Bài toán về vết ma trận

Allnames · 23-02-2011, 10:29 AM

1) Cho $A, B $ là 2 ma trận vuông cấp n thỏa mãn
$Tr ( A.A' + B.B') = Tr ( AB + A'.B') $
chứng minh $A = B' $
2) có anh chị nào có tài liệu về vết thì cho em xin với ạ! em cám ơn!

pgviethung · 23-02-2011, 08:34 PM

Xét $A=(a_{ij}) $ và $B=(b_{ij}) $. Vậy $traceA=\sum a^2_{ij} $, $traceB=\sum b^2_{ij} $, $traceAB=\sum a_{ij}b_{ji} $, $traceA'B'=\sum a_{ji}b_{ij} $. Do đó, ta có $\sum a^2_{ij}+b^2_{ij}=2\sum a_{ij}b_{ji} $. Suy ra $a_{ij}=b_{ji} $, hay là $A=B' $

ninhsp · 24-02-2011, 10:04 AM

Các ma trận trên là thực thì kết quả mới đúng.
cách thứ hai:
sử dụng bổ đề nếu X là ma trận thực và Tr(XX')=0 thì X=0.( very easy)
sau đó xét X=A-B' là xong

Allnames · 24-02-2011, 11:44 AM

Trích:

Nguyên văn bởi ninhsp

sau đó xét X=A-B' là xong

Xong là thế nào bạn ?
có công thức tính X' =( A - B')' à.
Bạn có thể nói rõ hơn được ko!

23-02-2011, 10:29 AM	#1
Allnames +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2008 Đến từ: THPT chuyên Phan Bội Châu Nghệ An Bài gởi: 101 Thanks: 26 Thanked 8 Times in 8 Posts	Bài toán về vết ma trận 1) Cho $A, B $ là 2 ma trận vuông cấp n thỏa mãn $Tr ( A.A' + B.B') = Tr ( AB + A'.B') $ chứng minh $A = B' $ 2) có anh chị nào có tài liệu về vết thì cho em xin với ạ! em cám ơn! __________________ MỖI NGƯỜI ĐỀU CÓ MỘT NIỀM TIN VÀ HÃY GIỮ CHO NIỀM TIN ĐÓ ĐƯỢC SỐNG MÃI

23-02-2011, 08:34 PM	#2
pgviethung +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Bài gởi: 142 Thanks: 1 Thanked 68 Times in 54 Posts	Xét $A=(a_{ij}) $ và $B=(b_{ij}) $. Vậy $traceA=\sum a^2_{ij} $, $traceB=\sum b^2_{ij} $, $traceAB=\sum a_{ij}b_{ji} $, $traceA'B'=\sum a_{ji}b_{ij} $. Do đó, ta có $\sum a^2_{ij}+b^2_{ij}=2\sum a_{ij}b_{ji} $. Suy ra $a_{ij}=b_{ji} $, hay là $A=B' $

24-02-2011, 10:04 AM	#3
ninhsp +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Bài gởi: 3 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	Các ma trận trên là thực thì kết quả mới đúng. cách thứ hai: sử dụng bổ đề nếu X là ma trận thực và Tr(XX')=0 thì X=0.( very easy) sau đó xét X=A-B' là xong