|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
10-01-2013, 08:48 PM | #1 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | [VMO 2013] Bài 1 - Hệ phương trình thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 11-01-2013 lúc 06:22 PM |
The Following 22 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post: | antoank21 (11-01-2013), chemmath (11-01-2013), duccleverboy (12-01-2013), hanamichi1302 (12-01-2013), hieu1411997 (11-01-2013), hongduc_cqt (11-01-2013), hongson_vip (11-01-2013), hungvnms (13-01-2013), kimlinh (11-01-2013), Lan Phuog (11-01-2013), lexuanthang (11-01-2013), mrcool (10-01-2013), nguyentatthu (12-01-2013), nliem1995 (11-01-2013), nqt (11-01-2013), thaygiaocht (11-01-2013), TNP (11-01-2013), transonlvt (11-01-2013), Trànvănđức (11-01-2013), triethuynhmath (10-01-2013), trungthu10t (11-01-2013), tsunajudaime (10-01-2013) |
11-01-2013, 11:31 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2012 Đến từ: CLA Bài gởi: 538 Thanks: 183 Thanked 136 Times in 63 Posts | Giải hệ phương trình sau: $$\left\{ \begin{align} & \sqrt{{{\sin }^{2}}x+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}y+\frac{1}{{{\cos }^{2}}y}}=\sqrt{\frac{20y}{x+y}} \\ & \sqrt{{{\sin }^{2}}y+\frac{1}{{{\sin }^{2}}y}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}}=\sqrt{\frac{20x}{x+y}} \\ \end{align} \right.$$ __________________ Sẽ không quên nỗi đau này..! thay đổi nội dung bởi: High high, 11-01-2013 lúc 04:15 PM Lý do: Tự động gộp bài |
The Following 13 Users Say Thank You to High high For This Useful Post: | chemmath (11-01-2013), hgly1996 (11-01-2013), kimlinh (11-01-2013), minhcanh2095 (11-01-2013), mrcool (11-01-2013), n.v.thanh (11-01-2013), nliem1995 (11-01-2013), nqt (11-01-2013), paul17 (11-01-2013), phinguyen96 (11-01-2013), TNP (11-01-2013), triethuynhmath (11-01-2013), trungthu10t (11-01-2013) |
11-01-2013, 12:25 PM | #3 |
Administrator | Bài này chỉ cần chứng minh $(VT_1)^2 + (VT_2)^2 \ge 20$ (*) là xong. Trước hết, ta cần phải đặt điều kiện xác định đầy đủ cho PT. Chú ý rằng $\frac{1}{\sin ^2 x} + \frac{1}{\cos ^2 x} \ge 4$ với mọi $x \neq 0$. Khi đó, $(VT_1)^2+(VT_2)^2 \ge 10 + 2 \sqrt{(\sin ^2 x+ \sin ^{-2} x) (\cos^2 y+ \cos ^{-2} y)} + 2 \sqrt{(\sin ^2 y+ \sin ^{-2} y) (\cos ^2 x+ \cos^{-2} x)}$ Ta chứng minh được rằng $\sqrt{(\sin ^2 x+ \sin ^{-2} x) (\cos^2 y+ \cos ^{-2} y)} + \sqrt{(\sin ^2 y+ \sin ^{-2} y) (\cos ^2 x+ \cos^{-2} x)} \ge 5$ với mọi $x \neq 0$ bằng cách dùng bất đẳng thức AM-GM trực tiếp và chú ý rằng $(\sin ^2 x+ \sin ^{-2} x)(\cos ^2 x+ \cos^{-2} x) \ge \frac{25}{4}$.Chứng minh như sau: Ta có $(\sin ^2 x+ \sin ^{-2} x)(\cos ^2 x+ \cos^{-2} x) = \sin ^2 x \cos ^2 x + \tan^2 x + \cot ^2 x +\frac{1}{\sin ^2 x \cos ^2 x}$ $\ge 2 + \frac{\sin ^2 2x}{4} + \frac{1}{4 \sin ^2 2x} + \frac{15}{4 \sin ^2 2x} \ge 2+\frac{2}{4}+\frac{15}{4} = \frac{25}{4}$. Từ đó suy ra (*) đúng. Tuy nhiên, theo đề bài thì đẳng thức phải xảy ra nên gắn điều kiện vào, ta phải có $\tan x = \tan y= \pm 1$ và $x=y$. __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 11-01-2013 lúc 03:34 PM |
The Following 8 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | Gin Mellkior (11-01-2013), Ho Huyen (30-04-2014), hphnna (11-01-2013), n.v.thanh (11-01-2013), tqdungt1k20 (11-01-2013), triethuynhmath (11-01-2013), tsunajudaime (11-01-2013), whatever2507 (11-01-2013) |
11-01-2013, 12:28 PM | #4 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG TPHCM Bài gởi: 42 Thanks: 77 Thanked 34 Times in 23 Posts | Trích:
Xét $x \geq 0$ thì $y \geq 0$ Cộng 2 vế của hệ lại ta được: $VT=\sqrt{\frac{20x}{x+y}}+\sqrt{\frac{20y}{x+y}} \leq \frac{\sqrt{20}\sqrt{2(x+y)}}{\sqrt{x+y}}=\sqrt{40 }$ Áp dụng Mincopski ta có:$\sqrt{sin^2x+ \frac{1}{sin^2x}}+\sqrt{cos^2x+\frac{1}{cos^2x}} \geq \sqrt{(sinx+cosx)^2+(\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx} )^2}\geq \sqrt{(sinx+cosx)^2+\frac{4}{(sinx+cosx)^2}+\frac{ 12}{(sinx+cosx)^2}}\geq \sqrt{2\sqrt{4}+\frac{12}{2(sin^2x+cos^2x)}}=\sqrt {10}$ Chứng minh tương tự:$\sqrt{sin^2y+\frac{1}{sin^2y}}+\sqrt{\frac{1 }{cos^2y}+cos^2y} \geq 2\sqrt{2}$.Vậy $VT \geq 2\sqrt{10}=\sqrt{40}$ Vậy dấu "=" phải xảy ra hay....Ý tưởng là đây,còn lai quá dễ. Xét $x <0$ thì $y<0$. Vậy xử lí đoạn $VT=\sqrt{\frac{20x}{x+y}}+\sqrt{\frac{20y}{x+y}}\ leq \frac{\sqrt{20}\sqrt{2(x+y)}}{\sqrt{x+y}}=\sqrt{40 }$ cũng tương tự "=" cách đổi lại thành $-x,-y$.Nó chỉ khác nhau ở chỗ này. thay đổi nội dung bởi: triethuynhmath, 11-01-2013 lúc 05:06 PM | |
The Following User Says Thank You to triethuynhmath For This Useful Post: | n.v.thanh (11-01-2013) |
11-01-2013, 01:03 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2011 Bài gởi: 11 Thanks: 4 Thanked 6 Times in 6 Posts | Cộng theo vế ta có $\left( \sqrt { { sin }^{ 2 }x+\frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }x } } +\sqrt { { cos }^{ 2 }x+\frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }x } } \right) +\left( \sqrt { { sin }^{ 2 }y+\frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }y } } +\sqrt { { cos }^{ 2 }y+\frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }y } } \right) =\sqrt { \frac { 20x }{ x+y } } +\sqrt { \frac { 20y }{ x+y } } $ áp dụng min-copxki: $\sqrt { { sin }^{ 2 }x+\frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }x } } +\sqrt { { cos }^{ 2 }x+\frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }x } } \ge \sqrt { { (\left| sinx \right| +\left| cosx \right| ) }^{ 2 }+{ \left( \left| \frac { 1 }{ sinx } \right| +\left| \frac { 1 }{ cosx } \right| \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 1+\left| sin2x \right| +\frac { 4(1+\left| sin2x \right| ) }{ { (sin2x) }^{ 2 } } } \ge $ $\sqrt { 1+\left| sin2x \right| +\frac { 4(1+\left| sin2x \right| ) }{ \left| sin2x \right| } } =\sqrt { 5+(\left| sin2x \right| +\left| \frac { 1 }{ sin2x } \right| )+\left| \frac { 3 }{ sin2x } \right| } \ge \sqrt { 5+2+3 } =\sqrt { 10 } $ Tương tự $\sqrt { { sin }^{ 2 }y+\frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }y } } +\sqrt { { cos }^{ 2 }y+\frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }y } } \ge \sqrt { 10 } $ -> $VT\ge 2\sqrt { 10 } $ Mặt khác ap dụng bunhia cho VP ta có $VP\le 2\sqrt { 10 } $ (coi ${ sin }^{ 2 }x={ \left| sinx \right| }^{ 2 } $ ... ) thay đổi nội dung bởi: phinguyen96, 11-01-2013 lúc 01:26 PM |
The Following User Says Thank You to phinguyen96 For This Useful Post: | nhatnippro (11-01-2013) |
11-01-2013, 01:14 PM | #6 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2011 Đến từ: thpt chuyen ht Bài gởi: 26 Thanks: 30 Thanked 18 Times in 10 Posts | Trích:
| |
The Following User Says Thank You to tqdungt1k20 For This Useful Post: | hphnna (11-01-2013) |
11-01-2013, 01:23 PM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2011 Bài gởi: 11 Thanks: 4 Thanked 6 Times in 6 Posts | |
11-01-2013, 01:26 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2012 Bài gởi: 15 Thanks: 28 Thanked 3 Times in 2 Posts | Cho mình hỏi nhận cả nghiệm x,y âm lẩn dương đúng không các bạn |
11-01-2013, 01:36 PM | #9 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2012 Bài gởi: 24 Thanks: 12 Thanked 9 Times in 3 Posts | Trích:
| |
The Following User Says Thank You to thedragonray For This Useful Post: | Trànvănđức (11-01-2013) |
11-01-2013, 02:02 PM | #10 |
Administrator | Đúng là bạn High high có nhầm ở BĐT phía sau câu "Áp dụng, ta có..." nên lời giải chưa đúng. Nghiệm của bài này là $x=y=\frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2}$ với $k \in \mathbb{Z}$. __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 11-01-2013 lúc 02:22 PM |
11-01-2013, 02:15 PM | #11 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2011 Bài gởi: 77 Thanks: 14 Thanked 15 Times in 13 Posts | Anh có thể chỉ rõ ra không? __________________ N.H.P |
11-01-2013, 02:23 PM | #12 |
Administrator | Chính xác là chu kì $\frac{\pi}{2}$, mình đã sửa ở trên. __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
11-01-2013, 02:24 PM | #13 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2012 Đến từ: Cái nôi của phở Bài gởi: 259 Thanks: 78 Thanked 697 Times in 193 Posts | Trích:
Một lời giải đầy đủ cho bài toán này. Điều kiện $ \sin 2x\sin 2y \neq 0,\ \dfrac{x}{x+y}>0,\ \dfrac{y}{x+y}>0.$ Nhân theo vế hai phương trình ta thu được $$ \left(\sqrt{\sin^2x+\dfrac{1}{\sin^2x}}+\sqrt{\cos ^2y+\dfrac{1}{\cos^2y}}\right)\left(\sqrt{\sin^2y+ \dfrac{1}{\sin^2y}}+\sqrt{\cos^2x+\dfrac{1}{\cos^2 x}}\right)=20\sqrt{\dfrac{xy}{(x+y)^2}} \quad (1) $$ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có $$ \begin{aligned} \left(\sin^2x + \dfrac{1}{\sin^2x}\right)\left(\cos^2x + \dfrac{1}{\cos^2x}\right) \ & \geq \left(|\sin x\cos x|+\dfrac{1}{|\sin x\cos x|}\right)^2 \\ & =\left(\dfrac{|\sin 2x|}{2}+\dfrac{1}{2|\sin 2x|}+\dfrac{3}{2|\sin 2x|}\right)^2 \\ & \geq \left( 1+\dfrac{3}{2}\right)^2=\left(\dfrac{5}{2}\right)^ 2.\end{aligned}$$ Hoàn toàn tương tự $$ \left(\sin^2y + \dfrac{1}{\sin^2y}\right)\left(\cos^2y + \dfrac{1}{\cos^2y}\right) \geq \left(\dfrac{5}{2}\right)^2.$$ Do đó theo bất đẳng thức AM-GM $$ \begin{aligned} VT(1) \ & \geq 4\sqrt[4]{\left(\sin^2x + \dfrac{1}{\sin^2x}\right)\left(\cos^2x + \dfrac{1}{\cos^2x}\right)\left(\sin^2y + \dfrac{1}{\sin^2y}\right)\left(\cos^2y + \dfrac{1}{\cos^2y}\right)} \\ & \geq 4 \sqrt[4]{\left(\dfrac{5}{2}\right)^4}=10 \geq 20\sqrt{\dfrac{xy}{(x+y)^2}}= VP(1). \end{aligned}$$ Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow |\sin 2x|=1 , x=y \Leftrightarrow x=y=\pm \dfrac{\pi}{4}+k\pi,\ (k \in \mathbf{Z}) .$ Đó là nghiệm của hệ phương trình. __________________ The love make us weaker Autumn | |
The Following 4 Users Say Thank You to quykhtn For This Useful Post: | hieu1411997 (11-01-2013), Hmh1996 (11-01-2013), huynhcongbang (11-01-2013), minhcanh2095 (11-01-2013) |
11-01-2013, 02:26 PM | #14 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2011 Bài gởi: 77 Thanks: 14 Thanked 15 Times in 13 Posts | Ý của e là bài của bạn High High ấy __________________ N.H.P |
11-01-2013, 02:28 PM | #15 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2012 Bài gởi: 15 Thanks: 28 Thanked 3 Times in 2 Posts | |
Bookmarks |
|
|