Không gian định chuẩn

[tnkh]

Cho $f_1,f_2,...f_n $ là các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên $X $. Chứng minh 3 điều sau là tương đương
a) $\bigcap_{i=1}^{n}Kerf_i\subset Kerf $
b) $f=\alpha _1f_1+\alpha _2f_2+...+\alpha _nf_n $
c) Tồn tại $c< \infty $ sao cho $\left | f(x ) \right |\leq c.max_{1\leq i\leq n}\left | f_i(x) \right |,\forall x\in X $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi tnkh

Cho $f_1,f_2,...f_n $ là các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên $X $. Chứng minh 3 điều sau là tương đương
a) $\bigcap_{i=1}^{n}Kerf_i\subset Kerf $
b) $f=\alpha _1f_1+\alpha _2f_2+...+\alpha _nf_n $
c) Tồn tại $c< \infty $ sao cho $\left | f(x ) \right |\leq c.max_{1\leq i\leq n}\left | f_i(x) \right |,\forall x\in X $

Bổ đề: Cho f là phiếm hàm tuyến tính trên không gian vector X, cho $x_0\in X $ sao cho $f(x_0)=1 $, đặt L là không gian vector sinh bởi $x_0 $, khi đó $X=L\oplus Kerf $.
Thật vậy, do $L\cap Kerf=0 $ và với mọi x, ta có $x=f(x)x_0+x-f(x)x_0\in L+Kerf $.
Dễ thấy rằng b suy ra c, c suy ra a. Ta chứng minh a suy ra b.
Ta chứng minh qui nạp theo n. Với n=1, ta có $Kerf_1\subset Kerf $
+Nếu $f_1\equiv 0 $ thì $f\equiv 0 $
+Nếu $f_1\not=0 $ thì có $x_0 $ sao cho $f_1(x_0)=1 $ và $X=L\oplus Kerf_1 $ như trên. Với $x\in X $ ta có $x=f_1(x)x_0+x-f_1(x)x_0 $, với $x-f_1(x)x_0\in Kerf_1\subset Kerf $, do đó $f(x)=f(x_0)f(x_1) $.
Giả sử kết quả đúng cho n, ta chứng minh nó đúng cho n+1.
+ Nếu $\cap_{i=1}^nKerf_i\subset Kerf_{n+1} $ thì $\cap_{i=1}^nKerf_i=\cap_{i=1}^{n+1}Kerf_i\subset Kerf $ Áp dụng giả thiết qui nạp ta có f là tổ hợp tuyến tính của $f_i, i=1,..,n $.
+ Nếu $\cap_{i=1}^nKerf_i\backslash Kerf_{n+1}\not=\emptyset $ thì tồn tại $x_0\in \cap_{i=1}^nKerf_i\backslash Kerf_{n+1} $, có thể giả sử $f_{n+1}(x_0)=1 $, đặt L là không gian sinh bởi $x_0 $. Khi đó ta có $X=L\oplus Y $ với $Y=Kerf_{n+1} $.
Đặt $g_i=f_i|_{Y}, i=1,...,n; g=f|_Y $ thì ta có $\cap_{i=1}^nKerg_i\subset Kerg $, theo giả thiết qui nạp ta có $g=\sum_{i=1}^n\alpha_i g_i $ trên Y. Ta chứng minh $f=\sum_{i=1}^n\alpha_i f_i+f(x_0)f_{n+1} $. Thật vậy,
với $x\in X $, ta có $x=ax_0+y $, với $y\in Y $. Do đó
$f(x)=af(x_0)+f(y)=af(x_0)+g(y)=af(x_0)+\sum_{i=1}^ n\alpha_ig_i(y)=af(x_0)+\sum_{i=1}^n\alpha_i f_i(y) $
Mặt khác:
$\sum_{i=1}^n\alpha_i f_i(x)+f(x_0)f_{n+1}(x)=a\sum_{i=1}^n\alpha_i f_i(x_0)+af(x_0)f_{n+1}(x_0)+\sum_{i=1}^n\alpha_i f_i(y)+f(x_0)f_{n+1}(y)=af(x_0)+\sum_{i=1}^n\alpha _i f_i(y) $
(do $x_0\in \cap_{i=1}^n Kerf_i $ và $f_{n+1}(x_0)=1 $)
Từ đó ta có dpcm.

ps: Chứng minh này có vẻ hơi phức tạp, bạn có thể tìm trong các sách về không gian vector topo, chắc sẽ có chứng minh đơn giản hơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]