Korean NMO 2014

[ayelg]

Ngày 1 (22/03/2014)

Câu 1
Giả sử x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng:
$\frac{(1+xy+yz+zx)(1+3x^3+3y^3+3z^3)}{9(x+y)(y+z) (z+x)}\geq (\frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt[4]{3+9x^2}}+\frac{y\sqrt{y+1}}{\sqrt[4]{3+9y^2}}+\frac{z\sqrt{z+1}}{\sqrt[4]{3+9z^2}})$
Câu 2.
Cho ABC là một tam giác cân có AC=BC>AB. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AC,AB và l là đường trung trực của AC. Gọi K là giao điểm của l và AB, đường thẳng đi qua B song song với KC cắt AC tại L, đường thẳng FL cắt l tại W. Gọi P là trung điểm BF, H là trực tâm của tam giác ACP, đường thẳng BH cắt đường thẳng CP tại J, đường thẳng FJ cắt đường thẳng l tại M. Chứng minh rằng AW=PW khi và chỉ khi B nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác EFM.

Câu 3
Có n sinh viên đang ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn. Người ta yêu cầu mối người trong đó viết tên mình vào 1 chiếc thẻ. Sau khi thu thẻ, người ta lại đem phát cho n sinh viên đó, mỗi người một thẻ bất kì.

Mỗi "lượt chơi" là một nhóm hoạt động như sau: Những sinh viên nhận được lại thẻ có tên mình sẽ đứng dậy và đi ra khỏi chỗ ngồi. Các sinh viên còn lại đưa thẻ mình đang cầm cho người ngồi bên tay phải.

Tìm số cách trả lại thẻ sao cho tồn tại một học sinh không dời khỏi bàn sau 4 lượt chơi.

Ngày 2 (23/03/2014)
Câu 4
Cho tam giác cân ABC có AC=BC. Gọi G là một điểm nằm trên BA sao cho A nằm giữa B và D. Gọi (O1) là đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC, E là giao điểm của (O1) với BC. Gọi F là một điểm trên BC sao cho FD là tiếp tuyến của (O1); gọi (O2) là đường tròn ngoại tiếp tam giác DBF. Hai đường tròn (O1),(O2) cắt nhau ở điểm thứ hai G. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BEG. Chứng minh rằng FG là tiếp tuyến của đường tròn (O) khi và chỉ khi DG⊥FO.

Câu 5.
Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 5. Giả sử rằng tồn tại số nguyên k sao cho $k^2$+5 chia hết cho p. Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương m,n thỏa mãn: $p^2$=$m^2+5n^2$

Câu 6
Trên một hòn đảo có n lâu đài. Mỗi lâu đài hoặc là ở vương quốc A hoặc là ở vuông quốc B. Có một viên tướng trong mỗi lâu đài, và mỗi viên tướng thuộc về cùng một vương quốc với lâu đài đầu tiên mà anh ta ở. Có một số con đường (2 chiều) nối các lâu đài (có thể có con đường giữa lâu đài của các vương quốc khác nhau). Hai lâu đài được gọi là "liền kề" nếu có một con đường giữa chúng.

Chứng minh rằng hai mệnh đề sau là tương đương:
(1) Nếu một số viên tướng từ vương quốc B di chuyển để tấn công một lâu đài liền kề ở vương quốc A , một số viên tướng từ vương quốc A có thể di chuyển một cách thích hợp để phòng thủ lâu đài liền kề ở vương quốc A sao cho trong mỗi lâu đài của vương quốc A, số lượng viên tướng vương quốc A bảo vệ lâu đài không ít hơn số lượng viên tướng vương quốc B tấn công lâu đài đó. (Mỗi viên tướng có thể bảo vệ hoặc tấn công chỉ có một lâu đài tại một thời điểm . )

(2) Đối với bất kỳ tập X tùy ý các lâu đài vương quốc A, số lượng các lâu đài của vương quốc này có trong X hoặc tiếp giáp với ít nhất một lâu đài trong X không ít hơn số lượng các lâu đài vương quốc B nằm kề với ít nhất một lâu đài trong X.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]