Bài giải tích hàm - cần giúp

[Pato]

Cho X là kg các hàm liên tục trên [0,1], metric d : $\large d(f,g)= \left\int^1_0\frac{|f(t)-g(t)|}{1+|f(t)-g(t)|}dt\right. $ với $f,g \in X $ và họ nửa chuẩn $\large p_x(f) = |f(x)| $ với $x\in [0,1] $
Ký hiệu $\tau_1 $ là topo metric trên X, $\tau_2 $ là topo sinh bởi họ nửa chuẩn. C/m $id : (X,\tau_1)\to (X,\tau_2) $ không liên tục
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi Pato

Cho X là kg các hàm liên tục trên [0,1], metric d : $\large d(f,g)= \left\int^1_0\frac{|f(t)-g(t)|}{1+|f(t)-g(t)|}dt\right. $ với $f,g \in X $ và họ nửa chuẩn $\large p_x(f) = |f(x)| $ với $x\in [0,1] $
Ký hiệu $\tau_1 $ là topo metric trên X, $\tau_2 $ là topo sinh bởi họ nửa chuẩn. C/m $id : (X,\tau_1)\to (X,\tau_2) $ không liên tục

với mọi $k, n\geq 0 $ là các số tự nhiên. ta xây dựng hàm liên tục $0\leq f_{k,n}\leq 1 $ sao cho $f_{k,n}=1 $ trên đoạn $[k2^{-n},(k+1)2^{-n}] $ bằng 0 bên ngoài $[(k-1)2^{-n},(k+2)2^{-n}] $( với $0\leq k\leq 2^n-1 $.
Khi đó dãy $(f_{k,n}) $ sẽ hội tụ đến 0 theo tô pô $\tau_1 $ vì
$\int_{0}^1f_{k,n}dx\leq \frac{3}{ 2^n} $
Trong khi đó với mọi x, tồn tại vô số $k,n $ sao cho $x\in[k2^{-n},(k+1)2^{-n}] $ khi đó $f_{k,n}(x)=1 $ không tiến đến 0.
Do đó dãy $f_{k,n} $ không hội tụ về 0 theo tô pô $\tau_2 $.
Từ đó suy ra dpcm.
-------------------------------------------------------------------------
Chú ý rằng: trên không gian các hàm đo được thì sự hội tụ theo tô pô $\tau_1 $ tương đương với sự hội tụ theo độ đo ( với độ đo hữu hạn).
Còn sự hội tụ theo tô pô $\tau_2 $ ở đây là sự hội tụ điểm.
Do vậy ví dụ trên bắt nguồn từ một ví dụ để chỉ ra rằng sự hội tụ theo độ đo không suy ra sự hội tụ hầu khắp nơi ( trên không gian có độ đo hữu hạn).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Pato]

Còn 1 câu nữa : c/m mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên $(X,\tau_1) $ có dạng $f\to \sum_{i=1}^nc_if(x_i) $ với $c_i $ là hằng số nào đó, $x_i\in[0,1] $nào đó
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi Pato

Còn 1 câu nữa : c/m mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên $(X,\tau_1) $ có dạng $f\to \sum_{i=1}^nc_if(x_i) $ với $c_i $ là hằng số nào đó, $x_i\in[0,1] $nào đó

Mình nghĩ ở đây phải là tô pô $\tau_2 $. Cách giải có thể như sau: Đặt F là tập hợp các phiếm hàm có dạng trên, thì nó là một không gian con của $X^{*} $. Ta xét $X^* $ với tô pô yếu $\sigma(X^*,X) $ thì $(X^*,\sigma(X^*,X))^*=X $. Nếu F là con thực sự của$X^* $ thì áp dung định lý Hahn-Banach, tồn tại $0\not= f\in X $ sao cho $f|_F=0 $. Từ $f|_F=0 $ ta có
$\sum\limits_{i=1}^nc_if(x_i)=0 $
Với mọi $n\in \N $, $c_i $ là các hằng số, $x_i\in [0,1] $, $i=1,..,n $.
Từ điều này suy ra $f=0 $ (vô lý vì $f\not= 0 $.
Từ đó suy ra dpcm.
ps: không biết chứng minh có đúng không nữa . lâu rồi không đọc lại không gian vector tô pô.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Pato]

Đúng là mình nhầm thật, cám ơn bạn nhé. Để mình kiểm tra xem đã, vì mình cũng không thạo lắm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]