Bất đẳng thức

[tir]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}+\dfrac{1}{ (1+c)^2}+\dfrac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)} \ge 1$$

Bài này ở trang 12 trong THTT tháng 8

ko phải đề ra kì này đâu

, mình có lời giải bằng cách đổi biến, nhưng giải theo phương pháp của tác giả

Sử dụng BĐT $$\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2} \ge \dfrac{2}{1+ab},\ ab \ge 1$$

thì chưa nghĩ ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hieu1411997]

Ta có $(1+a)(1+b)(1+c)=(abc+a)(abc+b)(abc+c)=abc(ab+1)(bc +1)(ca+1) $
Đến đây sử dụng bài toán trên và AM-GM là ok
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tir]

Cảm ơn sự giúp đỡ của bạn
Trong thời gian tiết chào cờ mình đã tìm ra lời giải như sau:
Ta có bổ đề 2 gần giống bổ đề trên:
$$\dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2} \ge \dfrac{1}{1+xy} , \forall x, y>0$$

Bổ đề trên tương đương với $$xy(x-y)^2+(xy-1)^2 \ge 0$$

Áp dụng vào bài toán:
Trong 3 số a$, b, c$ luôn tồn tại 2 số (giả sử là a,b) thỏa $(a-1)(b-1) \ge 0$
$\Rightarrow a+b \le ab+1 \Leftrightarrow (a+1)(b+1) \le 2+2ab$
Ta có các đánh giá sau:
$$\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2} \ge \dfrac{1}{1+ab}=\dfrac{c}{c+1}$$
$$\dfrac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)} \ge \dfrac{1}{(1+ab)(1+c)}=\dfrac{c}{(c+1)^2}$$
$$\Rightarrow L.H.S \ge \dfrac{c}{c+1}+\dfrac{1}{(c+1)^2}+\dfrac{c}{(c+1)^ 2}=1$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lovetohop]

Thêm 2 cách tham khảo được nè!
Đặt $a=\frac{yz}{x^2}, b=\frac{zx}{y^2}, c=\frac{xy}{z^2} $
Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh
$\sum{\dfrac{x^4}{(x^2+yz)^2}}+\dfrac{2x^2y^2z^2}{( x^2+yz)(y^2+zx)(z^2+xy)}\ge 1 $
Lại có $\sum{\dfrac{x^4}{(x^2+yz)^2}}\ge \sum{\dfrac{x^4}{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}}=\sum{\dfrac{ x^4(y^2+z^2)}{(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)}}=1-\dfrac{2x^2y^2z^2}{(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2) } $ (BĐT C-S)
Do đó chỉ cần chứng minh
$(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)\ge (x^2+yz)(y^2+zx)(z^2+xy) $
BĐT đúng theo C-S
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hieu1411997]

Còn 1 cách đặt ẩn phụ nữa
Đặt $\frac{1}{1+a}=\frac{1+x}{2}...... $
Suy ra $a=\dfrac{1-x}{1+x},b=....,c=...... $
Do đó ta chỉ cần chứng minh $(1+x)^2+(1+y)^2+(1+z)^2+(1+x)(1+y)(1+z) \ge 4 $ với $x+y+z+xyz=0 $
$\iff x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+xy+yz+zx\ge 0 $
$\iff x^2+y^2+z^2+4(x+y+z)+(x+y+z)^2\ge 0 $
$\iff x^2+y^2+z^2+x^2y^2z^2\ge 4xyz $ đúng theo BĐT AM-GM
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]