Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Hình Học

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 23-08-2008, 09:30 AM   #31
ma 29
+Thành Viên Danh Dự+
 
ma 29's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2008
Đến từ: ĐH Kinh tế Quốc dân
Bài gởi: 888
Thanks: 113
Thanked 968 Times in 210 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới ma 29
I.29)Định lí Peletier
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sáng trưa chiều lo lắng biết bao điều, biết vâng lời lắng nghe em nhiều, thế mới là con ma được thương yêu.

thay đổi nội dung bởi: ma 29, 20-01-2009 lúc 07:35 AM
ma 29 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to ma 29 For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 23-08-2008, 09:52 AM   #32
ma 29
+Thành Viên Danh Dự+
 
ma 29's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2008
Đến từ: ĐH Kinh tế Quốc dân
Bài gởi: 888
Thanks: 113
Thanked 968 Times in 210 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới ma 29
I.30)Định lí Miobiut


Keke đánh y nguyên báo cho đỡ mệt

Định lí:Cho ngũ giác lồi

Chứng minh:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sáng trưa chiều lo lắng biết bao điều, biết vâng lời lắng nghe em nhiều, thế mới là con ma được thương yêu.

thay đổi nội dung bởi: ma 29, 24-01-2009 lúc 10:58 AM
ma 29 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to ma 29 For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010), wikipedia1995 (09-12-2010)
Old 23-08-2008, 09:58 AM   #33
ma 29
+Thành Viên Danh Dự+
 
ma 29's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2008
Đến từ: ĐH Kinh tế Quốc dân
Bài gởi: 888
Thanks: 113
Thanked 968 Times in 210 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới ma 29
I.31)Định lí Viviani

Định lí: Trong tam giác đều ABC ta lấy 1 điểm S .Ta sẽ có tổng các khoảng cách từ điểm S tới ba cạnh sẽ có độ dài bằng 1 đường cao của tam giác.

Chứng minh:

Kẻ SD,SE,SF lần lượt vuông góc với BC,CA,AB.
Đặt độ dài cạnh tam giác ABC là a,độ dài đường cao AH là b.
Ta có :
$BC.AH=a.b=2S_{ABC}= 2(S_{SBC} +S_{SCA}+S_{SAB}) = SD.BC+ SE.CA+SF.AB= a(SD+SE+SF) $
Giản ước hai vế cho a ta có điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sáng trưa chiều lo lắng biết bao điều, biết vâng lời lắng nghe em nhiều, thế mới là con ma được thương yêu.

thay đổi nội dung bởi: ma 29, 12-11-2008 lúc 03:21 PM
ma 29 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to ma 29 For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010), newstyle (06-10-2010), wikipedia1995 (09-12-2010)
Old 25-08-2008, 06:16 PM   #34
nbkschool
+Thành Viên+
 
nbkschool's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Đến từ: SMU Residence @Prinsep Hostel, 83 Prinsep Street, Singapore
Bài gởi: 400
Thanks: 72
Thanked 223 Times in 106 Posts
Xin lỗi về sự chậm trễ của em,kể từ hôm nay là mỗi ngày đều phải học trọn sáng chiều ở trường rùi,hixhix
I.32)Công thức Lagrange mở rộng.

Định lý:
Gọi I là tâm tỉ cự của hệ điểm $\{A_1,...,A_n \} $ ứng với các hệ số $a_1,...a_n $ thì với mọi điểm M:
$\sum^n_{i=1}a_iMA_i^2=\frac{\sum_{1\leq i <j \leq n} a_ia_jA_iA_j^2}{\sum^n_{i=1} a_i}+(\sum^n_{i=1} a_i)MI^2 $

Chứng minh:

Từ hệ thức Jacobi (có thể xem ở mục I.24) thì ta chỉ cần chứng minh rằng:
$\frac{\sum_{1\leq i <j \leq n} a_ia_jA_iA_j^2}{\sum^n_{i=1} a_i}=\sum^n_{i=1}a_iIA_i^2 $
Do I là tâm tỉ cự của hệ điểm nên:
$(\sum^n_{i=1}a_i\vec{IA_i})^2=0 $
<->$\sum^n_{i=1} a_i^2IA_i^2 + 2.(\sum_{1\leq i <j \leq n}a_ia_j\vec{IA_i}.\vec{IA_j}) =0 $
<->$\sum^n_{i=1} a_i^2IA_i^2 +[\sum_{1\leq i <j \leq n}a_ia_j(IA_i^2+IA_j^2-A_iA_j^2)]=0 $
<->$(\sum^n_{i=1} a_i)(\sum^n_{i=1} a_iIA_i^2)-\sum_{1\leq i <j \leq n} a_ia_jA_iA_j^2=0 $
<->$\frac{\sum_{1\leq i <j \leq n} a_ia_jA_iA_j^2}{\sum^n_{i=1} a_i}=\sum^n_{i=1}a_iIA_i^2 $(đpcm)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
"Apres moi,le deluge"

thay đổi nội dung bởi: ma 29, 26-08-2008 lúc 06:55 AM
nbkschool is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to nbkschool For This Useful Post:
HeastLTT (20-03-2010), IMO 2010 (27-11-2010), ma 29 (26-08-2008), wikipedia1995 (09-12-2010)
Old 25-08-2008, 07:14 PM   #35
chu t tung
+Thành Viên+
 
chu t tung's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2008
Bài gởi: 79
Thanks: 10
Thanked 27 Times in 15 Posts
I.33) Đường thẳng Simson
Định lí:Cho $\Delta ABC $ và điểm $M $ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tâm $O $ của tam giác. Gọi $N,P,Q $lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng $BC,CA,AB $ thì chúng cùng thuộc một đường thẳng (đây gọi là đường thẳng Simson).
Chứng minh:

Dùng góc định hướng
Ta có:
$(PN,PQ) \equiv(PN,PM) + (PM,PQ) (mod \pi) $
$ \equiv(CN,CM) +(AM,AQ) (mod \pi) $
$\equiv (BC,MC) +(MA,BA) (mod\pi) $
$\equiv 0 (mod\pi) $
Vậy $N,P,Q $ thẳng hàng.

Các bạn có thể tham khảo thêm ở đây:[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : doc wallacesimsonmonthly[1].doc (18.3 KB, 173 lần tải)
Kiểu File : pdf 00045.pdf (459.5 KB, 419 lần tải)
Kiểu File : pdf riegelmj[1].pdf (251.5 KB, 339 lần tải)
__________________
:facebowling:
Tình yêu như chiếc đồng hồ cát, khi trái tim được lấp đầy thì cái đầu trống rỗng.
---------------------------------------------------
The most important thing in this world is FAMILY.
It means Father And Mother, I Love You .....

thay đổi nội dung bởi: ma 29, 11-02-2009 lúc 11:54 AM
chu t tung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to chu t tung For This Useful Post:
HeastLTT (20-03-2010), IMO 2010 (27-11-2010), ma 29 (26-08-2008), wikipedia1995 (09-12-2010)
Old 25-08-2008, 08:24 PM   #36
trung anh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2008
Bài gởi: 75
Thanks: 9
Thanked 94 Times in 26 Posts
I.34) Đường thẳng Steiner


Định lí:Cho $\Delta ABC $ và điểm $D $ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tâm $O $ của tam giác. Gọi $A_2,B_2,C_2 $ lần lượt là điểm đối xứng với của D qua các đường thẳng $BC,CA,AB $ thì chúng cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng này đi qua trực tâm H của tam giác ABC. Đường thẳng đó được gọi là đường thẳng steiner ứng với điểm D của tam giác ABC. Còn điểm D được gọi là điểm anti steiner.


Chứng minh:

Dễ thấy nếu gọi $A_1, B_1,C_1 $ lần lượt là hình chiếu của D xuống ba cạnh của tam giác ABC thì $C_1 $ là trung điểm của đoạn $DC_1 $ và tương tự ta có $A_2,B_2,C_2 $ thẳng hàng.
Ta có
$(HC_2,HB_2) \equiv (HC_2,HB) + (HB,HC) + (HC,HB_2) $
$\equiv (H_CD,H_CB) +(HF,HE) + (H_BC,H_BD) $
$\equiv (AD,AB) +(AB,AC) + (AC,AD) $
$\equiv 0 $(mod $\pi $)
Vậy đường thẳng steiner đi qua H.
Từ đó ta có được tính chất rằng đường thẳng simson ứng với điểm D đi qua trung điểm của đoạn DH.
==============
Trích:
Nguyên văn bởi Math10T View Post
CM = pp sơ cấp đi bạn.........
Đây là ý kiến của anh ma 29, bọn em phải làm theo thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: trung anh, 26-08-2008 lúc 12:41 PM Lý do: Tự động gộp bài
trung anh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to trung anh For This Useful Post:
HeastLTT (20-03-2010), IMO 2010 (27-11-2010), ma 29 (26-08-2008)
Old 25-08-2008, 10:15 PM   #37
trung anh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2008
Bài gởi: 75
Thanks: 9
Thanked 94 Times in 26 Posts
I.35) Điểm Anti Steiner(Định lí Collings)


Định lí:Cho $\Delta ABC $ và đường thẳng $d $ đi qua H trực tâm của tam giác ABC . Gọi $d_a,d_b,d_c $ lần lượt là đường thẳng đối xứng của d qua BC,AC,AB. Các đường thẳng đó đồng quy tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC(điểm anti steiner của d). Và d được gọi là đường thẳng steiner của điểm đó (gọi là G).


Chứng minh:

Gọi $H_a, H_b, H_c $ lần lượt là hình chiếu của H qua ba cạnh \Rightarrow ba điểm này thuộc (O) ngoại tiếp tam giác ABC và $H_A, H_B, H_C $ lần lượt thuộc $d_a,d_b,d_c $
$(d_a,d_b)\equiv(d_a,BC)+(BC,CA)+(CA,d_b)\equiv(BC, d)+(BC,CA)+(d,CA)\equiv2(BC,CA)\equiv(CH_A,CH_B) $ (mod $\pi $)
Vậy nếu gọi giao điểm của d_a,d_b là G thì G thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tương tự ta có đpcm

Theo hình của bài đường thẳng steiner ta dễ thấy $H_CD $ đối xứng với $HC_2 $, $H_BD $ đối xứng với $HB_2 $
Vậy ta có d đúng là đường thẳng steiner của G.

Ta có một tính chất khác của điểm Anti Steiner như sau:
Định lí 2:
Gọi P là một điểm thuộc đường thẳng d.$ P_A,P_B,P_C $ lần lượt là điểm đối xứng với P qua các cạnh của tam giác ABC. Ta có các đường tròn $(A,P_C,P_B),(B,P_C,P_A),(C,P_A,P_B) $ cùng đi qua điểm G

Chứng minh :
Dễ thấy
$(AP_C;AP_B)\equiv2(AB,AC) $(mod $\pi $)
Lại có theo chứng minh trên có:
$(d_c,d_b)\equiv(GP_C,GP_B)\equiv2(AB,AC) $(mod $\pi $)
Suy ra G thuộc $(A,P_C,P_B) $. Tương tự có đpcm
Tham khảo : [Only registered and activated users can see links. ]
Mọi người thông cảm $d_a,d_b,d_c $ em quên không kí hiệu vào hình nên mọi người cứ nhìn theo tên điểm thuộc đường đó để phân biệt vậy !!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: ma 29, 06-02-2009 lúc 02:12 PM
trung anh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to trung anh For This Useful Post:
HeastLTT (20-03-2010), IMO 2010 (27-11-2010), nhox12764 (09-11-2011)
Old 26-08-2008, 07:02 AM   #38
ma 29
+Thành Viên Danh Dự+
 
ma 29's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2008
Đến từ: ĐH Kinh tế Quốc dân
Bài gởi: 888
Thanks: 113
Thanked 968 Times in 210 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới ma 29
Trích:
Nguyên văn bởi Math10T View Post
Mình nghĩ nên song song cả 2 cách giải...........
Ko phải ai cũng hiểu góc định hướng là gì........(mình cũng lơ mơ lắm)
Mục đích của pic là phổ biến các định lý hình học cho tất cả mọi người lên mục tiêu đầu tiên phải là mọi người đọc đều hiểu chứ

Đúng là mục đích để phổ biến nhưng nếu phổ biến sai hoặc không chặt chẽ thì phổ biến làm gì.
Ở đây mấy bài đó mà dùng góc thường thì muốn chặt chẽ thì phải xét nhiều trường hợp lắm -------> ko ổn.
Còn đáng lí ra thì cần có mục riêng cho gdh nhưng trên MS có bài của anh mailancuctruc rồi đó.

Quyết định là dùng góc định hướng rồi và cám ơn Trung Anh
và Tùng đã chấp thuận:hornytoro:reamer:



**Chú ý: Khi dùng góc định hướng,trong biến đổi cần thay dấu "=" bằng dấu "$\equiv" $.
Có thể nhiều bạn sẽ thắc mắc về điều này vì trong những tài liệu hiện hành có rất nhiều tài liệu dùng dấu bằng.
Tuy nhiên có một điều đáng chú ý là : Khi dùng dấu đồng dư để biến đổi thì không ai phản đối còn dùng dấu bằng thì có người phản đối ( TS.Nguyễn Minh Hà ) (Mà theo mình dùng đồng dư là tốt nhất với hiểu biết THPT:hornytoro .Thế nên tốt nhất là cứ dùng dấu đồng dư.:hornytoro:


Một số bài dùng dấu bằng thì mình sẽ sửa dần
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sáng trưa chiều lo lắng biết bao điều, biết vâng lời lắng nghe em nhiều, thế mới là con ma được thương yêu.

thay đổi nội dung bởi: ma 29, 26-08-2008 lúc 10:52 AM
ma 29 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to ma 29 For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 26-08-2008, 10:07 AM   #39
ma 29
+Thành Viên Danh Dự+
 
ma 29's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2008
Đến từ: ĐH Kinh tế Quốc dân
Bài gởi: 888
Thanks: 113
Thanked 968 Times in 210 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới ma 29
I.36)Định lí Napoleon

Định lí:Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều BMC,CNA,APB và gọi D,E,F lần lượt là tâm của ba tam giác ấy. Khi đó ta có tam giác DEF đều.

Chứng minh:

Bài này có nhiều cách giải,nếu thuận lợi mình sẽ giới thiệu ,tuy nhiên ở đây mình sẽ trình bày một chứng minh ngắn gọn dựa trên phép quay vecto như sau:
$Q_{\frac{\pi}{3}} (\vec{DE})= \frac{1}{3}Q_{\frac{\pi}{3}} (\vec{MN} +\vec{BA})=\frac{1}{3}Q_{\frac{\pi}{3}} (\vec{MC}+\vec{CN}+\vec{BA})= \frac{1}{3} (Q_{\frac{\pi}{3}} (\vec{MC}) +Q_{\frac{\pi}{3}} (\vec{CN}) + Q_{\frac{\pi}{3}} (\vec{BA}))= \frac{1}{3}(\vec{MB} + \vec{CA} +\vec{BP})=\vec{DF} $
Từ đó có điều cần chứng minh.



****trunganh:Em xin gửi lên một số cách c/m khác và các tài liệu có liên quan
[Only registered and activated users can see links. ]
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sáng trưa chiều lo lắng biết bao điều, biết vâng lời lắng nghe em nhiều, thế mới là con ma được thương yêu.

thay đổi nội dung bởi: ma 29, 28-02-2010 lúc 09:58 PM
ma 29 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to ma 29 For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 26-08-2008, 08:23 PM   #40
trung anh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2008
Bài gởi: 75
Thanks: 9
Thanked 94 Times in 26 Posts
I.37)Định lí Morley

Định lí:
Trong tam giác ABC. D,E,F lần lượt là giao điểm của các đường chia ba góc trong và cùng kề các cạnh tam giác ABC. Khi đó ta có tam giác DEF đều và được gọi là tam giác Morley.



Chứng minh:

Để ngắn gọn ta đặt $\hat{A}=3a $ và tương tự với các góc kia $\Rightarrow a+b+c=60^0 $ Như hình vẽ kẻ các đường chia trong ở B và C và lần lượt cắt tại D,I. Dễ thấy ID là phân giác của góc $\hat{BIC} $. Tại D dựng góc $\hat{EDF}=60^0 $ sao cho Di là phân giác của góc DEF và E thuộc CI và F thuộc BI $\Rightarrow \Delta $ DEF đều.
Lấy $D_1 $ và $D_2 $ lần lượt là điểm dối xứng với D qua CI và BI $\Rightarrow D_1 \in AC, D_2 \in AB $ và dễ dàng c/m được $D_1EFD_2 $ là hình thang cân với $D_1E=EF=D_2F $
Vì định lí Morley chỉ có một trường hợp nên em xin phép chỉ sử dụng góc thường cho nó đơn giản:
$\hat{DEC}=180^0-60^0-\hat{FEI}=120^0-(b+c)=60^0+a $
$\hat{ED_1D_2}=180^0-\hat{D_1EF}=180^0-(360^0-60^0-2\hat{DEC})=2a $
Ta lại có $D_1EFD_2 $ là hình thang cân và $D_1E=D_2F=EF \Rightarrow $ trong đường tròn ngoại tiếp $D_1EFD_2 $ thì sđ $\stackrel{\frown}{D_1D_2}= 3a \Rightarrow $ A thuộc đường tròn $(D_1EFD_2) $. Từ đó ta có đpcm

Định lý Morley có thể mở rộng các đường chia trong thành các đường chia ngoài, và có thể là giao của đường chia trong với đường chia ngoài(mỗi trường hợp này lại cho ta một tam giác Morley khác nhau và theo thống kê có 36 tam giác Morley như vậy). Sau đó bài toán còn được phát triển và tương ứng được đặt thêm nhiều định nghĩa mới như "góc lửng", "tam giác ngoại lai", "tập hợp đẳng cấu", ...
Sau đây là bài toán mở rộng nhất định lý Morley:
Nếu chia n (n nguyên dương, n $\geq $ 3) tất cả các góc của một đa giác m cạnh, thì tất cả các giao của các đường thẳng là các đỉnh phân biệt của một hệ $\frac{1}{2}m(m-1)n(n-1)^2 $ đa giác n cạnh đều, có thể phân chia làm $\frac{1}{2}m(m-1) $ họ, mỗi họ có $n(n-1)^2 $ đa giác có tâm thẳng hàng.
Cách chứng minh và các khái niệm liên quan xin xem thêm tại sách "Lãng mạn toán học" tác giả Hoàng Quý nhà xuất bản giáo dục
(Ai có ebook của quyển này up lên thì tốt quá)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: trung anh, 27-08-2008 lúc 11:27 AM
trung anh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to trung anh For This Useful Post:
HeastLTT (20-03-2010), IMO 2010 (27-11-2010)
Old 26-08-2008, 10:18 PM   #41
trung anh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2008
Bài gởi: 75
Thanks: 9
Thanked 94 Times in 26 Posts
I.38)Định lí con bướm với đường tròn

Định lí:
Cho đường tròn (O) và dây cung AB. I là trung điểm của AB. Qua I vẽ hai dây cung tùy ý MN và PQ sao cho MP và NQ cắt AB tại E,F. Khi đó I là trung điểm của EF.



Chứng minh:
Gọi K,T là trung điểm MP và NQ. Nên OIEK, OIFT là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow (OE,OI)\equiv(KE,KI) $(mod$\pi $)$; (OF,OI)\equiv(TF,TI) $(mod$\pi $)
Ta lại có $\Delta MIP \sim \Delta QIN \Rightarrow (TF,TI) \equiv (KE,KI) $(mod$\pi $)$ \Rightarrow \Delta EOF $ cân tại O$ \Rightarrow $ I là trung điểm EF
Xem [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: trung anh, 27-08-2008 lúc 05:36 PM
trung anh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to trung anh For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 27-08-2008, 10:20 AM   #42
chu t tung
+Thành Viên+
 
chu t tung's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2008
Bài gởi: 79
Thanks: 10
Thanked 27 Times in 15 Posts
I.39)Định lí con bướm với cặp đường thẳng
Định lí:Cho tam giác $ABC $. Lấy $I $ là trung điểm của $BC $. Qua $I $ kẻ các đường thẳng $\Delta $ cắt $AB,AC $ tại $N,Q $, đường thẳng $\Delta' $ cắt $AB,AC $ tại $P,M $. Gọi $MN,PQ $ cắt $BC $ tại $F,E $. Khi đó ta có $I $ là trung điểm cưa $EF $
Chứng minh:

Áp dụng định lí menelaus trong tam giác $ABC $ ta có các hệ thức sau:
$\frac{\bar{EB}}{\bar{EC}}.\frac{\bar{QC}}{\bar{QA} }.\frac{\bar{PA}}{\bar{PB}}=1 $
$\frac{\bar{FC}}{\bar{FB}}.\frac{\bar{NB}}{\bar{NA} }.\frac{\bar{MA}}{\bar{MC}}=1 $
$\frac{\bar{IB}}{\bar{IC}}.\frac{\bar{QC}}{\bar{QA} }.\frac{\bar{NA}}{\bar{NB}}=1 \Rightarrow \frac{\bar{QC}}{\bar{QA}}.\frac{\bar{NA}}{\bar{NB} }=1 $ (1)
$\frac{\bar{IC}}{\bar{IB}}.\frac{\bar{MA}}{\bar{MC} }.\frac{\bar{PB}}{\bar{PA}}=1 \Rightarrow \frac{\bar{MA}}{\bar{MC}}.\frac{\bar{PB}}{\bar{PA} }=1 $ (2)
từ (1) và (2) ta có:
$\frac{\bar{QC}}{\bar{QA}}.\frac{\bar{PA}}{\bar{PB} }=\frac{\bar{NB}}{\bar{NA}}.\frac{\bar{MA}}{\bar{M C}} \Rightarrow \frac{\bar{EB}}{\bar{EC}}=\frac{\bar{FC}}{\bar{FB} } $
Vậy $I $ là trung điểm của $EF $. (ĐPCM)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
:facebowling:
Tình yêu như chiếc đồng hồ cát, khi trái tim được lấp đầy thì cái đầu trống rỗng.
---------------------------------------------------
The most important thing in this world is FAMILY.
It means Father And Mother, I Love You .....

thay đổi nội dung bởi: chu t tung, 27-08-2008 lúc 10:38 AM
chu t tung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to chu t tung For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010), thao123 (19-04-2009)
Old 28-08-2008, 08:39 AM   #43
Chí Thắng th
+Thành Viên+
 
Chí Thắng th's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Đến từ: I don't know!
Bài gởi: 31
Thanks: 1
Thanked 3 Times in 3 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Chí Thắng th
Trích:
Nguyên văn bởi trung anh View Post
I.6) Định lý Desargues


Định lý:

Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C'. Khi đó AA', BB', CC' đồng quy khi và chỉ khi các giao điểm của BC và B'C', CA và C'A', AB và A'B' thẳng hàng.




Chứng minh:

Gọi X, Y, Z là lần lượt là các giao điểm của các cặp cạnh BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’ .

Phần thuận:
Giả sử các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy tại S. Ta chứng minh X, Y, Z thẳng hàng.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBC với cát tuyến XB'C' ta có:
$\frac{\bar{XB}}{\bar{XC}}.\frac{\bar{C'C}}{\bar{C' S}}.\frac{\bar{B'S}}{\bar{B'B}}=1 $ hay $\frac{\bar{XB}}{\bar{XC}} = \frac{\bar{SC'}}{\bar{SB'}}.\frac{\bar{BB'}}{\bar{ CC'}} $

Tương tự, ta có:
$\frac{\bar{YC}}{\bar{YA}} = \frac{\bar{SA'}}{\bar{SC'}}.\frac{\bar{CC'}}{\bar{ AA'}} $ và $\frac{\bar{ZA}}{\bar{ZB}} = \frac{\bar{SB'}}{\bar{SA'}}.\frac{\bar{AA'}}{\bar{ BB'}} $

Nhân từng vế các đẳng thức trên lại với nhau, và theo định lí Menelaus suy ra X, Y, Z thẳng hàng.

Phần đảo:
Giả sử các điểm X, Y, Z thẳng hàng. Ta chứng minh các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Gọi S là giao điểm của AA’ và BB’. SC cắt đường thẳng AC’ tại C”.
Xét 2 tam giác ABC và A’B’C” có các đường nối các đỉnh tương ứng đồng quy, do đó theo phần thuận giao điểm của các cạnh tương ứng cũng đồng quy.
Ta thấy AB cắt A’B’ tại Z, AC cắt A’C” tại Y (do A’, C’, C” thẳng hàng), suy ra giao điểm X’ của BC và B’C” phải thuộc YZ. Tức là X’ là giao của YZ và BC nên X’ trùng với X.
Suy ra C” trùng với C’, hay AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Cái này nếu nhìn theo góc độ hình không gian thì đúng luôn. X,Y,Z cùng thuộc giao tuyến của mp(ABC) và mp(A'B'C'):hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Knowledge is power!
Cố gắng thật nhiều để đạt thành công thật lớn!
Chí Thắng th is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Chí Thắng th For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 28-08-2008, 08:48 AM   #44
ma 29
+Thành Viên Danh Dự+
 
ma 29's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2008
Đến từ: ĐH Kinh tế Quốc dân
Bài gởi: 888
Thanks: 113
Thanked 968 Times in 210 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới ma 29
Trích:
Nguyên văn bởi Chí Thắng th View Post
Cái này nếu nhìn theo góc độ hình không gian thì đúng luôn. X,Y,Z cùng thuộc giao tuyến của mp(ABC) và mp(A'B'C'):hornytoro:
Rất chính xác nếu (ABC) và (A'B'C') không đồng phẳng:hornytoro:

CHÚ Ý:
từ bây giờ đừng ai post những bài về cách giải khác ,hoặc là phát triển,ứng dụng ,.. của những định lí nhé.
Lí do: đó là những trao đổi hữu ích cần giữ lại,do đó khi hoàn thành các bài trong mục lục các bạn hẵng post,bởi post chen ngang thế này thì rồi lại bị xóa

***Chí Thắng vào làm cùng cho vui
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sáng trưa chiều lo lắng biết bao điều, biết vâng lời lắng nghe em nhiều, thế mới là con ma được thương yêu.
ma 29 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to ma 29 For This Useful Post:
IMO 2010 (27-11-2010)
Old 28-08-2008, 09:27 PM   #45
thaithuan_GC
+Thành Viên+
 
thaithuan_GC's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 175
Thanks: 12
Thanked 23 Times in 10 Posts
I.40 Định Lí Blaikie
Định lí: Cho tam giác ABC và đường thẳng d sao cho d cắt BC,CA,AB lần lượt ở M,N,P. Gọi S là 1 điểm bất kì trên d. Gọi M',N',P' lần lượt là điểm đối xứng của M,N,P qua S. Khi đó AM',BN',CP' đồng quy tại một điểm P và ta gọi P là điểm Blaikie của d và S đối với tam giác ABC.



Chứng Minh :
Có thể cho $S $ nằm giữa $N,M $.
Giả sử $AM' $ cắt $BN' $ tại $I $ . Ta chứng mình $I,C,P $
thẳng hàng .
Xét tam giác $BN'M $ với $3 $ điểm $I,C,P $ . Ta cần cm :
$\frac{IB}{IN'}.\frac{P'N'}{P'M}.\frac{CM}{CB}=1 $

Xét tam giác $PBN' $ với $3 $ điểm thẳng hàng $A,I,M' $ trên $3 $ cạnh :
$\frac{AP}{AB}.\frac{IB}{IN'}.\frac{M'N'}{M'P}=1 $ (1)

Xét tam giác $MBP $ với $3 $ điểm thẳng hàng $C,A,N $ trên $3 $ cạnh :
$\frac{CM}{CB}.\frac{AB}{AP}.\frac{PN}{MN}=1 $ (2)

Nhân $2 $ vế (1),(2) và rút gọn , chú ý $MN=M'N' $ta được :
$\frac{IB}{IN'}.\frac{NP}{M'P}.\frac{CM}{CB}=1 $
Chú ý là $NP=P'N' $ và $P'M=M'P $ nên ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: ma 29, 05-09-2008 lúc 10:58 AM
thaithuan_GC is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to thaithuan_GC For This Useful Post:
HeastLTT (20-03-2010), IMO 2010 (27-11-2010), thao123 (19-04-2009)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:47 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2019, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 130.31 k/148.39 k (12.18%)]