|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
11-01-2012, 07:24 PM | #16 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: cyber world Bài gởi: 413 Thanks: 14 Thanked 466 Times in 171 Posts | VMO P4 Làm giống như bạn Mashimaru ở post phía trên, ta cần phải chứng minh bất đẳng thức: $\sum\limits_{k=1}^{n}k(a_k+b_k)\le \frac{n(n+1)(8n+1)}{6} $ với $1\le a_1<a_2<\dots<a_n\le 2n $, $1\le b_1<b_2<\dots<b_n\le 2n $ và $a_1,a_2,...,a_n,b_1,...,b_n $ là một hoán vị của $1,2,...,2n $. Với cách sắp xếp thứ tự trên thì ta có các điều kiện của bất đẳng thức Karamata được thỏa mãn: $a_n + b_n \le 2n + 2n-1; $ $a_n + b_n + a_{n-1} + b_{n-1}\le 2n + 2n-1 + 2n-2 + 2n-3; $ $\sum\limits_{k=i}^{n}(a_k+b_k)\le \sum\limits_{k=i}^{n}(2k+2k-1) $ với mọi $i = 1,2,...,n $ và với $i = 1 $ thì ta có đẳng thức. Áp dụng bất đẳng thức Karamata (hoặc có thể chứng minh bằng khai triển tổng Abel (2 dòng)): $\sum\limits_{k=1}^{n}k(a_k+b_k)\le \sum\limits_{k=1}^nk(4k-1) = \frac{n(n+1)(8n+1)}{6} $. ĐPCM. __________________ Traum is giấc mơ. thay đổi nội dung bởi: Traum, 11-01-2012 lúc 07:33 PM |
The Following User Says Thank You to Traum For This Useful Post: | Highschoolmath (11-01-2012) |
11-01-2012, 07:58 PM | #17 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2010 Bài gởi: 193 Thanks: 195 Thanked 129 Times in 72 Posts | |
11-01-2012, 09:16 PM | #18 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: A1 LQĐ_ĐN Bài gởi: 60 Thanks: 4 Thanked 19 Times in 13 Posts | Ý tưởng của mình là đầu tiên cm để nhận số kẹo nhiều nhất thì 2 bạn đứng đầu phải khác giới tính. Sau đó quy nạp nếu xếp các bạn từ 1 đến i mà xen kẽ nam nữ thì xếp bạn i+1 khác giới tính với bạn vị trí thứ i sẽ cho ta số kẹo ko ít hơn số kẹo khi mà i+1 cùng giới tính vs i. Cứ thế thì sẽ suy ra là xen kẽ sẽ đạt max |
11-01-2012, 09:26 PM | #19 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc Bài gởi: 570 Thanks: 24 Thanked 537 Times in 263 Posts | Trích:
Bài này có thể làm như sau: Trước hết ta đánh số $2n $ học sinh có vị trí là $1, 2, ..., 2n $. Giả sử học sinh nam ở các vị trí $i_1, i_2, ..., i_n $. Khi đó với học sinh nam ở vị trí thứ $i_k $ thì số kẹo nhận được là: $\[\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)\] $. Do đó tổng số kẹo n học sinh nam nhận được là: $\[\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)} \] $. Tiếp theo ta tính số kẹo của học sinh nữ. Số kẹo mà các học sinh nữ ở vị trí $<i_1 $ bằng 0. Số kẹo mà các học sinh nữ ở bị trí $>i_n $ bằng 0. số kẹo mà các học sinh nữ ở vị trí h sao cho $i_k<h<i_{k+1}; k=1,...,n-1 $ bằng $\[k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)\] $ suy ra tổng số kẹo mà n học sinh nữ nhận được là: $\[\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)} $ Do đó tổng số kẹo các học sinh nhận được bằng: $\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)} +\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)} $ Sau đó chứng minh $\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)} +\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)}\le \frac{1}{3}n(n^2-1) $ Thật vậy, $\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)} +\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)} $ $=\sum\limits_{k = 1}^n {n{i_k}} - n\sum\limits_{k = 1}^n k - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - k} \right)}^2}} + n\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {{i_{k + 1}} - {i_k}} \right)} - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{k^2}\left( {{i_{k + 1}} - {i_k}} \right)} - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)} $ $=\sum\limits_{k = 1}^n {n{i_k}} - \frac{{{n^2}\left( {n + 1} \right)}}{2} - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - k} \right)}^2}} - n\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{i_{k + 1}}} + n\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {\left( {k + 1} \right){i_{k + 1}} - k{i_k}} \right)} + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {2k + 1} \right){i_{k + 1}}} - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {{{\left( {k + 1} \right)}^2}{i_{k + 1}} - {k^2}{i_k}} \right)} - \frac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)}}{6} $ $= - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - k} \right)}^2}} + \sum\limits_{k = 1}^{n } {\left( {2k - 1} \right){i_{k }}} $ $=\frac{{ - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - 2k} \right)}^2}} - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - 2k + 1} \right)}^2}} + \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} + \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {k - 1} \right)}^2}} }}{2} $ $= - \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - 2k} \right)}^2}} + \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - 2k + 1} \right)}^2}} + n}}{2} + \frac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)}}{3} $ (1) Với chú ý ${\left( {{i_k} - 2k} \right)^2} + {\left( {{i_k} - 2k + 1} \right)^2} \ge 1, \forall k, 1\le k\le n $ nên từ (1) ta có đpcm. Dấu bằng chẳng hạn $i_k=2k, k=1, 2, ..., n $ thay đổi nội dung bởi: ThangToan, 11-01-2012 lúc 09:57 PM | |
The Following 2 Users Say Thank You to ThangToan For This Useful Post: | Highschoolmath (11-01-2012), hoangkhtn2010 (11-01-2012) |
11-01-2012, 11:54 PM | #20 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Kiên Giang Bài gởi: 6 Thanks: 42 Thanked 4 Times in 3 Posts | Bài tổ hợp Không biết đánh Latex khổ thật. Chắc phải học thôi. Bài 4, mọi người Check dùm nhé. |
12-01-2012, 03:26 AM | #21 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2 Thanks: 1 Thanked 0 Times in 0 Posts | Trích:
thay đổi nội dung bởi: hungmat, 12-01-2012 lúc 03:34 AM | |
12-01-2012, 04:52 AM | #22 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc Bài gởi: 570 Thanks: 24 Thanked 537 Times in 263 Posts | Trích:
| |
12-01-2012, 08:48 AM | #23 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 168 Thanks: 16 Thanked 42 Times in 25 Posts | Tôi chứng minh qua 3 bước: đầu tiên nếu nam ở cuối, nữ cuối ở vị trí $k <2n-1 $ thì đổi vị trí nữ cuối với nam ở vị trí $2n-1 $, vị trí mới này nhiều kẹo hơn. Sau đó chỉ ra nếu cuối cùng là nam nữ hay nữ nam đều như nhau. Cuối cùng chỉ ra xen kẽ là một trường hợp thoả mãn. Tất cả các trường hợp thoả mãn là vị trí thứ $2k-1 $ và $2k $ là nam nữ hoặc nữ nam với mọi $k $ từ $1 $ đến $n $. Bài này dễ bị nhầm dấu bằng dẫn đến định hướng giải nhầm. __________________ Rồng sa vũng cạn bị lươn ghẹo! Hổ xuống đất bằng bị chó khinh! thay đổi nội dung bởi: let, 12-01-2012 lúc 07:04 PM |
12-01-2012, 11:22 AM | #24 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts | Thằng này chữ nghĩa sao như các cháu teen thế này? Không gõ tử tế được à? __________________ T. |
12-01-2012, 07:00 PM | #25 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 168 Thanks: 16 Thanked 42 Times in 25 Posts | Hic, lúc sáng em post bài từ di động, được thế là may lắm rồi! __________________ Rồng sa vũng cạn bị lươn ghẹo! Hổ xuống đất bằng bị chó khinh! |
12-01-2012, 09:29 PM | #26 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: cyber world Bài gởi: 413 Thanks: 14 Thanked 466 Times in 171 Posts | Bài toán luyện tập: Trên một đường tròn có $2n $ điểm, $n $ điểm xanh và $n $ điểm đỏ. Một điểm là tốt nếu nó là giao của hai dây cung: một cung có hai đầu mút xanh và dây cung còn lại có hai đầu mút đỏ. Hãy tính số lớn nhất và nhỏ nhất các điểm tốt có thể. __________________ Traum is giấc mơ. |
12-01-2012, 10:05 PM | #27 |
+Thành Viên+ | Em giải theo hướng này, có vẻ đơn giản. Giả sử n bạn nam theo thứ tự từ trái qua phải là $A_{1},A_2...A_n $ và bên trái $A_i $có $b_i $ bạn nữ,$ b_i $ tự nhiên, có thể là 0, không vượt quá n. Số kẹo $A_i $ nhận là $b_i(n-b_i) $ Dễ thấy $b_1,b_2,...b_n $ là dãy tăng ( không nhất thiết nghiêm ngặt) Giữa $A_i,A_{i+1} $ có $ b_{i+1}-b_i $ bạn nữ, mỗi bạn này nhận $i(n-i) $ kẹo( có thể không có bạn nữ nào) Tổng số kẹo các bạn nữ nhận là: S= $\sum_{1}^{n}( b_{i+1}-b_i)i(n-i) $ Số lần xuất hiện của $b_i $ trong S là $(i-1)(n-i+1)-i(n-i)=2i-1-n $, do vậy S= $\sum_{1}^{n}b_i(2i-1-n) $ Suy ra tổng số kẹo 2n bạn nhận là T=$\sum_{1}^{n}b_i(2i-1-b_i) $ Ta có $(b_i-i)(b_i-(i-1))\geq0 $ do $b_i $ nguyên, suy ra $i(i-1) \geq b_i(2i-1-b_i) $ Do vậy T không vượt quá $0.1+1.2+...+(n-1)n=\frac{n(n^2-1)}{3} $, có đpcm __________________ Quay về với nơi bắt đầu thay đổi nội dung bởi: kien10a1, 12-01-2012 lúc 10:49 PM |
The Following 3 Users Say Thank You to kien10a1 For This Useful Post: |
13-01-2012, 12:43 AM | #28 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc Bài gởi: 570 Thanks: 24 Thanked 537 Times in 263 Posts | Trích:
Ta biến tổng S như sau: $S = n\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {\left( {i + 1} \right){b_{i + 1}} - i{b_i}} \right)} - n\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{b_{i + 1}}} - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {{{\left( {i + 1} \right)}^2}{b_{i + 1}} - {i^2}{b_i}} \right)} + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {2i + 1} \right){b_{i + 1}}} $ $={n^2}{b_n} - n{b_1} - n\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{b_{i + 1}}} - {n^2}{b_n} + {b_1} + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {2i + 1} \right){b_{i + 1}}} $ $= - n\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} + \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {2i - 1} \right){b_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}\left( {2i - 1 - n} \right)} $ Sau khi tính được tổng S như trên thì cách chứng minh tương tự lời giải của em. thay đổi nội dung bởi: ThangToan, 13-01-2012 lúc 01:03 AM | |
The Following User Says Thank You to ThangToan For This Useful Post: | nghiepdu-socap (13-01-2012) |
14-01-2012, 12:41 AM | #29 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Bài gởi: 456 Thanks: 64 Thanked 215 Times in 143 Posts | Đại số nhiều hơn tổ hợp? 0 là nữ, 1 là nam. Gọi $s_i $ là số số 0 ở trước số 1 thứ $i $. Như vậy ta tính được: Số kẹo trao cho những số 0 sẽ bằng các bộ 101 mà như thế thì ta sẽ có: Với số 0 nằm giữa số 1 vị trí $i-1 $ và $i $ sẽ nhận: $(i-1)(n-i+1) $ Tổng số kẹo này là: $\sum_{i=1}^{n}{(s_i-s_{i-1})(i-1)(n-i+1)} $ Số kẹo trao cho những số 1 sẽ bằng các bộ 010 mà như thế thì ta sẽ có: $s_i(n-s_i) $ Tổng số kẹo này là: $\sum_{i=1}^n s_i(n-s_i) $ Vậy tất cả số kẹo là: $\sum_{i=1}^{n}{(s_i-s_{i-1})(i-1)(n-i+1)}+\sum_{i=1}^n s_i(n-s_i) $ với $s_0=0 $. Biến đổi tương đương: $\sum_{i=1}^n s_i(2i-1-s_i)\leq \sum_{i=1}^n i(i-1)=\frac{n(n-1)(n+1)}{3} $. Đẳng thức không chỉ xảy ra khi 0 và 1 xen kẽ nhau! thay đổi nội dung bởi: beyondinfinity, 14-01-2012 lúc 11:58 PM |
The Following User Says Thank You to beyondinfinity For This Useful Post: | king_math96 (09-12-2013) |
14-01-2012, 04:03 PM | #30 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts | Anh P làm tắt kinh khủng ... anh ghi rõ hơn được ko anh? |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|