Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hà Tĩnh (vòng 2)

[transonlvt]

Câu 1 a) Giải hệ phương trình:
$x^2+6x=6y $
$y^2+9=2xy $

b) Giải phương trình:
$\sqrt[3]{x+6} + \sqrt{x-1}=x^2-1 $

Câu 2
a) Cho các số $a,b,c,x,y $ thỏa mãn:
$x+y+z=1 , \frac{a}{x^3}=\frac{b}{y^3}=\frac{c}{z^3} $

Chứng minh: $\sqrt[3]{\frac{a}{x^2}+\frac{b}{y^2}+\frac{c}{z^2}}= \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} $

b) Tìm số nguyên m để phương trình $x^2+m(1-m)x-3m-1=0 $ có nghiệm nguyên

Câu 3
Tam giác ABC có góc B,C nhọn, A nhỏ hơn $45^0 $ nội tiếp đường tròn (O),H là trực tâm. M là 1 điểm trên cung nhỏ BC(M ko trùng B,C). Gọi N,P lần lượt là điểm đối xứng với M qua AB,AC.
a) Chứng minh rằng; AHCP nội tiếp, 3 điểm N,H,P thẳng hàng.
b) tìm vị trí của M để diện tích ANP lớn nhất

Câu 4 Cho các số dương $a,b,c $ thỏa mãn điều kiện: $abc=8 $

Chứng minh: $\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{2+a}{2+b}+\frac{2+b}{2+c}+ \frac{2+c}{2+a} $

Câu 5 Cho 2012 số thực $a_1,a_2,...,a_{2012} $ có tính chất tổng của 1008 số bất kì lớn hơn tổng của 1004 số còn lại. Chứng minh rằng trong 2012 số thực đã cho có ít nhất 2009 số thực dương
Đề năm nay khá khó!!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Bài 2a có thể dùng Holder hoặc CS như sau:
$\left(\dfrac{a}{x^2}+\dfrac{b}{y^2}+\dfrac{c}{z^2 }\right)(x+y+z)(x+y+z)(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})$ $\ge \left(\sum \sqrt{\dfrac{a}{x}}\right)^2.\left(\sum \sqrt{\sqrt[3]{a}x}\right)^2$ $\ge \left(\sum \sqrt[3]{a}\right)^4$
Từ đó suy ra $\sum \dfrac{a}{x^2} \ge \left(\sum \sqrt[3]{a}\right)^3$
Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{a}{x^3}=\dfrac{b}{y^3}=\dfrac{c}{z^3}$
Từ đây suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Bài tổ hợp khá dễ, mình làm như sau:
Giả sử có ít nhất 4 số thực không âm, do chỉ có hữu hạn các số nên không mất tính tổng quát ta giả sử:
$$a_{2012}\ge a_{2011}\ge ... \ge a_2 \ge a_1.$$
Do giả thiết là có ít nhất 4 số thực âm nên suy ra: $a_1, a_2, a_3, a_4 \le 0$
Từ đó theo điều kiện đề bài thì :
$$a_1+a_2+...+a_{1008}>a_{1009}+a_{1010}+...+a_{20 12}$$
Nhưng do $a_1, a_2, a_3, a_4 \le 0$ nên
$$a_{5}+a_{6}+...+a_{1008}\ge a_1+a_2+...+a_{1008}>a_{1009}+a_{1010}+...+a_{2012 }$$
Mặt khác do $a_{2012}\ge ... \ge a_1$ nên $$a_{1009}+a_{1010}+...+a_{2012} \ge a_{5}+a_{6}+...+a_{1008}$$
Từ đây ta có điều mâu thuẫn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[levietbao]

A) Giải hệ phương trình:
$x^2+6x=6y $
$y^2+9=2xy $
b) Giải phương trình:
$\sqrt[3]{x+6} + \sqrt{x-1}=x^2-1 $
Bài 1) Cộng 2 vế của hệ theo từng vế ta có $(x-y)^2+6(x-y)+9=0$

Đến đây thì dễ rồi

suy ra $x-y+3=0$ hay $y=x+3$ thế vào phương trình thứ 1 ta tìm được $x=\pm 3\sqrt{2}$ từ đây tìm được giá trị tương ứng $y=3\pm 3\sqrt{2}$
Vậy nghiệm của hệ là $\boxed{(x,y)=(3\sqrt{2},3+3\sqrt{2}),(-3\sqrt{2},3-3\sqrt{2})}$
Bài 2) dùng phương pháp nhân lượng liên hợp nhận thấy $x=2$ là nghiệm ta có (xin giải vắn tắt)
$\sqrt[3]{x+6} + \sqrt{x-1}=x^2-1 $
$ \Longleftrightarrow $ $(x-2)[\frac{1}{4+\sqrt[3]{(x+6)^{2}}+2\sqrt[3]{x+6}}+\frac{1}{1+\sqrt{x-1}}-x-2]=0$
đến đây đành giá để chứng minh phương trình trong ngoặc vô nghiệm và kết luận $x=2$ là nghiệm duy nhất
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vjpd3pz41iuai]

Câu 4:Đặt $a=2x,b=2y,c=2z $ và viết bđt lại dưới dạng
$\frac{1+x}{1+y}+\frac{1+y}{1+z}+\frac{1+z}{1+z}\le x+y+z $
Chuyển vế có $\frac{xy-1}{y+1}+\frac{yz-1}{z+1}+\frac{zx-1}{x+1}\geq 0 $
Suy ra $\frac{y(x+1)}{y+1}+\frac{z(y+1)}{z+1}+\frac{x(z+1) }{x+1}\geq 3 $

hiển nhiên đúng theo cauchy

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Câu 2b sai đề rồi, bạn nào làm nốt bài hình luôn đi, mình lười vẽ hình quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhorg]

Nguyên văn bởi thephuong

Câu 2b sai đề rồi, bạn nào làm nốt bài hình luôn đi, mình lười vẽ hình quá

Bài 2b các bạn xem giùm nhé :

Ta có Phương trình có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $\delta = k^2 $

hay $m^4 - 2.m^3 + m^2 +12m+4 = k^2 $

Với m nguyên thì ta có $\delta \ge 0 $ khi và chỉ khi $m \ge 0 ; m \in Z $ hoặc $m \le -2 ; m \in Z $
Ta có

*Với $m \in Z^+ $

+) m = 0;1;2;3;4 thử vào ta có m = 0;1;4 thỏa mãn

+)$m > 4 $
Ta có $ (m^2-m+2)^2 > m^4 - 2.m^3 + m^2 +12m+4 = k^2 > (m^2 - m )^2 $
do đó $k = m^2 - m + 1 $ tiếp đó thay vào ta thấy ko tồn tại $m \in Z $

*Với $m \le -2 $

+) m = -2 ; -3;-4 thử vào ta có m = -2 thỏa mãn

+) m < -4
ta có $ (m^2-m+2)^2 > m^4 - 2.m^3 + m^2 +12m+4 = k^2 > (m^2 - m - 1 )^2 $
Tương tự trường hơp trên ta cũng tìm được ko tồn tại $ m \in Z $
KL: $ m \in {-2;0;1;4} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Aries34]

Transonlvt viết thiếu đề rồi
đề câu 2 b là Tìm số nguyên m để phương trình $x^{2} + m(1-m)x - 3m - 1=0 $ có nghiệm dương.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhorg]

Nguyên văn bởi Aries34

Transonlvt viết thiếu đề rồi
đề câu 2 b là Tìm số nguyên m để phương trình $x^{2} + m(1-m)x - 3m - 1=0 $ có nghiệm dương.

uk nhỉ.Mình cầm tờ đề làm nên ko để ý.
Mà đề chính thức phải là Tìm số nguyên m để phương trình $x^{2} + m(1-m)x - 3m - 1=0 $ có nghiệm nguyên. chứ bạn Aries34
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[antoank21]

Nguyên văn bởi transonlvt

Câu 1 a) Giải hệ phương trình:
$x^2+6x=6y $
$y^2+9=2xy $

b) Giải phương trình:
$\sqrt[3]{x+6} + \sqrt{x-1}=x^2-1 $

Câu 2
a) Cho các số $a,b,c,x,y $ thỏa mãn:
$x+y+z=1 , \frac{a}{x^3}=\frac{b}{y^3}=\frac{c}{z^3} $

Chứng minh: $\sqrt[3]{\frac{a}{x^2}+\frac{b}{y^2}+\frac{c}{z^2}}= \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} $

b) Tìm số nguyên m để phương trình $x^2+m(1-m)x-3m-1=0 $

Câu 3
Tam giác ABC có góc B,C nhọn, A nhỏ hơn $45^0 $ nội tiếp đường tròn (O),H là trực tâm. M là 1 điểm trên cung nhỏ BC(M ko trùng B,C). Gọi N,P lần lượt là điểm đối xứng với M qua AB,AC.
a) Chứng minh rằng; AHCP nội tiếp, 3 điểm N,H,P thẳng hàng.
b) tìm vị trí của M để diện tích ANP lớn nhất

Câu 4 Cho các số dương $a,b,c $ thỏa mãn điều kiện: $abc=8 $

Chứng minh: $\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{2+a}{2+b}+\frac{2+b}{2+c}+ \frac{2+c}{2+a} $

Câu 5 Cho 2012 số thực $a_1,a_2,...,a_{2012} $ có tính chất tổng của 1008 số bất kì lớn hơn tổng của 1004 số còn lại. Chứng minh rằng trong 2012 số thực đã cho có ít nhất 2009 số thực dương
Đề năm nay khá khó!!!!

làm được không em transonlvt?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[transonlvt]

Câu 2 b Mình làm thế này sao vẫn thiếu 1 nghiệm nhỉ

$x^2+m(1-m)x-3m-1=0 \Leftrightarrow m^2x-m(x-3)+1-x^2=0 $ (1)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:
$m_1+m_2=\frac{x-3}{x}=1-\frac{3}{x} $

$m_1.m_2=\frac{1-x^2}{x}=\frac{1}{x}-x $

Vì $m $ nguyên và $x $ nguyên nên $x=1 $ hoặc $x=-1 $

Thế vào (1) tìm được $m=0;-2;4 $

$m=1 $ sao ko có nhỉ?????

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Nguyên văn bởi transonlvt

Câu 2 b Mình làm thế này sao vẫn thiếu 1 nghiệm nhỉ

$x^2+m(1-m)x-3m-1=0 \Leftrightarrow m^2x-m(x-3)+1-x^2=0 $(1)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:
$m_1+m_2=\frac{x-3}{x}=1-\frac{3}{x} $

$m_1.m_2=\frac{1-x^2}{x}=\frac{1}{x}-x $

Vì $m $ nguyên và $x $ nguyên nên $x=1 $ hoặc $x=-1 $

Thế vào (1) tìm được $m=0;-2;4 $

$m=1 $ sao ko có nhỉ?????

Nó có thể sảy ra các trường hợp $m_1$ hoặc $m_2$ là số hữu tỉ nữa do đó lý luận của em chưa chặt . Mình chỉ chắc chắn phương trình bậc 2 theo m đó có một nghiệm nguyên thôi, còn có thể có nghiệm hữu tỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[transonlvt]

Nguyên văn bởi thephuong

Nó có thể sảy ra các trường hợp $m_1$ hoặc $m_2$ là số hữu tỉ nữa do đó lý luận của em chưa chặt . Mình chỉ chắc chắn phương trình bậc 2 theo m đó có một nghiệm nguyên thôi, còn có thể có nghiệm hữu tỉ

Nhưng đề bài là m nguyên mà anh????
------------------------------
Hy vọng rằng làm thế họ vẫn cho điểm.
Burnjosstick:Burnjosstick:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Nguyên văn bởi transonlvt

Câu 2 b Mình làm thế này sao vẫn thiếu 1 nghiệm nhỉ

$x^2+m(1-m)x-3m-1=0 \Leftrightarrow m^2x-m(x-3)+1-x^2=0 $(1)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:
$m_1+m_2=\frac{x-3}{x}=1-\frac{3}{x} $

$m_1.m_2=\frac{1-x^2}{x}=\frac{1}{x}-x $

Vì $m $ nguyên và $x $ nguyên nên $x=1 $ hoặc $x=-1 $

Thế vào (1) tìm được $m=0;-2;4 $

$m=1 $ sao ko có nhỉ?????

m nguyên chỉ chắc chắn phương trình $m^2x-m(x-3)+1-x^2=0$ có ít nhất 1 nghiệm nguyên thôi em, còn bài của em làm là nó phải thỏa có $m_1+m_2$ và $m_1m_2$ là số nguyên, hai điều này khác nhau rất xa. Em chú ý dễ dẫn tới sai lầm lắm
Có thể lấy ví dụ phương trình $2m^2-3m+1=0$ có nghiệm là $m_1=1$ và $m_2=\dfrac{1}{2}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Cauchy-Schwarz]

Câu 2a tương tự bài 46 sách Nâng cao và phát triển 9 tập 1 trang 23
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]