Bài BĐT thi vào 10 với điều kiện $x^2+y^2+z^2=2$

[einstein1996]

Mình mới gặp bài này trong một đề thi thử vào trường chuyên nhưng mình chỉ nghĩ được cách quy về BĐT 1 biến rồi biến đổi tương đương, bạn nào nghĩ cách sử dụng Cauchy hay Bunyakovski thì giúp mình với

Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2$. Chứng minh rằng: $2x+2y+2z<6-x^2$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hung.vx]

Nguyên văn bởi einstein1996

Mình mới gặp bài này trong một đề thi thử vào trường chuyên nhưng mình chỉ nghĩ được cách quy về BĐT 1 biến rồi biến đổi tương đương, bạn nào nghĩ cách sử dụng Cauchy hay Bunyakovski thì giúp mình với

Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2$. Chứng minh rằng: $2x+2y+2z<6-x^2$

Ta có $(2x+2y+2z)^2=(\sqrt{2}.x\sqrt{2}+1.2y+1.2z)^2\leq 4(2x^2+4y^2+4z^2)$. Hay
$$(2x+2y+2z)^2\leq 4(8-2x^2)\leq (6-x^2)^2.$$
Dấu bằng không xãy ra. Hay ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]