Đề thi OLP SV năm 2013 môn Giải tích

[lion]

Câu 1. Cho $x_1 = a \in \mathbb{R}$ và dãy $(x_n)$ được xác định bởi $(n+1)^2 x_{n+1} = n^2 x_n + 2n+1$. Tìm $\lim\limits_{x \to \infty} x_n$.

Câu 2. Tìm giới hạn
$$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int^{1}_{0} \frac{nx^n}{2013+x^n} dx. $$

Câu 3. Cho $\alpha \ge \beta \ge 0$. Hãy tìm các hàm số $f : (0, \infty ) \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện
$$ f(x) = \max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - f(y) : y \ge x \}$$
với mọi $ x \in (0,\infty)$.

Câu 4. Cho hàm $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$ và khả vi trong $(0,1)$ thỏa mãn $f(0)=0 ; f(1)=1$. Chứng minh rằng tồn tại các số phân biệt $x_1,x_2,\ldots,x_{2013} \in (0,1)$ sao cho
$$ \sum_{k=1}^{2013} \frac{kx_k}{f'(x_k)}=\frac{2013 \times 1007}{2}. $$

Câu 5. Cho $f(x)$ là hàm dương, liên tục trên đoạn $[0,1]$ và thỏa mãn điều kiện
$$ f(x)+f\left( \left( 1-\sqrt{x} \right)^2 \right) \le 1 $$
với mọi $x \in [0,1]$. Chứng minh rằng
$$ \int_0^1 \sqrt{f(x)} \, dx \le \frac{\pi\sqrt5}{8}. $$

Câu 6 Thí sinh chọn một trong hai câu:

1. Cho $(a_n)$ là dãy số dương sao cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ hội tụ. Chứng minh rằng tồn tại dãy số dương $(b_n)$ sao cho $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = \infty$ và chuỗi $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n < \infty$ cũng hội tụ.
2. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$. Chứng minh rằng nếu tồn tại hàm $g(x)$ đơn điệu thực sự (tức là đơn điệu và $g(x) \ne g(x)$ nếu $x \ne y$) và liên tục trên đoạn $[0,1]$ sao cho
   $$ \int_0^1 f(x)g^k(x)\,d(x)=0, \ \ \forall k=0,1,\ldots,2013 $$
   thì phương trình $f(x)=0$ có ít nhất 2014 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng $(0,1)$.
   Hãy chỉ ra thí dụ nếu bỏ tính đơn điệu của hàm $g(x)$ thì định lý có thể không đúng.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]