|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
03-02-2016, 05:41 PM | #1 |
Administrator | Tiến đến kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam 2016 Xin chào các bạn, Sắp tới, vào khoảng cuối tháng 3, đầu tháng tư, kỳ thi chọn các đội tuyển quốc gia dự thi quốc tế các môn khoa học tự nhiên sẽ được tổ chức. Sẽ có 45 bạn học sinh có điểm số từ 27.5 trở lên sẽ tham dự kỳ thi chọn đội tuyển môn Toán. Năm nay lực lượng tham dự TST đông đảo nhất đến từ vùng Bắc Trung Bộ: Thanh Hóa (8), Nghệ An (7), Hà Tĩnh (4), ĐH Vinh và Quảng Bình mỗi đơn vị 1. Ở vùng Bắc bộ năm nay đánh dấu sự trở lại bất ngờ của Hà Nội với 7 đại diện, còn lại là các đơn vị như ĐHQG, ĐHSP, Vĩnh Phúc, Phú Thọ, Nam Định ... Các tỉnh phía Nam trở vào chỉ có 7 suất sự TST gồm PTNK (2), Đà Nẵng (2), Quảng Nam (1), Bình Định (1), Vũng Tàu (1). Để tạo điều kiện cho các bạn học sinh tiếp xúc với mức độ đề toán TST, rèn kỹ năng giải các bài toán khó hơn mức VMO, đặc biệt là rèn khả năng làm việc ở cường độ cao trong 4 tiếng rưỡi, chúng tôi sẽ tuyển chọn 1 số bài toán "mức độ TST" để các bạn tự làm. Lời giải, bình luận, nhận xét sẽ được gửi sau để các bạn tham khảo. Nhóm bài đầu tiên lấy từ phần đại số của Short List IMO 2014. 1. Với dãy số $ x_1, x_2, ..., x_n $ các số thực ta gọi giá của dãy số đó là $ max_{1 \le i \le n}|x_1+...+x_i|$. Cho n số thực, Dave và George muốn sắp xếp các số này thành một dãy với giá thấp. Chàng trai siêng năng Dave kiểm tra tất cả các trường hợp và tìm được giá nhỏ nhất D. Chàng trai tham lam George đã sử dụng một cách khác, chọn $x_1$ sao cho $|x_1|$ nhỏ nhất, sau đó trong tất cả các số còn lại, chọn $x_2$ sao cho $|x_1 + x_2|$ nhỏ nhất và cứ thế. Tức là ở bước thứ i, George sẽ chọn $x_i$ trong các số còn lại sao cho $|x_1 + x_2 +...+ x_i|$ nhỏ nhất. Ở mỗi bước nếu có vài số cho kết quả như nhau thì George chọn ngẫu nhiên. Cuối cùng anh ấy thu được giá G. Tìm hằng số c nhỏ nhất sao cho với mọi số nguyên dương n, với mọi bộ n số thực và với mọi dãy số mà George có thể thu được, các kết quả thu được thỏa mãn bất đẳng thức $ G \le cD$. (Grudia đề nghị) 2. Tìm tất cả các hàm số $f: Z -> Z$ thỏa mãn điều kiện $ f(f(m)+n) + f(m) = f(n) + f(3m) + 2014 $ với mọi $ m, n $ nguyên. (Hà Lan đề nghị) 3. Xét tất cả các đa thức $ P(x) $ với hệ số thực thỏa mãn điều kiện sau: với mọi số thực $ x $ và $ y $ ta có $|y^2 – P(x)| \le 2|x| $ khi và chỉ khi $ |x^2 – P(y)| \le 2|y|$. Tìm tất cả các giá trị có thể của $P(0)$. (Bỉ đề nghị) 4. Tìm tất cả các hàm số $f: Z -> Z$ sao cho $n^2 + 4f(n) = (f(f(n))^2 $ với mọi $n$ nguyên. (Anh đề nghị) |
The Following 10 Users Say Thank You to namdung For This Useful Post: | 2M (03-02-2016), Fool's theorem (04-02-2016), huynhcongbang (21-02-2016), mathandyou (03-02-2016), Nguyen Van Linh (03-02-2016), nguyentatthu (04-02-2016), pco (05-02-2016), thaibinh (03-02-2016), thaygiaocht (03-02-2016), tikita (05-02-2016) |
04-02-2016, 08:57 AM | #2 |
+Thành Viên+ | Em xin được góp vui chút ạ. Bài 5: Giả sử An đi làm một bài thi trắc nghiệm có $n $ câu hỏi trên máy tính, mỗi câu chỉ có $1 $ đáp án đúng. Sau mỗi lần An chọn xong và nộp bài thì máy tính sẽ hiện ra kết quả tính điểm với số câu An chọn đúng. Với bài thi này An có thể làm lại sau mỗi lần nộp bài. Hỏi An phải làm ít nhất bao nhiêu lần để chắc chắn luôn tìm ra đáp án đúng cho cả $n$ câu hỏi trong các trường hợp sau: a, Mỗi câu hỏi có $2 $ đáp án, và mỗi lần trước khi nộp bài An không được bỏ trống câu nào. b, Mỗi câu hỏi có $4 $ đáp án, và An có thể bỏ trống không làm một số câu tùy ý. Bài 6: Có bao nhiêu cách điền các số tự nhiên từ $1 $ đến $n^2 $ vào bảng $nxn $ sao cho nếu ta cứ chọn $n $ ô mà không có hai ô nào cùng hàng hoặc cùng cột thì sẽ được tổng $n $ ô này là một số cố định? __________________ Quay về với nơi bắt đầu thay đổi nội dung bởi: kien10a1, 04-02-2016 lúc 09:00 AM |
The Following 2 Users Say Thank You to kien10a1 For This Useful Post: | Fool's theorem (04-02-2016), namdung (04-02-2016) |
04-02-2016, 10:24 AM | #3 |
+Thành Viên Danh Dự+ | Em cũng muốn góp vài bài em gặp trong năm nay ạ Bài 7: Cho một bàn cờ vô hạn, trong đấy có một đường kẻ ngang được đánh dấu. Xếp các quân cờ ở dưới vạch kẻ ngang kia. Mỗi quân cờ chỉ được di chuyển bằng cách nhảy qua đầu một quân cờ khác (quân cờ bị nhảy qua sẽ bị bị loại bỏ sau đó), mỗi bước nhảy chỉ có độ dài 2 ô và đích đến phải là ô trống (Ví dụ một bước đi hợp lệ: oox -> xxo, với x là ô trống và o là quân cờ). Mục đích của trò chơi là có thể di chuyển 1 quân cờ đến hàng thứ $k$ phía trên vạch kẻ được đánh dấu, với số quân ít nhất có thể (biết rằng có thể tuỳ ý xếp quân, miễn là ở dưới vạch kẻ ngang). Hỏi số quân cờ ít nhất mà ta cần là bao nhiêu nếu: a) $k = 4$ b) $k = 5$ Bài 8: Có 12 chú lùn sống trong 12 ngôi nhà xếp quanh 1 vòng tròn. Mỗi ngôi nhà được sơn 1 trong 2 màu xanh hoặc trắng. Mỗi tháng, một chú lùn, vì không có việc gì để làm, lại vác sơn và đi sơn các ngôi nhà theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ chính nhà của chú này. Nhưng ngay sau khi phải sử dụng sơn xanh (tức là đã ngay sau khi sơn nhà trắng -> xanh) thì chú lùn nào cũng lập tức dừng lại không sơn các nhà khác nữa. Chứng minh rằng sau 1 năm tất cả 12 ngôi nhà đều quay lại màu sơn ban đầu. __________________ Hope against hope. |
The Following 2 Users Say Thank You to Fool's theorem For This Useful Post: | namdung (04-02-2016), nguyentatthu (05-02-2016) |
04-02-2016, 11:39 AM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2014 Bài gởi: 7 Thanks: 2 Thanked 5 Times in 4 Posts | Hình như chưa có hình nên em xin phép mở hàng Bài 9: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ cố định, trong đó $BC$ là dây cung cố định và $A$ di động trên cung $BC$ lớn. Gọi $M, H$ là trung điểm $BC$ và trực tâm tam giác $ABC. N$ đối xứng $M$ qua $AH$. Đường tròn $(AMN)$ cắt $AB, AC$ tại $E, F.$ a) Chứng minh $EF$ là tiếp tuyến của 1 đường tròn cố định b) Chứng minh $EF$ luôn cắt đường tròn $(HBC)$ tại 2 điểm $P, Q$ và 4 điểm $M, N, P, Q$ nằm trên 1 đường tròn thay đổi nội dung bởi: lucifer97, 04-02-2016 lúc 11:56 AM |
The Following User Says Thank You to lucifer97 For This Useful Post: | namdung (04-02-2016) |
04-02-2016, 05:40 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2014 Bài gởi: 7 Thanks: 2 Thanked 5 Times in 4 Posts | Bài 10: Vào lễ tuyên dương học sinh giỏi vượt khó năm $2015$, BTC quyết định tặng thưởng $n$ phần quà cho $2015$ học sinh xuất sắc của tỉnh A. Biết rằng khi khảo sát, số quà của $1008$ học sinh bất kì luôn lớn hơn 1 nữa số quà đã phát. Hỏi số phần quà mà 1 học sinh có thể nhận tối đa và tổng số cách phát quà trong mọi trường hợp có thể có của $n$ là bao nhiêu nếu: a) Số quà mỗi bạn nhận được là khác nhau? b) Có tối đa $2$ bạn nhận được cùng số quà? |
06-02-2016, 09:23 PM | #6 | |
Administrator Tham gia ngày: Jun 2012 Bài gởi: 157 Thanks: 2 Thanked 84 Times in 53 Posts | Trích:
| |
07-02-2016, 12:54 AM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Bài gởi: 32 Thanks: 24 Thanked 26 Times in 6 Posts | Mình cũng xin gửi 1 bài, chúc đội tuyển năm nay của chúng ta sẽ mạnh nhất Bài 11: Cho $P(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên, có bậc lớn hơn 2. Chứng minh rằng luôn tồn tại một số tự nhiên m sao cho $P(m!)$ là một hợp số. |
08-02-2016, 04:27 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2012 Đến từ: Tp.HCM Bài gởi: 85 Thanks: 12 Thanked 79 Times in 32 Posts | Bài 12. Chứng minh rằng nếu $a \leqslant b \leqslant c \leqslant d$ là các số thực dương thỏa mãn $abcd=1,$ thì \[ a+b^2+c^3+d^4 \ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d ^4}.\] __________________ The Simplest Solution Is The Best Solution |
17-02-2016, 10:40 AM | #9 |
Administrator | Gợi ý cho bài 1: c = 2 và chứng minh bằng quy nạp. Ví dụ để không thay thế được c bằng hằng số nhỏ hơn là 1, -1, 2, -2. |
17-02-2016, 01:30 PM | #10 |
Administrator | Bài này không khó. Các em công phá thử xem nhé. |
18-02-2016, 01:57 PM | #11 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Konoha Bài gởi: 899 Thanks: 372 Thanked 362 Times in 269 Posts | Trích:
Đặt $f(x)= x-\frac{1}{x}$ với $x\in (0,\infty)$. Nhận xét:
Ta có $$ f(a)+f(b^2)+f(c^3)+f(d^4) \ge\left[f(a)+f(bd^2)\right]+\left[f(c^3)+f(bd^2)\right].$$ Tiếp theo $$VP \ge 2f(\sqrt{abd^2})+ 2 f(\sqrt{bd^2c^3}) \ge 0.$$ Trường hợp 2: $ba^2 >1$ Ta có $$f(a)+f(d^4) \ge 2f(\sqrt{ad^4}) \ge 0,$$ và $$f(b^2)+f(c^3) \ge 2f(\sqrt{b^2c^3}) \ge 0.$$ Suy ra ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=1$. Hi vọng không có sai sót nghiêm trọng ! | |
The Following 2 Users Say Thank You to Galois_vn For This Useful Post: | huynhcongbang (21-02-2016), namdung (24-02-2016) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|