Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 19-03-2011, 02:08 PM   #1
phantiendat_hv
+Thành Viên Danh Dự+
 
phantiendat_hv's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: Bình Phước.....$ xứ bụi $
Bài gởi: 379
Thanks: 273
Thanked 408 Times in 184 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới phantiendat_hv
Topic về hệ phương trình

Chào các bạn!. Hệ phương trình luôn là một dạng toán hay , nó không khó nhưng đòi hỏi tính chặt chẽ trong các phương trình của hệ, khi ta giải một bài hệ phương trình nào đó thì có rất nhiều hướng đi hiện lên trong đầu ta! Còn có những bài hệ khi ta nhìn vào thì tưởng rằng rất dễ nhưng ẩn chứa trong đó là điều gì đó rất khó và thú vị. Nay mình xin phép mọi người và các Mod, Amind cho mình lập ra một topic này để cùng trao dồi thêm kinh nghiệm khi giải hệ phương trình:

Sau đây là một số bài mình sưu tầm được và tương đối bình thường . Mong mọi người đóng góp thêm lời giải và một số hệ hay cho mọi người tham khảo. Xin cám ơn:


Bài 1: $\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 = 5 \\
x^5 + y^5 = 11(x + y) \\
\end{array} \right
$


Bài 2: $\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 + xy = 3 \\
x^2 + 2xy = 7x + 5y - 9 \\
\end{array} \right
$


Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\
z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\
x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\
\end{array} \right
$


Bài 4: $\left\{ \begin{array}{l}
\left| {xy - 4} \right| = 8 \\
xy = 2x^2 \\
\end{array} \right
$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Phan Tiến Đạt

thay đổi nội dung bởi: phantiendat_hv, 01-04-2011 lúc 11:35 PM
phantiendat_hv is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 27 Users Say Thank You to phantiendat_hv For This Useful Post:
arsenal1000 (27-07-2012), boheoga9999 (02-05-2011), boyqn (23-05-2011), daylight (20-03-2011), duynhan (19-03-2011), hanamichi1302 (21-08-2011), handsomeboy (30-03-2012), hansongkyung (27-01-2012), hgly1996 (27-01-2012), hungga (05-07-2011), huynhcongbang (19-03-2011), Ino_chan (30-05-2011), je.triste (20-03-2011), ladykillah96 (16-01-2012), lilsalyn (10-04-2012), motngaytotlanh (21-09-2012), nguyenxuanthai (29-03-2013), nhat7d (03-07-2011), Persian (19-03-2011), PromathLHP (24-05-2011), rocket (01-07-2011), SmathsVN (06-04-2012), thichhoctoanla (30-09-2012), thinhso01 (20-05-2013), tienanh_tx (27-05-2013), Trànvănđức (23-12-2012), Yucio.3bi_love (12-07-2011)
Old 19-03-2011, 04:17 PM   #2
boheoga9999
+Thành Viên+
 
boheoga9999's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Đến từ: Tp_HCM
Bài gởi: 170
Thanks: 109
Thanked 60 Times in 32 Posts
Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\
z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\
x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\
\end{array} \right
$
Mình giải thử bài 3 nha
Xét 2 trường hợp:
1. $x,y,z=0 $thỏa mãn nghiệm hệ. Vậy hệ có nghiệm $x=y=z=0 $
2. Nếu ít nhất 1 số khác 0,từ pt thứ 3 suy ra $x>0 $suy ra $y,z>0 $
Nhân cả 3 vế lại với nhau ta có: $\frac{8x^2y^2z^2}{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}=xyz $$\Leftrightarrow $$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=8xyz $
Lại có $1+x^2\geq2x, 1+y^2\geq2y, 1+z^2\geq2z $ $\Rightarrow $$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)\geq8xyz $
Dấu''='' xảy ra khi $x=y=z=1 $
Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0), (1;1;1) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
NOTHING IS IMPOSSIBLE
boheoga9999 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 7 Users Say Thank You to boheoga9999 For This Useful Post:
Ino_chan (27-03-2011), motngaytotlanh (21-09-2012), nguyenxuanthai (29-03-2013), nhat7d (03-07-2011), phantiendat_hv (19-03-2011), pontriagin (30-06-2011), SmathsVN (06-04-2012)
Old 19-03-2011, 04:55 PM   #3
Quydo
+Thành Viên+
 
Quydo's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Bài gởi: 182
Thanks: 143
Thanked 79 Times in 55 Posts
Bài 1
Ta có $(I)HPT\Leftrightarrow \begin{cases}
& x^2+y^2=5 \\
& (x+y)[(x^2+y^2)^2-x^2y^2-xy(x^2+y^2)-11]=0
\end{cases} $
Bằng phép thế dễ có $(I)\Leftrightarrow \begin{cases}
& x^2+y^2=5 \\
&(x+y)(xy-2)(xy+7)=0
\end{cases} $

Bạn xem lại đề bài 4 cái !?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
MH
MH

thay đổi nội dung bởi: Quydo, 19-03-2011 lúc 06:14 PM
Quydo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to Quydo For This Useful Post:
Ino_chan (27-03-2011), nhat7d (03-07-2011), phantiendat_hv (19-03-2011), SmathsVN (06-04-2012)
Old 19-03-2011, 05:36 PM   #4
kandten
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 15
Thanks: 6
Thanked 7 Times in 5 Posts
Bài 2:
Cộng vế với vế của hệ pt rối viết về pt tích
(2x+y-3)(x+y-2)= 0
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kandten is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to kandten For This Useful Post:
nhat7d (03-07-2011), pontriagin (25-04-2012), SmathsVN (06-04-2012)
Old 19-03-2011, 07:24 PM   #5
Persian
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: Có những thứ mình đã nhẫn tâm đánh mất sẽ không bao giờ lấy lại được.
Bài gởi: 257
Thanks: 103
Thanked 200 Times in 112 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi phantiendat_hv View Post


Bài 4: $\left\{ \begin{array}{l}
\left| {xy - 4} \right| = 8 \\
xy = 2x^2 \\
\end{array} \right
$

$\[\left\{ \begin{array}{l}
\left| {xy - 4} \right| = 8\\
xy = 2{x^2}
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
xy = 12\\
xy = - 4
\end{array} \right.\\
2{x^2} = xy
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy = 12\\
{x^2} = 6
\end{array} \right. $
$\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 6 \\
y = 2\sqrt 6
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = - \sqrt 6 \\
y = - 2\sqrt 6
\end{array} \right.
\end{array} \right.\] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Persian, 19-03-2011 lúc 07:27 PM
Persian is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Persian For This Useful Post:
phantiendat_hv (19-03-2011)
Old 19-03-2011, 07:28 PM   #6
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,967 Times in 1,295 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi boheoga9999 View Post
Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\
z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\
x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\
\end{array} \right
$
Mình giải thử bài 3 nha
Xét 2 trường hợp:
1. $x,y,z=0 $thỏa mãn nghiệm hệ. Vậy hệ có nghiệm $x=y=z=0 $
2. Nếu ít nhất 1 số khác 0,từ pt thứ 3 suy ra $x>0 $suy ra $y,z>0 $
Nhân cả 3 vế lại với nhau ta có: $\frac{8x^2y^2z^2}{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}=xyz $$\Leftrightarrow $$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=8xyz $
Lại có $1+x^2\geq2x, 1+y^2\geq2y, 1+z^2\geq2z $ $\Rightarrow $$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)\geq8xyz $
Dấu''='' xảy ra khi $x=y=z=1 $
Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0), (1;1;1) $
Bạn xem lại đi Bài này làm chưa ổn. Ít nhất là thiếu nghiệm $(-1;-1;-1) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to batigoal For This Useful Post:
Akira Vinh HD (17-12-2014), Ino_chan (27-03-2011), nhat7d (03-07-2011)
Old 19-03-2011, 07:49 PM   #7
Persian
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: Có những thứ mình đã nhẫn tâm đánh mất sẽ không bao giờ lấy lại được.
Bài gởi: 257
Thanks: 103
Thanked 200 Times in 112 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi phantiendat_hv View Post
Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\
z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\
x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\
\end{array} \right
$
Sửa cách của bạn

Nhân 3 pt của hệ có
$xyz=\frac{8xyz}{(x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)} $

$\Rightarrow x=0 $thì $y=z=0 $ TH$ y=0 $ hoặc$ z=0 $ tương tự thì chỉ có nghiệm (0;0;0)
Nếu $(x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)=8(*) $
Dễ thấy x;y;z cùng dấu nếu$ (x;y;z) $ là nghiêm thì (-x;-y;-z) cũng là nghiệm vậy ta chỉ TH $x,y,z>0 $
Từ $x^2+1 \geq 2|x|=2x $
Nên$y=\frac{2x}{x^2+1} \le 1 $

tương tự $x;z \le 1 $
$VT(*) \le 8 $
Dấu $"=" $ xảy ra khi $x=y=z=1 $
Do đó $(-1;-1;-1) $ cũng là nghiệm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Persian is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to Persian For This Useful Post:
cool hunter (12-05-2013), ilovehien95 (09-07-2011), Ino_chan (27-03-2011), motngaytotlanh (21-09-2012), nhat7d (03-07-2011), phantiendat_hv (19-03-2011)
Old 19-03-2011, 09:25 PM   #8
phantiendat_hv
+Thành Viên Danh Dự+
 
phantiendat_hv's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: Bình Phước.....$ xứ bụi $
Bài gởi: 379
Thanks: 273
Thanked 408 Times in 184 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới phantiendat_hv
Bài 5:
$\left\{ \begin{array}{l}
xy=x^2+y^2\\
(x+1)^4+(1-y)^4=1\\
\end{array} \right $

Mình xin lỗi về bài 4
xin sửa lại là :
phuơng trình của hệ đầu là y-8
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Phan Tiến Đạt

thay đổi nội dung bởi: phantiendat_hv, 19-03-2011 lúc 09:29 PM
phantiendat_hv is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to phantiendat_hv For This Useful Post:
nhat7d (03-07-2011)
Old 19-03-2011, 09:28 PM   #9
duynhan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Bài gởi: 231
Thanks: 103
Thanked 118 Times in 68 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi phantiendat_hv View Post
Bài 5:
$\left\{ \begin{array}{l}
xy=x^2+y^2\\
(x+1)^4+(1-y)^4=1\\
\end{array} \right $
Nhầm lẫn gì không nhỉ

Từ (1) suy ra : $x=y=0 \| \ \ (x-\frac12y)^2 + \frac34y^2 = 0 $

Thế vào (2) không thỏa ---> Vô nghiệm
------------------------------
$\fbox{Bai 7} \\ \left\{ \begin{matrix}a(a+b)= 3 \\ b(b+c)=30 \\ c(c+a) = 12 \end{matrix} \right. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: duynhan, 19-03-2011 lúc 09:34 PM Lý do: Tự động gộp bài
duynhan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to duynhan For This Useful Post:
nhat7d (03-07-2011)
Old 19-03-2011, 11:04 PM   #10
Unknowing
+Thành Viên+
 
Unknowing's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: THPT Hùng Vương Bình Phước( ۩xứ bụi ۩)
Bài gởi: 303
Thanks: 421
Thanked 302 Times in 164 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Unknowing
Trích:
Nguyên văn bởi phantiendat_hv View Post

Bài 2: $\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 + xy = 3 \\
x^2 + 2xy = 7x + 5y - 9 \\
\end{array} \right
$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x^2 + xy = 3 -y^2\\
x^2 + x(2y-7 )= 5y - 9 \\
\end{array} \right $

đặt $t=x^2 $

hệ trở thành $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t + xy = 3 -y^2\\
t + x(2y-7 )= 5y - 9 \\
\end{array} \right $

ta có
$D=y-7 $

$D_t=-2y^3+2y^2+15y-21 $

$D_x=y^2+5y-12 $

nhận thấy y=7 không phải là nghiệm
xét y khác 7
suy ra
$t=\frac{D_t}{D}=\frac{-2y^3+2y^2+15y-21}{y-7} $

$x=\frac{D_x}{D}=\frac{y^2+5y-12}{y-7} $

mà $t=x^2 $
suy ra
$\frac{-2y^3+2y^2+15y-21}{y-7}=[\frac{y^2+5y-12}{y-7}]^2 $

$=\Rightarrow y=1 \vee y=-1 $ thữ lại vào trên là kết thúc ...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$Le~Thien~Cuong $
Unknowing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to Unknowing For This Useful Post:
phantiendat_hv (20-03-2011), pontriagin (13-05-2011), thichhoctoanla (30-09-2012)
Old 20-03-2011, 12:24 AM   #11
Unknowing
+Thành Viên+
 
Unknowing's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: THPT Hùng Vương Bình Phước( ۩xứ bụi ۩)
Bài gởi: 303
Thanks: 421
Thanked 302 Times in 164 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Unknowing
Bài 8

$\left\{ \begin{matrix} x^4-y^4=\dfrac{121x-122y}{4xy} \\ x^4+14x^2y^2+y^4=\dfrac{122x+121y}{x^2+y^2} \end{matrix} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$Le~Thien~Cuong $
Unknowing is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Unknowing For This Useful Post:
Infinitedreams (28-09-2014)
Old 20-03-2011, 01:02 AM   #12
maxmin
+Thành Viên+
 
maxmin's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 304
Thanks: 70
Thanked 142 Times in 89 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi phantiendat_hv View Post
Bài 2: $\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 + xy = 3 \\
x^2 + 2xy = 7x + 5y - 9 \\
\end{array} \right
$
$\[\left\{ \begin{array}{l}
x = X + 1\\
y = Y + 1
\end{array} \right.\] $
Ta có :
$\[\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {X + Y} \right)^2} + 3\left( {X + Y} \right) - XY = 0\\
{X^2} - 3\left( {X + Y} \right) + XY = 0
\end{array} \right.\] $
Suy ra:
$\[2{X^2} + 3XY + {Y^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = - \frac{Y}{2}\\
X = - Y
\end{array} \right.\] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
maxmin is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 9 Users Say Thank You to maxmin For This Useful Post:
handsomeboy (30-03-2012), H_scorpio_95 (31-07-2011), ilikeit (07-06-2012), lady_kom4 (24-05-2011), motngaytotlanh (21-09-2012), pontriagin (13-05-2011), Quydo (20-03-2011), thanhgand (06-05-2011), Yucio.3bi_love (12-07-2011)
Old 20-03-2011, 06:40 AM   #13
asdfghj
+Thành Viên+
 
asdfghj's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: Hải Dương
Bài gởi: 214
Thanks: 139
Thanked 128 Times in 71 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
Bạn xem lại đi Bài này làm chưa ổn. Ít nhất là thiếu nghiệm $(-1;-1;-1) $
Từ các phương trình suy ra x, y, z >0 là chưa đúng, chỉ suy được chúng<1/2
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
ONLY ME
asdfghj is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-03-2011, 08:08 AM   #14
Quydo
+Thành Viên+
 
Quydo's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Bài gởi: 182
Thanks: 143
Thanked 79 Times in 55 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi asdfghj View Post
Từ các phương trình suy ra x, y, z >0 là chưa đúng, chỉ suy được chúng<1/2
Ở đây sử dụng nhận xét nếu (x;y;z) là nghiệm thì (-x;-y;-z) cũng là nghiệm thì ta đc quyền giả sử x,y,z ko âm rồi tìm nghiệm giả sử ra đc nghiệm là (1;1;1) và (2;0;1) thì KL hệ có 4 nghiệm là (1;1;1);(-1;-1;-1);(2;0;1);(-2;0;-1)
Sau đó giải như persian
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
MH
MH

thay đổi nội dung bởi: Quydo, 20-03-2011 lúc 08:15 AM
Quydo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 20-03-2011, 08:49 AM   #15
boheoga9999
+Thành Viên+
 
boheoga9999's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Đến từ: Tp_HCM
Bài gởi: 170
Thanks: 109
Thanked 60 Times in 32 Posts
Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\
z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\
x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\
\end{array} \right
$
Mình giải thử cách 2 nha
Từ hệ đã cho suy ra $x\geq0, y\geq0, z\geq0 $
Ta có BĐT $\frac{2x}{1+x^2}\leq1 $
$\Rightarrow y=\frac{2x^2}{1+x^2}=x.\frac{2x}{1+x^2}\leq x} $ (1)
Tương tự $z\leq y, x\leq z $ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow x=y=z $
Từ đó ta có $x=\frac{2x^2}{1+x^2}\Leftrightarrow x=0 $ hoặc $x=1 $
Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0), (1;1;1) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
NOTHING IS IMPOSSIBLE
boheoga9999 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to boheoga9999 For This Useful Post:
daylight (20-03-2011)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:18 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 115.49 k/132.93 k (13.12%)]