|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
03-08-2014, 09:49 AM | #1 |
+Thành Viên+ | Đề thi Trại hè Hùng Vương 2014 lớp 11 Đề thi trại hè Hùng Vương lớp 11 năm 2014 Thời gian làm bài 180 phút. Câu 1 Cho dãy số $\left( u_n \right)$ được xác định như sau: $\left\{ \begin{array}{l} u_1=2014\\ u_{n+1}=u_n^2+ (1-2a)u_n+a^2 \end{array} \right.$ Tìm điều kiện của $a \in \mathbb{R}$ để dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Câu 2 Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với hai cạnh $AC, BC$ lần lượt tại $E, F$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $P$. Một đường thẳng song song với $AB$ và tiếp xúc với $(I)$ tại $Q$ nằm trong tam giác $ABC$ a, Gọi $KL$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $PE$ và $PF$ với $(O)$. Chứng minh $KL$ song song với $EF$ b, Chứng minh $\angle{ACP} = \angle{QCB}$ Câu 3 Cho $P(x), Q(x) \in \mathbb{R}_{\left[x\right]}$ có bậc là $2014$ và hệ số cao nhất bằng $1$. Chứng minh rằng nếu phương trình $P(x)=Q(x)$ không có nghiệm thực thì phương trình sau có nghiệm thực $$P(x+2013)=Q(x-2013)$$ Câu 4 Trong mặt phẳng cho $2n+1$ đường thẳng phân biệt sao cho không có 2 đường thẳng nào song song hoặc vuông góc và không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Chúng cắt nhau tạo thành các tam giác. Chứng minh số tam giác nhọn đc tạo ra không vượt quá $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Câu 5 Tìm tất cả các bộ số $\left(x,y,z\right)$ nguyên dương thoả mãn: $$1+4^x + 4^y = z^2$$ |
The Following 6 Users Say Thank You to hansongkyung For This Useful Post: | Caybutbixanh (03-08-2014), dangvip123tb (03-08-2014), davidsilva98 (03-08-2014), Juliel (03-08-2014), pco (03-08-2014), wangyoo (03-08-2014) |
03-08-2014, 04:17 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2013 Đến từ: THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai Bài gởi: 144 Thanks: 109 Thanked 130 Times in 66 Posts | Câu 5 Tìm tất cả các bộ số $\left(x,y,z\right)$ nguyên dương thoả mãn: $$1+4^x + 4^y = z^2$$ Lời giải : Câu này là đề của Hàn Quốc 2007. Không giảm tổng quát, ta giả sử $x\leq y$. Nếu $2x<y+1$ thì dễ dàng thấy : $$(2^y)^2< z^2=1+4^x+4^y< (2^y+1)^2$$ Và đây là điều mâu thuẫn. Nếu $2x=y+1$ ta được : $$1+4^{(y+1)/2}+4^y=z^2\Leftrightarrow z=2^y+1$$ Ta được nghiệm $(x,y,z)=(t,2t-1,2^{2t-1}+1)$ với $t$ là số nguyên dương bất kì. Nếu $2x>y+1$. Phương trình đã cho có thể viết thành : $$2^{2x}(4^{y-x}+1)=(z-1)(z+1)$$ Vì $z$ lẻ nên $\gcd(z-1,z+1)=2$, từ đó ta được $2^{2x-1}\mid z-1$ hoặc $2^{2x-1}\mid z+1$. Nếu mà $2^{2x-1}\mid z-1$ ta đặt $z=2^{2x-1}.k+1\;\;(k\in \mathbb{Z}^+)$. Thay vào phương trình ban đầu : $$1+4^x+4^y=(2^{2x-1}.k+1)^2\Leftrightarrow 4^x+4^y=4^{2x-1}k^2+4^xk\Leftrightarrow 1+4^{y-x}=4^{x-1}k^2+k$$ Vì $2x>y+1$ nên ta có $y-x<x-1$, suy ra : $$1+4^{y-x}< 4^{x-1}k^2+k$$ Ta gặp mâu thuẫn. Nếu mà $2^{2x-1}\mid z+1$. Ta đặt $z=2^{2x-1}k-1\;\;(k\in \mathbb{Z}^+)$. Thay vào phương trình ban đầu : $$1+4^x+4^y=(2^{2x-1}k-1)^2\Leftrightarrow 4^{y-x}+1=4^{x-1}k^2-k$$ Vì $2x>y+1$ nên $y-x<x-1$, suy ra : $$4^{x-1}k^2-k< 4^{x-1}+1\Leftrightarrow 4^{x-1}(k-1)< 0\Leftrightarrow k=1$$ Được : $$4^{y-x}+1=4^{x-1}-1\Rightarrow min\left \{ x-1,y-x \right \}=1\Rightarrow y-x=1\Rightarrow x=y-1$$ Dễ thấy tiếp được điều vô lí. Ta kết luận nghiệm : $$(x,y,z)=(t,2t-1,2^{2t-1}+1),(2t-1,t,2^{t}+1)$$ Trong đó $t$ nguyên dương tùy ý. |
The Following 2 Users Say Thank You to Juliel For This Useful Post: | davidsilva98 (03-08-2014), pco (03-08-2014) |
03-08-2014, 09:44 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2013 Bài gởi: 69 Thanks: 15 Thanked 36 Times in 24 Posts | Câu a là hệ quả của định lý Lyness ------------------------------ Câu đa thức: Khi $P(x)=Q(x)$ không có nghiệm thực, suy ra $P(x)-Q(x)$ có bậc chẵn. Do đó: $P(x+2013)-Q(x-2013)$ có bậc lẻ, đpcm. thay đổi nội dung bởi: Nvthe_cht., 03-08-2014 lúc 10:11 PM Lý do: Tự động gộp bài |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|