Đề thi Trại hè Hùng Vương 2014 lớp 11

[hansongkyung]

Đề thi trại hè Hùng Vương lớp 11 năm 2014

Thời gian làm bài 180 phút.

Câu 1 Cho dãy số $\left( u_n \right)$ được xác định như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}
u_1=2014\\
u_{n+1}=u_n^2+ (1-2a)u_n+a^2
\end{array} \right.$

Tìm điều kiện của $a \in \mathbb{R}$ để dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 2 Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với hai cạnh $AC, BC$ lần lượt tại $E, F$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $P$. Một đường thẳng song song với $AB$ và tiếp xúc với $(I)$ tại $Q$ nằm trong tam giác $ABC$

a, Gọi $KL$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $PE$ và $PF$ với $(O)$. Chứng minh $KL$ song song với $EF$

b, Chứng minh $\angle{ACP} = \angle{QCB}$

Câu 3 Cho $P(x), Q(x) \in \mathbb{R}_{\left[x\right]}$ có bậc là $2014$ và hệ số cao nhất bằng $1$. Chứng minh rằng nếu phương trình $P(x)=Q(x)$ không có nghiệm thực thì phương trình sau có nghiệm thực
$$P(x+2013)=Q(x-2013)$$

Câu 4 Trong mặt phẳng cho $2n+1$ đường thẳng phân biệt sao cho không có 2 đường thẳng nào song song hoặc vuông góc và không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Chúng cắt nhau tạo thành các tam giác. Chứng minh số tam giác nhọn đc tạo ra không vượt quá $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Câu 5 Tìm tất cả các bộ số $\left(x,y,z\right)$ nguyên dương thoả mãn:
$$1+4^x + 4^y = z^2$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Juliel]

Câu 5 Tìm tất cả các bộ số $\left(x,y,z\right)$ nguyên dương thoả mãn:
$$1+4^x + 4^y = z^2$$

Lời giải :
Câu này là đề của Hàn Quốc 2007.
Không giảm tổng quát, ta giả sử $x\leq y$.

Nếu $2x<y+1$ thì dễ dàng thấy :

$$(2^y)^2< z^2=1+4^x+4^y< (2^y+1)^2$$

Và đây là điều mâu thuẫn.

Nếu $2x=y+1$ ta được :

$$1+4^{(y+1)/2}+4^y=z^2\Leftrightarrow z=2^y+1$$

Ta được nghiệm $(x,y,z)=(t,2t-1,2^{2t-1}+1)$ với $t$ là số nguyên dương bất kì.

Nếu $2x>y+1$.

Phương trình đã cho có thể viết thành :

$$2^{2x}(4^{y-x}+1)=(z-1)(z+1)$$

Vì $z$ lẻ nên $\gcd(z-1,z+1)=2$, từ đó ta được $2^{2x-1}\mid z-1$ hoặc $2^{2x-1}\mid z+1$.

Nếu mà $2^{2x-1}\mid z-1$ ta đặt $z=2^{2x-1}.k+1\;\;(k\in \mathbb{Z}^+)$. Thay vào phương trình ban đầu :

$$1+4^x+4^y=(2^{2x-1}.k+1)^2\Leftrightarrow 4^x+4^y=4^{2x-1}k^2+4^xk\Leftrightarrow 1+4^{y-x}=4^{x-1}k^2+k$$

Vì $2x>y+1$ nên ta có $y-x<x-1$, suy ra :

$$1+4^{y-x}< 4^{x-1}k^2+k$$

Ta gặp mâu thuẫn.

Nếu mà $2^{2x-1}\mid z+1$. Ta đặt $z=2^{2x-1}k-1\;\;(k\in \mathbb{Z}^+)$. Thay vào phương trình ban đầu :

$$1+4^x+4^y=(2^{2x-1}k-1)^2\Leftrightarrow 4^{y-x}+1=4^{x-1}k^2-k$$

Vì $2x>y+1$ nên $y-x<x-1$, suy ra :

$$4^{x-1}k^2-k< 4^{x-1}+1\Leftrightarrow 4^{x-1}(k-1)< 0\Leftrightarrow k=1$$

Được :

$$4^{y-x}+1=4^{x-1}-1\Rightarrow min\left \{ x-1,y-x \right \}=1\Rightarrow y-x=1\Rightarrow x=y-1$$

Dễ thấy tiếp được điều vô lí.

Ta kết luận nghiệm :

$$(x,y,z)=(t,2t-1,2^{2t-1}+1),(2t-1,t,2^{t}+1)$$

Trong đó $t$ nguyên dương tùy ý.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nvthe_cht.]

Câu a là hệ quả của định lý Lyness
------------------------------
Câu đa thức:
Khi $P(x)=Q(x)$ không có nghiệm thực, suy ra $P(x)-Q(x)$ có bậc chẵn. Do đó:
$P(x+2013)-Q(x-2013)$ có bậc lẻ, đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]