Hệ phương trình

[lovetohop]

Giải hệ
$\begin{cases}xy^3-x^4=7\\ x^3+2x^2y+xy^2-9=0 \end{cases} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Nguyên văn bởi lovetohop

Giải hệ
$\begin{cases}xy^3-x^4=7\ (1)\\ x^3+2x^2y+xy^2-9=0 \ (2)\end{cases} $

Hệ gồm 2 phương trình thuần nhất bậc 3 và 4 quả là rất thú vị. Nhưng sao không có lời giải đẹp thế này
Cách tự nhiên nhất là dùng phép thế:
$$(2) \Leftrightarrow x(x+y)^2=9 \Leftrightarrow y=\dfrac{3}{\sqrt{x}}-x$$
Thay vào (1): $$x [ (\dfrac{3}{\sqrt{x}-x})^3-x^3]=7$$
Đặt $t=\sqrt{x}$ ta có $$t^2[(\dfrac{3}{t^2}-t^2)^3-t^6]=7\ (*)$$
Khai triển sẽ được phương trình bậc 12. PT này vẫn có cách giải, bạn của TrauBo phân tích theo $t-1$ và $t^2+t+1$ ra được
Nhưng ở đây ta để ý rằng $t$ tăng thì $\dfrac{3}{t^2}$ giảm, $-t^2$ giảm và $-t^6$ cũng giảm. Vậy có vẻ vế trái giảm nhiều hơn tăng ...
Do đó ta thử tìm cách xét đạo hàm:
$$(*) \Leftrightarrow t^3 [ (\dfrac{3}{t^2}-t^2)^3-t^6]=7t \Leftrightarrow t^9-(3-t^3)^3+7t=0\ (**)$$
Đặt $VT(**)=f(t)$ có $f'(t)=9t^8+9t^2(3-t^3)^2+7>0$
Lại có $f(1)=0$ do đó (**) có nghiệm duy nhất $t=1$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[paul17]

Bài này của THTT tuổi trẻ tháng 9 này, trong mục sử dụng đạo hàm để giải toán
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguoi_vn1]

Cái lày áp dụng:pt f'(x)=0 có nhiều nhất n nghiệm trên I thì pt f(x)=0 có nhiều nhất n+1 nghiệm trên I,cách giải của mấy bạn ở trên là trong trường hợp f'(x)=0 vô nghiệm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]