Đề thi Olympic chuyên KHTN

[mathandyou]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2014
Thời gian : 180 phút
NGÀY THỨ NHẤT

Câu I : Tìm tất cả các bộ ba số $(x,n,p)$ với $x,n$ là các số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn :
$$x^3+2x=3(p^n-1)$$

Câu II : Cho tam giác $ABC$. Trên đoạn thẳng $AC$ lấy điểm $P$ và trên đoạn thẳng $PC$ lấy điểm $Q$ sao cho $\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{QP}{QC}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABQ$ cắt $BC$ tại $R$ khác $B$.
a) Chứng minh rằng $\angle ABP=\angle PRQ$
b) Gọi $S$ là giao điểm khác $P$ của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PAB,PQR$. Chứng minh tam giác $CPS$ cân.

Câu III : Cho các số thực không âm $a,b,c,$ thỏa :
$$(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$$
Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a}{b(4c+15)(b+2c)^2}+\dfrac{b}{c(4a+15)(c +2a)^2}+\dfrac{c}{a(4b+15)(a+2b)^2}\geq \dfrac{1}{3}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Manhnguyen2]

Bác nào làm được bài BĐT thì chỉ em với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2014
Thời gian : 180 phút
NGÀY THỨ HAI

Câu IV. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho
$(x-2)P(3x+2)=3^{2015}xP(x)+3^{2016}x-3x+6$

Câu V. Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB< AC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường cao $AD,BE,CF$ với $D,E,F$ lần lượt thuộc $BC,CA,AB$. Gọi $(\omega )$ là đường tròn tâm $A$ đi qua $D$. $(\omega )$ cắt $(O)$ ở $M,N$
a) Chứng minh rằng $MN$ đi qua trung điểm $DE$, $DF$
b) Gọi $EF$ cắt $BC$ tại $G$ và $DP$ là đường kính của $(\omega )$. $PG$ cắt $(\omega )$ tại $Q$ khác $P$. Chứng minh rằng trung điểm của $DQ$ nằm trên $(O)$

Câu VI. Xét $M=\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,...,9,10 \end{Bmatrix}$ và $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ là dãy các tập con khác rỗng và phân biệt của $M$ sao cho $\begin{vmatrix} A_{i}\cap A_{j} \end{vmatrix}\leq 3$ với mọi $i\neq j(i,j\in \begin{Bmatrix} 1,2,...,n \end{Bmatrix})$. Hãy tìm giá trị lớn nhất của $n$.

HẾT
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ptk_1411]

Nguyên văn bởi mathandyou

Câu III : Cho các số thực không âm $a,b,c,$ thỏa :
$$(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$$
Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a}{b(4c+15)(b+2c)^2}+\dfrac{b}{c(4a+15)(c +2a)^2}+\dfrac{c}{a(4b+15)(a+2b)^2}\geq \dfrac{1}{3}$$

Từ giả thiết:

$\bullet$ $a+b+c\ge \frac{3}{4}$ và $abc\le \frac{1}{64}$

$\bullet$ $$\begin{aligned} 1=\prod (2a+b+c)&=2(a+b+c)^3+(a+b+c)(ab+bc+ca)+abc\\&\ge 7(a+b+c)(ab+bc+ca)+abc\\&\ge \frac{21}{4}(ab+bc+ca)+abc \end{aligned}$$
Suy ra $15(ab+bc+ca)+12abc\le \frac{20}{7}(1-abc)+12abc=\frac{20}{7}+\frac{64}{7}abc\le 3$

Ngoài ra, dễ dàng chứng minh $\sum \frac{a}{b+2c}\ge 1$

Trở lại bđt đề bài: $$\sum \dfrac{a}{b(4c+15)(b+2c)^2}=\sum \dfrac{\frac{a^2}{(b+2c)^2}}{ab(4c+15)}\ge \frac{\left( \sum \frac{a}{b+2c}\right)^2}{12abc+15(ab+bc+ca)}\ge \frac{1}{3} $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Manhnguyen]

Câu II:a/Ta có:$\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{QP}{QC}$
=>$\dfrac{AC}{PC}=\dfrac{PC}{QC}$
=>$PC^2=CQ.CA=CR.CB$
Rồi qua tam giác đồng dạng và $\angle ABC=\angle CQR$ ta sẽ có đpcm
b/Đường tròn tâm $C$ bán kính $CP$ cắt $(PQR)$ tại $S'$.Ta lần lượt Cm các ý sau:
-$\angle CS'R=\angle CBS'$
-$\angle MBP=\angle QPR=\angle QS'R$
-$\angle PBS'=\angle CS'Q=\angle PAS'$
-$S$ trùng $S'$=>đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Manhnguyen]

Câu V:a/$EF$ cắt $AH$ tại $I$.Ta có bổ đề:$AD.HI=AI.HD$
$MN$ cắt $AD$ tại $X$,$AD$ cắt $(O)$ tại $K$.Kẻ đường kính $AY$ cắt $MN$ tại $Z$.Ta lần lượt Cm các ý sau ($DH=DK$)
-$AD^2=AM^2=AY.AZ=AX.AK$
-$AK.XI=AD.DH$(Biến đổi tương đương từ tỉ số và bổ đề trên)
-$AK.DI=2AD.DH$
-$X$ là trung điểm $DI$ và $MN//EF$
=>đpcm(Câu a/ mình làm hơi rối, thông cảm)
b/$MN$ cắt $BC$ tại $T$($T$ sẽ là trung điểm $GD$),$AT$ cắt $(O)$ tại $S$ khác $A$($AT//GP$)Ta có:
$TD^2=TM.TN=TS.TA$=>$DS$ vuông góc $AT$ tại $S$
=>$D,S,Q$ thẳng hàng=>đpcm
P/S:Bác nào biết làm câu IV đăng lên với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[giabao185]

Câu IV. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho
$(x-2)P(3x+2)=3^{2015}xP(x)+3^{2016}x-3x+6(1)$

Nếu $P(x)=c \Rightarrow c=-3.$
Nếu $DegP(x)=n (n\ge 1):$
$(1)\Leftrightarrow (x-2)(P(3x+2)+3)=3^{2015}.x(P(x)+3)$
Đặt$ G(x)=P(x)+3$. Ta được:
$(x-2).G(3x+2)=3^{2015}.x.G(x)$
Dễ thấy $G(2)=0$.Đặt $G(x)=(x-2).H(x)$
$(x-2).3x.H(3x+2)=3^{2015}.x.(x-2).H(x)$ với mọi $x$ khác -2
$\Leftrightarrow H(3x+2)=3^{2014}.H(x)$ với mọi $x$ thuộc $R$
Ta lại có $H(-1)=0$ .Đặt $H(x)=(x+1)^m.K(x)$ ($K(x)$ là đa thức không chia hết cho $x+1$)
$K(3x+2).3^m.(x+1)^m=K(x).3^{2014}.(x+1)^m ( \forall x \neq -1 )$
$\Leftrightarrow K(3x+2).3^m=K(x).3^{2014} ( \forall x \in \mathbb{R} )$
Từ đây cho $x=-1$:
$K(-1).(3^m-3^{2014})=0$
$\Rightarrow m=2014$ và $K(x)$ là đa thức hằng.
$\Rightarrow P(x)=(x-2).(x+1)^{2014}.c-3 ( c=const) $
Thử lại thỏa mãn
Vậy có 2 đa thức thỏa : $P(x)=-3$ và $ P(x)=(x-2).(x+1)^{2014}.c-3$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Fool's theorem]

Câu VI đáp số là $\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{3}+\binom{ 10}{4}=385$
Cách làm thì chỉ cần đếm số tập con $4$ phần tử theo $2$ cách để có bất đẳng thức:
$\sum_{i=1}^{n}\binom{\left | A_i \right |}{4} \leq \binom{10}{4}$
(Bất đẳng thức này có được do $A_i$ và $A_j$ bất kì thì không có chung $1$ tập con $4$ phần tử nào)
Bài tổ hợp này khá ngon ăn nên chắc cũng nhiều người làm được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Hãy thử với bài toán "sai đề" này xem sao:
"Xét $M=\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,...,9,10 \end{Bmatrix}$ và $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ là dãy các tập con khác rỗng và phân biệt của $M$ sao cho $\begin{vmatrix} A_{i}\setminus A_{j} \end{vmatrix}\leq 3$ với mọi $i\neq j(i,j\in \begin{Bmatrix} 1,2,...,n \end{Bmatrix})$. Hãy tìm giá trị lớn nhất của $n$."
Mình nghĩ đáp án của nó là $n_{max}=\binom{10}{9}+\binom{10}{8}+\binom{10}{7} +1$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

ủa sáng mình mới thi là $|A_i\A_j$ mà bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Fool's theorem]

Nguyên văn bởi mathandyou

ủa sáng mình mới thi là $|A_i\A_j$ mà bạn

$A_i \cap A_j$
Đang cầm đề đây
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Manhnguyen]

Thấy không ai ghi cách giải câu I nên mình ghi luôn
Ta nhận $x={1;2}$.Với $x>2$ phương trình trở thành:
$(x+1)(x^2-x+3)=3p^n$
Ta Cm được:$x+1$ chia hết cho $p$ và $x^2-x+3$ chia hết cho $p$
=>5 chia hết cho $p$=>$p=5$(do là số nguyên tố)
Đặt $x=5m-1$(với $m$ chỉ có thể là tích của $3.5^a$($a$ là số tự nhiên))Đến đây ta sẽ tính được đáp số
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Câu II
b) cách làm khác :
Bổ đề: cho $F$ là điểm trên $BC$ thỏa $PF \parallel AB$ thì $F \in (PQR)$ (thực ra cái bổ đề này mình làm ở câu a của bài trên).
gọi $S'$ là giao của $SC$ và $(PQR)$.
Ta có:
$(S'P,S'Q) \equiv (RP,RQ) \equiv (AB,AP) \equiv (SA,SP) \pmod{\pi} \\
\Leftrightarrow AS \parallel PS'; PS \parallel QS' $.
Kết hợp với bổ đề ta suy ra được tồn tại 1 phép vị tự $V_{C,k}: (PS'R) \to (ASP)$ ($k=\frac{PQ}{QC}$).
Mà $SP$ lại là trục đẳng phương của 2 đường tròn nên từ đó, ta có $CS=CP$ hay $\Delta CSP$ cân.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Vậy là có 2 đề khác nhau rồi,tờ đề trường mình là giống y bài bạn Quốc Bảo.Mình còn cầm đề đây
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]