|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
07-10-2012, 09:02 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2012 Đến từ: 26 Bài gởi: 136 Thanks: 47 Thanked 125 Times in 81 Posts | Bất đẳng thức Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc=1$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}+\dfrac{1}{ (1+c)^2}+\dfrac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)} \ge 1$$ Bài này ở trang 12 trong THTT tháng 8 , mình có lời giải bằng cách đổi biến, nhưng giải theo phương pháp của tác giả thì chưa nghĩ ra __________________ It's all coming back to me now |
07-10-2012, 09:18 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: THPT Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 369 Thanks: 188 Thanked 255 Times in 158 Posts | Ta có $(1+a)(1+b)(1+c)=(abc+a)(abc+b)(abc+c)=abc(ab+1)(bc +1)(ca+1) $ Đến đây sử dụng bài toán trên và AM-GM là ok __________________ |
08-10-2012, 11:51 AM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2012 Đến từ: 26 Bài gởi: 136 Thanks: 47 Thanked 125 Times in 81 Posts | Cảm ơn sự giúp đỡ của bạn Trong thời gian tiết chào cờ mình đã tìm ra lời giải như sau: Ta có bổ đề 2 gần giống bổ đề trên: $$\dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2} \ge \dfrac{1}{1+xy} , \forall x, y>0$$ Bổ đề trên tương đương với $$xy(x-y)^2+(xy-1)^2 \ge 0$$ Áp dụng vào bài toán: Trong 3 số a$, b, c$ luôn tồn tại 2 số (giả sử là a,b) thỏa $(a-1)(b-1) \ge 0$ $\Rightarrow a+b \le ab+1 \Leftrightarrow (a+1)(b+1) \le 2+2ab$ Ta có các đánh giá sau: $$\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2} \ge \dfrac{1}{1+ab}=\dfrac{c}{c+1}$$ $$\dfrac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)} \ge \dfrac{1}{(1+ab)(1+c)}=\dfrac{c}{(c+1)^2}$$ $$\Rightarrow L.H.S \ge \dfrac{c}{c+1}+\dfrac{1}{(c+1)^2}+\dfrac{c}{(c+1)^ 2}=1$$ __________________ It's all coming back to me now |
The Following User Says Thank You to tir For This Useful Post: | ntuan5 (21-10-2012) |
08-10-2012, 10:14 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: T2k22 Hà Tĩnh Bài gởi: 80 Thanks: 182 Thanked 26 Times in 18 Posts | Thêm 2 cách tham khảo được nè! Đặt $a=\frac{yz}{x^2}, b=\frac{zx}{y^2}, c=\frac{xy}{z^2} $ Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh $\sum{\dfrac{x^4}{(x^2+yz)^2}}+\dfrac{2x^2y^2z^2}{( x^2+yz)(y^2+zx)(z^2+xy)}\ge 1 $ Lại có $\sum{\dfrac{x^4}{(x^2+yz)^2}}\ge \sum{\dfrac{x^4}{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}}=\sum{\dfrac{ x^4(y^2+z^2)}{(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)}}=1-\dfrac{2x^2y^2z^2}{(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2) } $ (BĐT C-S) Do đó chỉ cần chứng minh $(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)\ge (x^2+yz)(y^2+zx)(z^2+xy) $ BĐT đúng theo C-S __________________ NX Hiếu https://www.facebook.com/xuanhieu.nguyen.2021997 |
08-10-2012, 10:20 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: THPT Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 369 Thanks: 188 Thanked 255 Times in 158 Posts | Còn 1 cách đặt ẩn phụ nữa Đặt $\frac{1}{1+a}=\frac{1+x}{2}...... $ Suy ra $a=\dfrac{1-x}{1+x},b=....,c=...... $ Do đó ta chỉ cần chứng minh $(1+x)^2+(1+y)^2+(1+z)^2+(1+x)(1+y)(1+z) \ge 4 $ với $x+y+z+xyz=0 $ $\iff x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+xy+yz+zx\ge 0 $ $\iff x^2+y^2+z^2+4(x+y+z)+(x+y+z)^2\ge 0 $ $\iff x^2+y^2+z^2+x^2y^2z^2\ge 4xyz $ đúng theo BĐT AM-GM __________________ |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|