Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 28-01-2018, 11:26 AM   #1
hung.vx
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 32
Thanks: 0
Thanked 9 Times in 5 Posts
Bất phương trình hàm $f(x+y)+yf(x) \leqslant x+f(y)+f(xy).$

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho

$$f(x+y)+yf(x) \leqslant x+f(y)+f(xy),\forall x,y\in\mathbb{R}.$$



Kosovo Mathematical Olympiad 2018

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hung.vx is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 31-01-2018, 02:33 PM   #2
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 73
Thanks: 1
Thanked 52 Times in 37 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hung.vx View Post
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho

$$f(x+y)+yf(x) \leqslant x+f(y)+f(xy),\forall x,y\in\mathbb{R}.$$



Kosovo Mathematical Olympiad 2018
Đặt $f(0)=k$ và gọi $P(x;\,y)$ là mệnh đề $f(x+y)+yf(x) \leqslant x+f(y)+f(xy)$, do $P(0;\,x)$ đúng với mọi $x$ nên
\[f\left( x \right) + kx \le f\left( x \right) + k\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
Do bất phương trình $kx\le x$ đúng với mọi $x\in\mathbb R$ nên $k=0$, lại từ $P(x;\,0)$ đúng với mọi $x$ vì thế có
\[f\left( x \right) \le x + 2k = x\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(1).\]
Với việc $P(x;\,-x)$ đúng với mọi $x$ có
\[ - xf\left( x \right) \le x + f\left( { - x} \right) + f\left( { - {x^2}} \right) \le x + \left( { - x} \right) + \left( { - {x^2}} \right) = - {x^2}\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(2).\]
Từ $(1)$ và $(2)$ có $f(x)=x\quad\forall\,x>0$, ta lại có $P\left(\sqrt{-x};\,-\sqrt{- x}\right)$ đúng với mọi $x<0$ vì vậy
\[x = - \sqrt { - x} f\left( {\sqrt { - x} } \right) \le \sqrt { - x} + f\left(- {\sqrt { - x} } \right) + f\left( x \right) \le f\left( x \right)\quad\forall\,x<0.\]
Điều này kết hợp với $(1)$ để có $f(x)=x\quad\forall\,x<0$, và vì vậy
\[f(x)=x\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:56 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 42.32 k/46.42 k (8.83%)]