Áp dụng Dirichlet vào chứng minh BĐT

[ThanhTraT1K24]

1. Cho $a,b,c > 0$, $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$ (a^{2}-a+1)(b^{2}-b+1)(c^{2}-c+1) \ge 1. $$

2. Cho $a,b,c$ thỏa mãn: $$\dfrac{1}{a^2+8} + \dfrac{1}{b^2+8} + \dfrac{1}{c^2+8} = \dfrac{1}{3}. $$
Tìm GTLN của $S=a+b+c$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BuiT1k24]

Bài 1
Giả sử $(a-1),(b-1)$ cùng dấu
Ta có
$(a^{2}-a+1)(b^{2}-b+1)$
$=a^{2}b^{2}-a^{2}b-ab^{2}-a-b+a^{2}+b^{2}+ab+1$
$=ab(ab-a-b+1)+-(a+b)+b^{2}+a^{2}+1$
$\geqslant ab(a-1)(b-1)+\frac{1}{2}(a+b)^{2}-(a+b)+1$
$\geqslant 0+\frac{1}{2}(3-c)^{2}-(3-c)+1=\frac{1}{2}(c^{2}-4c+5)$
Suy ra
$A\geqslant \frac{1}{2}(c^{2}-4c+5)(c^{2}-c+1)=\frac{1}{2}\left [(c^{2}-3c+3)(c-1)^{2}+2 \right ]\geqslant \frac{1}{2}.2=1$
Do
$(c^{2}-3c+3)>0 , (c-1)^{2}\geqslant 0$
ta có đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Short_list]

Nguyên văn bởi ThanhTraT1K24

2. Cho $a,b,c$ thỏa mãn: $$\dfrac{1}{a^2+8} + \dfrac{1}{b^2+8} + \dfrac{1}{c^2+8} = \dfrac{1}{3}. $$
Tìm GTLN của $S=a+b+c$.

Bài này áp dụng bổ đề sau:
\[(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 3(a+b+c)^2.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]