Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 05-02-2019, 06:55 PM   #1
zinxinh
Banned
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 204
Thanks: 65
Thanked 67 Times in 43 Posts
JBMO TST Romani 2015

Bài toán 5 :Tìm các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn $4^{a}5^{b}-3^{c}11^{d}=1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 07-02-2019, 06:45 AM   #2
zinxinh
Banned
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 204
Thanks: 65
Thanked 67 Times in 43 Posts
Ta có $3^{c}11^{d}=4^{a}5^{b}-1=5^{b}-1=0(\mod 3)$ .Nên b=2x $3^{c}11^{d}=4^{a}5^{2x}-1=(2^{a}5^{x}-1)(2^{a}5^{x}+1)$ .Nhưng
$(2^{a}5^{x}+1)-(2^{a}5^{x}-1)=2$.Do đó hai số $(2^{a}5^{x}+1)$ và$(2^{a}5^{x}-1)$ một số là lũy thừa của 3 ,một số là lũy thừa 11
Ta có $(2^{a}5^{x}+1)+(2^{a}5^{x}-1)=2^{a+1}5^{x}=3^{c}+11^{d}$ chia hết cho 10.Vì $11^{d}$ có số tận cùng là 1 nên $3^{c}$ tận cùng là 9 do đó
c=4k+2
Khi $a\geq 2$ thì $(2^{a}5^{x}+1)$ chia 4 dư 1 còn $(2^{a}5^{x}-1)$ chia 4 dư 3.Chỉ có khả năng là $2^{a}5^{x}+1=3^{4k+2}=9^{2k+1}$
$2^{a}5^{x}=9^{2k+1}-1=(9^{2k+1}+1)-2 $ không chia hết cho 5 (vô lý)
Vậy a=1,$(2.5^{x}-1)$ chia 4 dư 1 => $2.5^{x}-1=9^{2k+1}$ và $2.5^{x}+1=11^{d}=11^{2y+1}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 07-02-2019 lúc 09:42 PM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-02-2019, 07:28 PM   #3
zinxinh
Banned
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 204
Thanks: 65
Thanked 67 Times in 43 Posts
Nếu $x\geq 2$=>$d\geq 2$ Ta có $2.5^{x}=11^{d}-1=(10+1)^{d}-1=10^{d}+...+\frac{d(d-1)}{2}10^2+10d$ chia hết 25 nên d chia hết cho 5. Do đó $2.5^{x}=11^{d}-1$ chia hết $11^{5}-1$ là điều vô lý.Vậy x<2
=>x=1,d=1=>(a,b,c,d)=(1,2,2,1)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 09-02-2019 lúc 06:56 AM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 09:56 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2019, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 42.41 k/47.45 k (10.62%)]