểm $P$ sao cho $P$ không trùng với $B$ và $C$. Lấy điểm $D$ sao cho $APCD$ là hình bình hành. Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $ACD$. Gọi $E$ và $F$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $K$ lên các đường thẳng $BC$ và $AB$.
Chứng minh rằng đường thẳng $EF$ đi qua trung điểm của $HK$.

Câu 6:
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, thỏa mãn:

1. $x^{2}f\left ( \frac{1}{x} \right )=f\left ( x \right )-x^{2}+1, \forall x\neq 0$.
2. $f\left ( x+y \right )=f\left ( x \right )+y, \forall x, y\in \mathbb{R}$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Juliel]

Nguyên văn bởi Livetolove2207

[B]

Câu 5:
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có trực tâm là $H$. Trên cung $BC$ không chứa điểm $A$ của đường tròn $(O)$, lấy điểm $P$ sao cho $P$ không trùng với $B$ và $C$. Lấy điểm $D$ sao cho $APCD$ là hình bình hành. Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $ACD$. Gọi $E$ và $F$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $K$ lên các đường thẳng $BC$ và $AB$.
Chứng minh rằng đường thẳng $EF$ đi qua trung điểm của $HK$.
.

Ta có $\angle AKC=180^0-\angle ADC=180^0-\angle APC$. Từ đây suy ra $K$ nằm trên đường tròn $(O)$. Khi đó $EF$ là đường thẳng Simpson của tam giác $ABC$. Gọi $S,T$ là giáo đường thẳng Steiner của tam giác ABC ứng với điểm Anti-Steiner $K$ lần lượt với $KF,KẺ$ thì $EF$ là đường trung bình trong tam giác $KST$, hơn nữa có $H$ thuộc $ST$
Suy ra $EF$ đi qua trung điểm của $HK$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuankietpq]

Mình xin giải câu 1.
Câu 1 cũng khá là cũ rồi. Dạng thì giống như Hello IMO 2007 của thầy Trần Nam Dũng.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
$xyz+xyz+1 \ge 3 \sqrt[3]{xyz}^2$
Hay $xyz+\frac{1}{2} \ge \frac{3}{2} \sqrt[3]{xyz}^2$
$3(x+y+z) \le \frac{9}{2}+\frac{(x+y+z)^2}{2}$
Do đó để chứng minh bất đẳng thức trên ta chỉ cần chứng minh
$3\sqrt[3]{xyz}^2 \ge 2(xy+yz+zx)-(x^2+y^2+z^2)$
Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM lần nữa:
$3\sqrt[3]{xyz}^2\ge\frac{9xyz}{x+y+z}$
Do đó chỉ cần chỉ ra được
$\frac{9xyz}{x+y+z}\ge 2(xy+yz+zx)-(x^2+y^2+z^2)$
Mà bất đẳng thức này chính là bất đẳng thức Schur bậc ba.

Xin thứ lỗi ai biết chữ Schur đọc ra sao phiên âm cho mình với.
------------------------------

Nguyên văn bởi Livetolove2207

Câu 6:
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, thỏa mãn:

1. $x^{2}f\left ( \frac{1}{x} \right )=f\left ( x \right )-x^{2}+1, \forall x\neq 0$.
2. $f\left ( x+y \right )=f\left ( x \right )+y, \forall x, y\in \mathbb{R}$.

Từ phương trình 2 cho $x=0$ ta được $f(x)=x+f(0)$, $\forall x$
Đặt $f(0)=C$ rồi thay vào phương trình 1 ta được:
$(C+1)(x^2-1)=0$, $\forall x, x\neq 0$
Từ đó suy ra $C=-1$.
Thử lại thấy thỏa mãn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hieut1k24]

Câu 2 tìm giới hạn là tìm giá trị lớn nhất phải k bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buigiahuy0]

Tìm giới hạn tức là tìm giá trị của biêu thức dần về giá trị bao nhiêu khi mà x dần về vô cùng bạn à chứ không phai tìm GTLN đâu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Livetolove2207]

Có bạn nào trình bày chặt chẽ lời giải cho bài tổ hợp cho mình được không?

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hieut1k24]

Câu 2
Ta có :$x_{2}=\frac{x_{1}^{2015}+2015x_{1}}{2015}$
$\Leftrightarrow \frac{2015*x_{2}}{x_{1}}=(x_{1})_{2014}+2015$
$\Leftrightarrow \frac{2015}{x_{1}}-\frac{2015}{x_{2}}=\frac{(x_{1})^{2014}}{x_{2}}$
Tương tự $\Leftrightarrow \frac{2015}{x_{2}}-\frac{2015}{x_{3}}=\frac{(x_{2})^{2014}}{x_{3}}$
................
$\Leftrightarrow \frac{2015}{x_{n}}-\frac{2015}{x_{n+1}}=\frac{(x_{n})^{2014}}{x_{n+1} }$
Cộng vế theo vế ta được $u_{n}=\frac{2015}{x_{1}}-\frac{2015}{x_{n+1}}$
$\Leftrightarrow u_{n}=2015-\frac{2015}{x_{n+1}}$
Mình không biết làm vậy có đúng không
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vantienducdh]

Cấu tổ hợp tương tự như đề thi Quốc Gia 2013-2014,sử dụng chia kẹo Euler để giải,gọi x là số cung màu xanh,y là số cung màu đỏ,z là số cung màu vàng,ta có x+y+z=7 với x,y,z không âm rồi ra kết quả thôi ,hình như kết quả cuối cùng có chia 2(được tính 2 lần), không biết đúng không nữa,bạn thử coi lại lời giải VMO 2014 xem
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Livetolove2207]

Bạn có thể làm rõ hơn về bài tổ hợp không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vantienducdh]

Bài tổ hợp kết quả là bao nhiêu vậy?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]