Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2012

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 09-07-2012, 09:52 PM   #1
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
[IMO 2012] Bài 6 - Số học

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên không âm $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa mãn
$$ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1 $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.

thay đổi nội dung bởi: novae, 12-07-2012 lúc 02:22 AM
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to novae For This Useful Post:
akaishuichi (12-07-2012), boykhtna1 (12-07-2012), NguyễnTiếnLHP (12-07-2012), thiendieu96 (13-07-2012), yamatunga (12-07-2012)
Old 12-07-2012, 04:21 AM   #2
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Gọi $n $ là tốt nếu $n $ thỏa mãn bài toán.
Ta chứng minh một số tính chất sau:

1. $n\equiv 1, 2 \pmod 4 $

Thật vậy, viết bài toán dạng $\sum\limits_{k=1}^{n}2^{a-a_{k}} = 2^{a} $ và $\sum\limits_{k=1}^{n}k.3^{a-a_{k}} = 3^{a} $ với $a = \max\{a_{k}\} $

Ta có $\sum\limits_{k=1}^{n}k\equiv \sum\limits_{k=1}^{n}k.3^{a-a_{k}} = 3^{a}\equiv 1\pmod 2 $, do đó $n\equiv 1, 2 \pmod 4 $.

2. Nếu $n $ thỏa mãn bài toán và $n $ lẻ thì $n+1 $ cũng thỏa mãn bài toán.

Chứng minh:

Vì $n $ lẻ nên $j = (n+1)/2 $ là số nguyên dương.

Đặt dãy mới như sau:

$(b_1,...,b_{n+1}) = (a_1,a_2,..,a_{j-1},a_{j}+1,a_{j+1}...,a_{n},a_{n+1} = a_{j}+1) $

Dễ thấy $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{2^{b_k}} = 1 $ và $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{k}{3^{b_k}} = 1 = \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{3^{a_k}} - \frac{3j}{3^{a_j}} + \frac{3j}{3^{a_j+1}} + \frac{3(n+1)}{3^{a_j+1}} = 1 +\frac{3j+3n+3}{3^{a_j+1}} - \frac{3j}{3^{a_j}}= 1 $.

3. Nếu $n = 8l-2 $ thỏa mãn thì $n+3 $ cũng thỏa mãn.

Chứng minh như trên. Lặp dãy mới bằng cách chọn $j = (3n+6)/8 $ và thay $a_j $ bởi $a_{j}+2 $, thêm $a_{n+1},...,a_{n+3} = a_{j}+2 $.

4. Nếu $n + 2 = 3j $ và $n $ thỏa mãn thì $n+3 $ cũng thỏa mãn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.

thay đổi nội dung bởi: Traum, 12-07-2012 lúc 06:53 AM
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 9 Users Say Thank You to Traum For This Useful Post:
akaishuichi (12-07-2012), hoang_kkk (12-07-2012), kien10a1 (12-07-2012), Lan Phuog (12-07-2012), lexuanthang (12-07-2012), pco (12-07-2012), philomath (12-07-2012), pnminh95 (12-07-2012), thiendieu96 (13-07-2012)
Old 12-07-2012, 11:00 AM   #3
Mashimaru
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2008
Bài gởi: 89
Thanks: 19
Thanked 70 Times in 28 Posts
Bài 6 của IMO mà lại giải dựa vào các hằng đẳng thức "trời ơi" như vậy thì mình thấy ko thích lắm Hy vọng đội tuyển Việt Nam có người làm được Theo thông tin hành lang thì phần sau của bài 3 rất là khó, nên nếu làm 1, 2, 3.1, 4, 5, 6 là dư sức Vàng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mashimaru is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-07-2012, 11:21 AM   #4
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,401
Thanks: 2,164
Thanked 4,152 Times in 1,370 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi Mashimaru View Post
Bài 6 của IMO mà lại giải dựa vào các hằng đẳng thức "trời ơi" như vậy thì mình thấy ko thích lắm Hy vọng đội tuyển Việt Nam có người làm được Theo thông tin hành lang thì phần sau của bài 3 rất là khó, nên nếu làm 1, 2, 3.1, 4, 5, 6 là dư sức Vàng
Trong đề chọn đội tuyển của TQ năm nay có khoảng 3, 4 bài theo dạng này (tồn tại số n sao cho...), các bước xây dựng kiểu này mất nhiều thời gian, làm không quen tay là ngồi mấy ngày, mấy tuần mới hy vọng ra được.

Theo thông tin hành lang của em thì có vẻ năm nay làm được 5.5/6 mới chắc ăn có HCV nhỉ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-07-2012, 12:05 PM   #5
Mashimaru
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2008
Bài gởi: 89
Thanks: 19
Thanked 70 Times in 28 Posts
À đấy chỉ là một cái chặn trên rất là rộng của em nghĩ ra thôi ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Mashimaru is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-07-2012, 01:49 PM   #6
BĐT
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Bài gởi: 29
Thanks: 5
Thanked 1 Time in 1 Post
Các anh có thể cho em biết ý tưởng để xây dựng được n như trên không ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
BĐT is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-07-2012, 02:17 PM   #7
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi BĐT View Post
Các anh có thể cho em biết ý tưởng để xây dựng được n như trên không ạ.
Trước hết, lời giải trên kia chưa đầy đủ và còn nhiều trường hợp $n = 8l+2 $ tốt cần phải giải quyết. Tuy nhiên trâu bò sẽ ra.

Ý tưởng thì cũng khá tự nhiên. Sau khi đoán được $n\equiv 1,2\pmod 4 $ thì ý nghĩ sẽ là xây dựng dãy. Tuy nhiên ta thấy chính vế phải với các số hạng $\frac{k}{3^{a_k}} $ làm cho việc xây dựng dãy phức tạp nếu ta thay đổi nhiều $a_{k} $ một lúc. Do đó ta thử thay một $a_{k} $ bởi 2 số $a_{k}+1 $. Vấn đề là vị trí của 2 số này ở đâu, khi ta không muốn xáo trộn vị trí của các số còn lại. Cách đơn giản nhất là giữ một $a_{k}+1 $ tại vị trí của $a_{k} $ còn số còn lại thì cho vào vị trí cuối cùng là $n+1 $. Tính điều kiện một tí cho $k $ ta sẽ có $n $ phải lẻ.

Từ bước đầu tiên đó ta có thể xây dựng các bước phức tạp hơn bằng cách sử dụng $1 = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4; 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8,... $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.

thay đổi nội dung bởi: Traum, 12-07-2012 lúc 02:20 PM
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Traum For This Useful Post:
perfectstrong (12-07-2012)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:27 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 65.20 k/74.17 k (12.10%)]