|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
10-08-2014, 07:34 PM | #1 |
Moderator Tham gia ngày: Dec 2012 Đến từ: HCMUS Bài gởi: 557 Thanks: 259 Thanked 402 Times in 216 Posts | Olympic gặp gỡ Toán học 2014 Lớp 11 OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC 2014 Lớp 11 Bài 1 : Cho $x,y,z>0$ và $\left ( x+y+z \right )\left ( \dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right )=\dfrac{27}{2}$. Chứng minh : $$x^2+y^2+z^2\leq 2(xy+yz+zx)$$ Bài 2 : Đặt $\alpha =\sqrt[3]{3}$. a) Chứng minh nếu $a,b,c$ hữu tỉ mà $a+b\alpha +c\alpha ^2=0$ thì $a=b=c=0$. b) Tìm tất cả các đa thức có bậc nhỏ nhất với hệ số hữu tỉ thỏa mãn $P(\alpha +\alpha ^2)=3+\alpha$. c) Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ hệ số nguyên thỏa mãn $P(\alpha +\alpha ^2)=3+\alpha$ ? Bài 3 :Cho tam giác $ABC$ không cân với các tiếp điểm trên $BC,CA,AB$ với đường tròn $(I)$ nội tiếp lần lượt là $D,E,F$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc $EF$ cắt $AB$ tại $X$. Giao của $(AEF)$ với $(ABC)$ là điểm $T$ khác $A$. a) Gọi $M$ là trung điểm của cung $BC$ không chứa $A$ của đường tròn $(ABC)$. Chứng minh $T,D,M$ thẳng hàng. b) Chứng minh $TX$ vuông góc $TF$. Bài 4 : Có $2014$ đường thẳng $l_1,l_2,...,l_{2014}$ nằm trên mặt phẳng sao cho không có hai đường thẳng nào song song với nhau, không có ba đường nào đồng quy. Chứng minh tồn tại một đường gấp khúc $A_0A_1...A_{2014}$ gồm $2014$ đoạn thẳng nhỏ, sao cho đường gấp khúc này không tự cắt chính nó và ứng với mỗi $k$, $k\in \mathbb{N}$ và $k\leq 2014$ thì tồn tại $i$ sao cho đoạn $A_iA_{i+1}$ nằm trọn trên $l_k$. |
The Following 2 Users Say Thank You to mathandyou For This Useful Post: | davidsilva98 (16-08-2014), greg_51 (11-08-2014) |
10-08-2014, 08:45 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2013 Bài gởi: 13 Thanks: 9 Thanked 38 Times in 7 Posts | Trích:
Có $ \displaystyle a+b+c=1 $. Từ giả thiết cũng có $$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{27}{2} $$ Dễ thấy $ \displaystyle \frac{2}{27} < c < 1 $. Bài toán đề bài tương đương với $$ \sum \left( \frac{x}{x+y+z}\right)^2 \le 2 \sum \left(\frac{x}{x+y+z} \right) \left( \frac{y}{x+y+z}\right) $$ Đó chính là $$ a^2+b^2+c^2 \le 2 \left( ab+bc+ca \right) $$ Tương đương với $$ 1 =a^2+b^2+c^2 +2 \left( ab+bc+ca \right) \le 4 \left( ab+bc+ca \right) $$ Cần chứng minh $$ \frac{1}{4} \le ab+bc+ca $$ Ta thấy $ \displaystyle a+b=1-c \ ; \ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{27}{2} -\frac{1}{c} $, suy ra $$ ab=\frac{2c \left( 1-c \right)}{ 27c-2} $$ Từ bất đẳng thức hiển nhiên $ \displaystyle \left( a+b \right)^2 \ge 4 ab $, kết hợp với $ \displaystyle \frac{2}{27} < c < 1 $, suy ra $$ \frac{1}{9} \le c \le \frac{2}{3} $$ Ta có $$ ab+bc+ca= ab + c \left( a+b \right)= \frac{2c \left( 1-c \right)}{ 27c-2} + c \left( 1-c \right) $$ Mà $$ \frac{2c \left( 1-c \right)}{ 27c-2} + c \left( 1-c \right) = \frac{1}{4}+ \frac{\left( 6c-1 \right)^2 \left( 2-3c \right)}{4 \left( 27c-2 \right)} \ge \frac{1}{4} $$ Vậy $$ ab+bc+ca \ge \frac{1}{4} $$ Từ đó dẫn tới điều cần chứng minh. | |
16-08-2014, 06:14 PM | #3 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2014 Đến từ: THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai Bài gởi: 9 Thanks: 16 Thanked 9 Times in 5 Posts | Trích:
x,y,z \end{Bmatrix}\Rightarrow x+y\geq 2z $ Đặt $a=\frac{x}{z};b=\frac{y}{z}(a,b>0) $ Do $(x+y+z)\begin{pmatrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \end{pmatrix}=\frac{27}{2}\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \frac{x+y}{z}+1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1 \end{pmatrix}=\frac{27}{2} $ nên $(a+b+1)\begin{pmatrix} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1 \end{pmatrix}=\frac{27}{2} $ Đặt $\left\{\begin{matrix} a+b=S\\ab=P \end{matrix}\right.\Rightarrow (S+1)\begin{pmatrix} \frac{S}{P}+1 \end{pmatrix}=\frac{27}{2}\Rightarrow P=\frac{2(S^{2}+S)}{5-2S} $ Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $S^{2}-2P+1\leq 2(S+P)\Leftrightarrow (S-1)^{2}\leq 4P $ $\Leftrightarrow (S-1)^{2}\leq \frac{8(S^{2}+S)}{25-2S} $ $\Leftrightarrow (2S-1)(S-5)^{2}\geq 0 $ (đúng do $x+y\geq 2z $) | |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|