Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Giải Tích/Analysis

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 13-02-2019, 02:11 PM   #1
portgas_d_ace
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Đến từ: HCMUS
Bài gởi: 501
Thanks: 158
Thanked 186 Times in 157 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới portgas_d_ace
Qua giới hạn dưới dấu tích phân

Mình gặp một vấn đề khi đọc quyển Một số pp giải bài toán biên phi tuyến của cụ J. L. Lions.
Cụ thể như sau: cho $h \in {L^1}\left( {0,T} \right)$, chứng minh rằng với hầu hết $t \in \left( {0,T} \right)$ ta đều có
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left[ {1 - n\left( {s - t} \right)} \right]h\left( s \right)ds} = \frac{1}{2}h\left( t \right).\]
Cụ Lions bảo dùng định lý Lebesgue nhưng rõ là hội tụ bị chặn của Lebesgue không dùng được. Mình nghĩ là dùng định lý về điểm Lebesgue nhưng vẫn chưa ra.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
- Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị -
portgas_d_ace is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-02-2019, 11:29 PM   #2
123456
+Thành Viên+
 
123456's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2008
Đến từ: Kim Nỗ quê tôi một xóm nghèo
Bài gởi: 708
Thanks: 13
Thanked 613 Times in 409 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi portgas_d_ace View Post
Mình gặp một vấn đề khi đọc quyển Một số pp giải bài toán biên phi tuyến của cụ J. L. Lions.
Cụ thể như sau: cho $h \in {L^1}\left( {0,T} \right)$, chứng minh rằng với hầu hết $t \in \left( {0,T} \right)$ ta đều có
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left[ {1 - n\left( {s - t} \right)} \right]h\left( s \right)ds} = \frac{1}{2}h\left( t \right).\]
Cụ Lions bảo dùng định lý Lebesgue nhưng rõ là hội tụ bị chặn của Lebesgue không dùng được. Mình nghĩ là dùng định lý về điểm Lebesgue nhưng vẫn chưa ra.
Mở rộng hàm $h$ cho nó bằng $0$ bên ngoài đoạn $(0,T)$, khi đó $h \in L^1(\mathbb R)$. Ta chứng minh rẳng với hầu hết $t\in \mathbb R$, ta có
\[ \lim_{n \to \infty} n \int_t^{t + \frac 1n} (1 -n(s-t)) h(s) ds = \frac12 h(t).\]
Thật vậy, xét hàm
\[ \varphi_n(t) = n \int_t^{t + \frac 1n} (1 -n(s-t)) h(s) ds = \int_0^1 (1-u) h\left(t+ \frac u n\right) du.\]
Ta có
\[ \varphi_n(t) - \frac 12 h(t) = \int_0^1 (1-u)\left[ h\left(t+ \frac u n\right) - h(t)\right] du,
\]
do đó
\[ \left| \varphi_n(t) - \frac 12 h(t)\right| \leq \int_0^1 (1-u)\left|h\left(t+ \frac u n\right) - h(t)\right| du.
\]
Tích phân 2 vế trên $\mathbb R$ và dùng định lý Fubini, ta được
\[
\int_{\mathbb R} \left| \varphi_n(t) - \frac 12 h(t)\right| dt \leq \int_0^1 (1-u) \int_{\mathbb R} \left|h\left(t+ \frac u n\right) - h(t)\right| dt du.
\]
Do chuẩn $L^1$ liên tục với phép tịnh tiến nên
\[
\lim_{n\to \infty } \int_{\mathbb R} \left|h\left(t+ \frac u n\right) - h(t)\right| dt = 0,
\]
với mọi $u \in [0,1]$. Mặt khác ta có
\[
\int_{\mathbb R} \left|h\left(t+ \frac u n\right) - h(t)\right| dt \leq 2 \int_{\mathbb R} |h(t)| dt.
\]
Sử dụng định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue, ta được
\[
\lim_{n\to \infty} \int_{\mathbb R} \left| \varphi_n(t) - \frac 12 h(t)\right| dt =0.
\]
Do đó, với hầu hết $t \in \mathbb R$ ta có $\varphi_n(t) \to \frac 12 h(t)$. Đặt $A$ là tập các $t$ như vậy. Khi đó $B = \mathbb R \setminus A$ có độ đo $0$. Do đó $B \cap (0,T)$ có độ đo $0$. Hiển nhiên với mọi $t \in (0,T) \setminus B$ thì $t \in A$ do đó $\varphi_n(t) \to \frac 12 h(t)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
My homepage
HTML Code:
http://vanhoangnguyen.wordpress.com/
123456 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 123456 For This Useful Post:
portgas_d_ace (20-02-2019)
Old 20-02-2019, 11:26 AM   #3
portgas_d_ace
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Đến từ: HCMUS
Bài gởi: 501
Thanks: 158
Thanked 186 Times in 157 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới portgas_d_ace
Em trình bày một cách khác như sau
\[n\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left[ {1 - n\left( {s - t} \right)} \right]h\left( s \right)ds} = n\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {h\left( s \right)ds} - {n^2}\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left( {s - t} \right)h\left( s \right)ds} .\]
Do định lý về điểm Lebesgue, ta có
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {h\left( s \right)ds} = h\left( t \right).\]
Nên ta chỉ cần chứng minh
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2}\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left( {s - t} \right)h\left( s \right)ds} = \frac{1}{2}h\left( t \right).\]
Ta có
\[\left| {{n^2}\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left( {s - t} \right)h\left( s \right)ds} - \frac{1}{2}h\left( t \right)} \right| = \left| {{n^2}\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left( {s - t} \right)\left( {h\left( s \right) - h\left( t \right)} \right)ds} } \right| \leqslant n\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left| {h\left( s \right) - h\left( t \right)} \right|ds} .\]
Lại do định lý về điểm Lebesgue, ta có
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left| {h\left( s \right) - h\left( t \right)} \right|ds} = 0.\]
Vậy
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2}\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left( {s - t} \right)h\left( s \right)ds} = \frac{1}{2}h\left( t \right).\]
Chứng minh hoàn tất.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
- Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị -
portgas_d_ace is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:40 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2019, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 50.26 k/55.45 k (9.37%)]