Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2015

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 10-01-2015, 11:06 AM   #1
ThangToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 567
Thanks: 24
Thanked 536 Times in 262 Posts
Bài 6 VMO2015

Bài 6. Ta xét phương trình $6a^2x+6ay^2+36z=m$ (1) với nghiệm nguyên dương.
Bổ đề. Ta chứng minh số $m=6a^2+36a$ là số nguyên dương lớn nhất để phương trình trên vô nghiệm.
Thật vậy,
a) với $m=6a^2+36a$ ta chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:
$6a^2x+6ay^2+36z=6a^2+36a$ (2).
Từ (2) ta có $z \vdots a \Rightarrow \exists k \in {N^*}:z = ka$
Chia hai vế của (1) cho $a$ ta được:
$ax+6y+36k=6a+36$
$ \Leftrightarrow a\left( {6 - x} \right) = 6\left( {y + 6k - 6} \right) \vdots a \Rightarrow y + 6k - 6 \vdots a \Rightarrow y + 6k - 6 \ge a$
$ \Rightarrow 6\left( {y + 6k - 6} \right) \ge 6a > \left( {6 - x} \right)a$ vô lý.
b) Tiếp theo ta chứng minh rằng với mọi $m \ge 6{a^2} + 36a + 1$ thì phương trình (1) luôn có nghiệm nguyên dương.
Do $(a,6)=1$ nên hệ $\left\{ {36.1,36.2,...,36.a} \right\}$ là hệ đầy đủ theo $moda$ suy ra tồn tại $ z \in \left\{ {1,2,...,a} \right\}:36z \equiv n\left( {\bmod a} \right) \Rightarrow \frac{{n - 36z}}{a} \in Z $
Kết hợp với $n - 36z \ge 6{a^2} + 36a - 36a > 0 \Rightarrow \frac{{n - 36z}}{a} \in {N^*}$
Mặt khác $\left\{ {6.1,...,6.a} \right\}$ là hệ thặng dư đầy đủ theo $moda$ suy ra tồn tại $y \in \left\{ {1,2,...,a} \right\}$ sao cho $6y \equiv \frac{{n - 36z}}{a}\left( {\bmod a} \right)$. Từ đó suy ra tồn tại số nguyên $x$ sao cho :
$\frac{{n - 36z}}{a} - 6y = ax \Leftrightarrow {a^2}x + 6ay + 36z = n$.
Tiếp theo ta chứng minh $x$ nguyên dương như sau:
Ta có $ax = \frac{{n - 36z}}{a} - 6y = \frac{{n - 36z - 6ay}}{a} \ge \frac{{6{a^2} + 36a + 1 - 36a - 6{a^2}}}{a} > 0 \Rightarrow x > 0$.
Vậy luôn tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn:
$6a^2x+6ay+36z=n$.
Vậy số lớn nhất thỏa mãn là $m=6a^2+36a$. Vậy bổ đề được chứng minh.
Ta quay trở lại bài toán 6 VMO 2015 như sau:
Phương trình $6{a^2}x + 6ay + 36z = n \Leftrightarrow 6{a^2}\left( {x + 1} \right) + 6a\left( {y + 1} \right) + 36\left( {z + 1} \right) = n + {a^2} + 6a + 36$
Như vậy bài toán 6 VMO 2015 trở thành phương trình ứng với nghiệm nguyên dương: $6{a^2}\left( {x + 1} \right) + 6a\left( {y + 1} \right) + 36\left( {z + 1} \right) = n + {a^2} + 6a + 36$
b) Áp dụng bổ đề với $m=n+6a^2+6a+36$ ta được
$n + {a^2} + 6a + 36 \le 6{a^2} + 36a \Leftrightarrow n \le 5{a^2} + 30a - 36$. Vậy số lớn nhất cần tìm là $n=5a^2+30a-36$.
a)
TH1. $(a,6)=1$
Theo phần b ta có: $5{a^2} + 30a - 36 < 250 \Leftrightarrow 5{a^2} + 30a < 286 \Leftrightarrow a \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}$
Dễ thấy với $a=2,3,4$ không thỏa mãn.
+) $a=1$ thì chọn nghiệm là $(n,0,0)$.
+) $a=5$ ta chứng minh với mọi $n \ge 250$ thì phương trình sau luôn có nghiệm tự nhiên: $25x+30y+36z=n$
Ta có $\left\{ {25.0,25.1,...,25.5} \right\}$ là hệ thặng dư đầy đủ theo $mod6$ nên tồn tại $x \in \left\{ {0,1,...,5} \right\}:n - 25x = 6t$.
Do $x\le 5$ nên $n - 25x \ge 250 - 25.5 \Rightarrow t > 20$.
Bổ đề. Với mỗi số nguyên dương $t>20$ luôn tồn tại các số tự nhiên $y,z$ sao cho $t=5y+6z$.
Thật vậy, ta chứng minh bằng quy nạp theo $t$: Dễ thấy
$21=3.5+6,22=2.6+2.5,23=3.6+5,24=4.6+0.5,25=0.6+5. 5$ Do đó với $t>25$ ta có:
$t=5+t-5=5+5u+6v=5(u+1)+6v$ do đó theo pp quy nạp bổ đề được chứng minh.
Sử dụng bổ đề ta được $n-25=6t=6(5y+6z)$ suy ra $n=25x+30y+36z$.
Vậy $a=1, a=5$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: ThangToan, 10-01-2015 lúc 11:23 AM
ThangToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to ThangToan For This Useful Post:
Hennmarsk (10-01-2015), khanghaxuan (10-01-2015)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 10:12 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 39.94 k/43.32 k (7.79%)]