Thắc mắc về một BĐT trong THTT (bài IMO shortlist 1993)

[1110004]

Trong THTT tháng 6 năm 2014 có một bài đăng của anh Võ Quốc Bá Cẩn. "Một tính chất thú vụ của tam thức bậc hai và nhị thức bậc nhât". Trong đó có trình bài bài giải của IMO shortlist $1993$:

$$abc+bcdc+cda+dab\leq \frac{1}{27}+\frac{176}{27}abcd$$

Trong đó $a,b,c,d$ là các số thực không âm và có tổng bằng $1$. Mình xin dẫn bài giải:

" Cố định $c,d$. Khi đó, từ giả thiết suy ra hai tổng $c+d$ và $a+b$ cũng được cố định.

Đặt $x=ab$ ta có: $0\leq x\leq \frac{(a+b)^2}{4}$ và BĐT cần chứng minh trở thành:

$$f(x)=\left (c+d-\frac{176}{27}cd \right )x+cd(a+b)-\frac{1}{27}\leq 0$$

Dễ thấy $f(x)$ là một nhị thức bậc nhất nên để chứng minh BĐT trên ta chỉ cần xét $x=0$ hoặc $x=\frac{(a+b)^2}{4}$.

Một các tương đương ở BĐT ban đầu ta chỉ cần xét $ab=0$ (ứng với $x=0$) hoặc $a=b$ (ứng với $x=\frac{(a+b)^2}{4}$)

Lí luận tương tự ta chỉ cần xét $cd=0$ hoặc $c=d$. Từ đó để ý tính đối xứng của BĐT đã cho ta đưa về một trong các trường hợp sau:

TH1: có một hằng số bằng $0$
.................................................. .................................

TH2: $a=b$ và $c=d$
.................................................. ........................"

Mình không bàn về phương pháp (vì phương pháp chứng minh này khá quen thuộc. Minh thắc mắc chổ tô màu đỏ.

Theo mình nó chưa đúng về mặc lý luận (cho dù kết quả bài chứng minh là đúng) vì thực chất ta đang khảo sát hàm $f(x)$ có hai điểm cần khảo sát (để hoàn thành bài chứng minh) là: $x=0$ và $x=\frac{(a+b)^2}{4}$. Khi $x=0$ hình như không liên quan gì đến $a,b$ nữa vì ta đã cố định nó rồi ở đây chỉ xem $x$ là ẩn thôi. Tương tự $x=\frac{(a+b)^2}{4}$ cũng không bà con dòng họ gì với $a,b$ nữa. Nếu ta qua lại khi $x=0$ tương đương với $a=0$ hoặc $b=0$ khi đó ta đã cho $a,b$ chạy rồi.

Có thể mình trình bày hơi khó hiểu nhưng các bạn lấy $a=\frac{1}{4};b=\frac{1}{3};c=\frac{1}{5};d=\frac {13}{60}$ đi theo xuyên suốt bài chứng minh đi thì các bạn thấy phần màu đỏ là không đúng về mặt lập luận.

mình khẳng định lại khi $x=0$ BĐT trở thành:

$$cd(a+b)-\frac{1}{27}\leq 0$$ (cái này đúng)

Khi $x=\frac{(a+b)^2}{4}$ BĐT cần chứng minh là:

$$\left (c+d-\frac{176}{27}cd \right )\frac{(a+b)^2}{4}+cd(a+b)-\frac{1}{27}\leq 0$$ nó cũng đúng

Mình nghĩ lập luận như vậy mới đúng hơn. Đó là cách hiểu của mình. Mong các bạn cho ý kiến. (có thể mình hiểu sai mong bạn nào hiểu đúng hơn khai sáng giúp minh)

Chân thành cám ơn ạ!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]