Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2012

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 11-01-2012, 07:24 PM   #16
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
VMO P4

Làm giống như bạn Mashimaru ở post phía trên, ta cần phải chứng minh bất đẳng thức:

$\sum\limits_{k=1}^{n}k(a_k+b_k)\le \frac{n(n+1)(8n+1)}{6} $ với $1\le a_1<a_2<\dots<a_n\le 2n $, $1\le b_1<b_2<\dots<b_n\le 2n $ và $a_1,a_2,...,a_n,b_1,...,b_n $ là một hoán vị của $1,2,...,2n $.

Với cách sắp xếp thứ tự trên thì ta có các điều kiện của bất đẳng thức Karamata được thỏa mãn:

$a_n + b_n \le 2n + 2n-1; $
$a_n + b_n + a_{n-1} + b_{n-1}\le 2n + 2n-1 + 2n-2 + 2n-3; $

$\sum\limits_{k=i}^{n}(a_k+b_k)\le \sum\limits_{k=i}^{n}(2k+2k-1) $ với mọi $i = 1,2,...,n $ và với $i = 1 $ thì ta có đẳng thức.

Áp dụng bất đẳng thức Karamata (hoặc có thể chứng minh bằng khai triển tổng Abel (2 dòng)):

$\sum\limits_{k=1}^{n}k(a_k+b_k)\le \sum\limits_{k=1}^nk(4k-1) = \frac{n(n+1)(8n+1)}{6} $. ĐPCM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.

thay đổi nội dung bởi: Traum, 11-01-2012 lúc 07:33 PM
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Traum For This Useful Post:
Highschoolmath (11-01-2012)
Old 11-01-2012, 07:58 PM   #17
nghiepdu-socap
+Thành Viên+
 
nghiepdu-socap's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 193
Thanks: 195
Thanked 129 Times in 72 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi shido_soichua View Post
Bạn giải thích cho mình cái nhận xét 1 cái. Mình ko hiểu lắm. Nam nữ sắp xếp bất kì mà
Ý mình đây là điều kiện để tổng số kẹo đạt max
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nghiepdu-socap is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 09:16 PM   #18
mathstarofvn
+Thành Viên+
 
mathstarofvn's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: A1 LQĐ_ĐN
Bài gởi: 60
Thanks: 4
Thanked 19 Times in 13 Posts
Ý tưởng của mình là đầu tiên cm để nhận số kẹo nhiều nhất thì 2 bạn đứng đầu phải khác giới tính. Sau đó quy nạp nếu xếp các bạn từ 1 đến i mà xen kẽ nam nữ thì xếp bạn i+1 khác giới tính với bạn vị trí thứ i sẽ cho ta số kẹo ko ít hơn số kẹo khi mà i+1 cùng giới tính vs i. Cứ thế thì sẽ suy ra là xen kẽ sẽ đạt max
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
mathstarofvn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2012, 09:26 PM   #19
ThangToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 567
Thanks: 24
Thanked 536 Times in 262 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Bài 4 (5 điểm) .
Cho số nguyên dương $n $. Có $n $ học sinh nam và $n $ học sinh nữ xếp thành một hàng ngang, theo thứ tự tùy ý. Mỗi học sinh (trong số $2n $ học sinh vừa nêu) được cho một số kẹo bằng đúng số cách chọn ra hai học sinh khác giới với X và đứng ở hai phía của $X $. Chứng minh rằng tổng số kẹo mà tất cả $2n $ học sinh nhận được không vượt quá $\frac{1}{3}n(n^2-1) $.
Tôi trình bày lại lời giải bài toán này một cách chi tiết như sau:
Bài này có thể làm như sau:
Trước hết ta đánh số $2n $ học sinh có vị trí là $1, 2, ..., 2n $. Giả sử học sinh nam ở các vị trí $i_1, i_2, ..., i_n $. Khi đó với học sinh nam ở vị trí thứ $i_k $ thì số kẹo nhận được là: $\[\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)\] $. Do đó tổng số kẹo n học sinh nam nhận được là:
$\[\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)} \] $.
Tiếp theo ta tính số kẹo của học sinh nữ.
Số kẹo mà các học sinh nữ ở vị trí $<i_1 $ bằng 0. Số kẹo mà các học sinh nữ ở bị trí $>i_n $ bằng 0.
số kẹo mà các học sinh nữ ở vị trí h sao cho $i_k<h<i_{k+1}; k=1,...,n-1 $ bằng $\[k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)\] $ suy ra tổng số kẹo mà n học sinh nữ nhận được là:
$\[\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)} $
Do đó tổng số kẹo các học sinh nhận được bằng:
$\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)} +\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)} $
Sau đó chứng minh
$\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)} +\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)}\le \frac{1}{3}n(n^2-1) $
Thật vậy, $\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)} +\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)} $
$=\sum\limits_{k = 1}^n {n{i_k}} - n\sum\limits_{k = 1}^n k - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - k} \right)}^2}} + n\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {{i_{k + 1}} - {i_k}} \right)} - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{k^2}\left( {{i_{k + 1}} - {i_k}} \right)} - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)} $
$=\sum\limits_{k = 1}^n {n{i_k}} - \frac{{{n^2}\left( {n + 1} \right)}}{2} - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - k} \right)}^2}} - n\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{i_{k + 1}}} + n\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {\left( {k + 1} \right){i_{k + 1}} - k{i_k}} \right)} + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {2k + 1} \right){i_{k + 1}}} - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {{{\left( {k + 1} \right)}^2}{i_{k + 1}} - {k^2}{i_k}} \right)} - \frac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)}}{6} $
$= - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - k} \right)}^2}} + \sum\limits_{k = 1}^{n } {\left( {2k - 1} \right){i_{k }}} $
$=\frac{{ - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - 2k} \right)}^2}} - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - 2k + 1} \right)}^2}} + \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} + \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {k - 1} \right)}^2}} }}{2} $
$= - \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - 2k} \right)}^2}} + \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - 2k + 1} \right)}^2}} + n}}{2} + \frac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)}}{3} $ (1)
Với chú ý ${\left( {{i_k} - 2k} \right)^2} + {\left( {{i_k} - 2k + 1} \right)^2} \ge 1, \forall k, 1\le k\le n $ nên từ (1) ta có đpcm.
Dấu bằng chẳng hạn $i_k=2k, k=1, 2, ..., n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: ThangToan, 11-01-2012 lúc 09:57 PM
ThangToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to ThangToan For This Useful Post:
Highschoolmath (11-01-2012), hoangkhtn2010 (11-01-2012)
Old 11-01-2012, 11:54 PM   #20
anhdunghmd
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Kiên Giang
Bài gởi: 6
Thanks: 42
Thanked 4 Times in 3 Posts
Bài tổ hợp

Không biết đánh Latex khổ thật. Chắc phải học thôi. Bài 4, mọi người Check dùm nhé.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : doc Bài 4.doc (71.5 KB, 45 lần tải)
anhdunghmd is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 03:26 AM   #21
hungmat
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2
Thanks: 1
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ThangToan View Post
Tôi trình bày lại lời giải bài toán này một cách chi tiết như sau:
Bài này có thể làm như sau:
Trước hết ta đánh số $2n $ học sinh có vị trí là $1, 2, ..., 2n $. Giả sử học sinh nam ở các vị trí $i_1, i_2, ..., i_n $. Khi đó với học sinh nam ở vị trí thứ $i_k $ thì số kẹo nhận được là: $\[\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)\] $. Do đó tổng số kẹo n học sinh nam nhận được là:
$\[\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)} \] $.
Tiếp theo ta tính số kẹo của học sinh nữ.
Số kẹo mà các học sinh nữ ở vị trí $<i_1 $ bằng 0. Số kẹo mà các học sinh nữ ở bị trí $>i_n $ bằng 0.
số kẹo mà các học sinh nữ ở vị trí h sao cho $i_k<h<i_{k+1}; k=1,...,n-1 $ bằng $\[k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)\] $ suy ra tổng số kẹo mà n học sinh nữ nhận được là:
$\[\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)} $
Do đó tổng số kẹo các học sinh nhận được bằng:
$\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)} +\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)} $
Sau đó chứng minh
$\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)} +\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)}\le \frac{1}{3}n(n^2-1) $
Thật vậy, $\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{i_k} - k} \right)\left( {n + k - {i_k}} \right)} +\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)\left( {{i_{k + 1}} - {i_k} - 1} \right)} $
$=\sum\limits_{k = 1}^n {n{i_k}} - n\sum\limits_{k = 1}^n k - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - k} \right)}^2}} + n\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {{i_{k + 1}} - {i_k}} \right)} - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{k^2}\left( {{i_{k + 1}} - {i_k}} \right)} - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {k\left( {n - k} \right)} $
$=\sum\limits_{k = 1}^n {n{i_k}} - \frac{{{n^2}\left( {n + 1} \right)}}{2} - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - k} \right)}^2}} - n\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{i_{k + 1}}} + n\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {\left( {k + 1} \right){i_{k + 1}} - k{i_k}} \right)} + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {2k + 1} \right){i_{k + 1}}} - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {{{\left( {k + 1} \right)}^2}{i_{k + 1}} - {k^2}{i_k}} \right)} - \frac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)}}{6} $
$= - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - k} \right)}^2}} + \sum\limits_{k = 1}^{n } {\left( {2k - 1} \right){i_{k }}} $
$=\frac{{ - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - 2k} \right)}^2}} - \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - 2k + 1} \right)}^2}} + \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} + \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {k - 1} \right)}^2}} }}{2} $
$= - \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - 2k} \right)}^2}} + \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {{i_k} - 2k + 1} \right)}^2}} + n}}{2} + \frac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)}}{3} $ (1)
Với chú ý ${\left( {{i_k} - 2k} \right)^2} + {\left( {{i_k} - 2k + 1} \right)^2} \ge 1, \forall k, 1\le k\le n $ nên từ (1) ta có đpcm.
Dấu bằng chẳng hạn $i_k=2k, k=1, 2, ..., n $
Cách làm của bạn rất hay tuy nhiên đoạn cuối bị nhầm 1 tý, phải là tổng của ${\left( {{i_k} - 2k} \right)^2} + {\left( {{i_k} - 2k} \right)} $ >=0 với chạy từ 1 đến n, đặt a = ${\left( {{i_k} - 2k} \right)} $ là số nguyên nên phương trình ${\left( {a} \right)^2} + {\left( {a} \right)} $ luôn không âm, dấu = xảy ra khi a = 0 hoặc a = -1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: hungmat, 12-01-2012 lúc 03:34 AM
hungmat is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 04:52 AM   #22
ThangToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 567
Thanks: 24
Thanked 536 Times in 262 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hungmat View Post
Cách làm của bạn rất hay tuy nhiên đoạn cuối bị nhầm 1 tý, phải là tổng của ${\left( {{i_k} - 2k} \right)^2} + {\left( {{i_k} - 2k} \right)} $ >=0 với chạy từ 1 đến n, đặt a = ${\left( {{i_k} - 2k} \right)} $ là số nguyên nên phương trình ${\left( {a} \right)^2} + {\left( {a} \right)} $ luôn không âm, dấu = xảy ra khi a = 0 hoặc a = -1
Không biến đổi nhầm đâu bạn: chú ý $\[\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {2k - 1} \right){i_k}} = \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {2k{i_k}} \right)} + \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\left( {2k - 2} \right){i_k}} \right)} }}{2}\] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ThangToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 08:48 AM   #23
let
+Thành Viên Danh Dự+
 
let's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 168
Thanks: 16
Thanked 42 Times in 25 Posts
Tôi chứng minh qua 3 bước: đầu tiên nếu nam ở cuối, nữ cuối ở vị trí $k <2n-1 $ thì đổi vị trí nữ cuối với nam ở vị trí $2n-1 $, vị trí mới này nhiều kẹo hơn. Sau đó chỉ ra nếu cuối cùng là nam nữ hay nữ nam đều như nhau. Cuối cùng chỉ ra xen kẽ là một trường hợp thoả mãn. Tất cả các trường hợp thoả mãn là vị trí thứ $2k-1 $ và $2k $ là nam nữ hoặc nữ nam với mọi $k $ từ $1 $ đến $n $. Bài này dễ bị nhầm dấu bằng dẫn đến định hướng giải nhầm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Rồng sa vũng cạn bị lươn ghẹo!
Hổ xuống đất bằng bị chó khinh!

thay đổi nội dung bởi: let, 12-01-2012 lúc 07:04 PM
let is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 11:22 AM   #24
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Thằng này chữ nghĩa sao như các cháu teen thế này? Không gõ tử tế được à?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 07:00 PM   #25
let
+Thành Viên Danh Dự+
 
let's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 168
Thanks: 16
Thanked 42 Times in 25 Posts
Hic, lúc sáng em post bài từ di động, được thế là may lắm rồi!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Rồng sa vũng cạn bị lươn ghẹo!
Hổ xuống đất bằng bị chó khinh!
let is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 09:29 PM   #26
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Bài toán luyện tập:

Trên một đường tròn có $2n $ điểm, $n $ điểm xanh và $n $ điểm đỏ. Một điểm là tốt nếu nó là giao của hai dây cung: một cung có hai đầu mút xanh và dây cung còn lại có hai đầu mút đỏ. Hãy tính số lớn nhất và nhỏ nhất các điểm tốt có thể.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 10:05 PM   #27
kien10a1
+Thành Viên+
 
kien10a1's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc
Bài gởi: 371
Thanks: 43
Thanked 263 Times in 153 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kien10a1
Em giải theo hướng này, có vẻ đơn giản.
Giả sử n bạn nam theo thứ tự từ trái qua phải là $A_{1},A_2...A_n $ và bên trái $A_i $có $b_i $ bạn nữ,$ b_i $ tự nhiên, có thể là 0, không vượt quá n.
Số kẹo $A_i $ nhận là $b_i(n-b_i) $
Dễ thấy $b_1,b_2,...b_n $ là dãy tăng ( không nhất thiết nghiêm ngặt)
Giữa $A_i,A_{i+1} $ có $ b_{i+1}-b_i $ bạn nữ, mỗi bạn này nhận $i(n-i) $ kẹo( có thể không có bạn nữ nào)
Tổng số kẹo các bạn nữ nhận là:
S= $\sum_{1}^{n}( b_{i+1}-b_i)i(n-i) $
Số lần xuất hiện của $b_i $ trong S là $(i-1)(n-i+1)-i(n-i)=2i-1-n $, do vậy S= $\sum_{1}^{n}b_i(2i-1-n) $
Suy ra tổng số kẹo 2n bạn nhận là T=$\sum_{1}^{n}b_i(2i-1-b_i) $
Ta có $(b_i-i)(b_i-(i-1))\geq0 $ do $b_i $ nguyên, suy ra $i(i-1) \geq b_i(2i-1-b_i) $
Do vậy T không vượt quá $0.1+1.2+...+(n-1)n=\frac{n(n^2-1)}{3} $, có đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Quay về với nơi bắt đầu

thay đổi nội dung bởi: kien10a1, 12-01-2012 lúc 10:49 PM
kien10a1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to kien10a1 For This Useful Post:
nghiepdu-socap (13-01-2012), ntuan5 (24-09-2013), tangchauphong (19-01-2012)
Old 13-01-2012, 12:43 AM   #28
ThangToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 567
Thanks: 24
Thanked 536 Times in 262 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kien10a1 View Post
Em giải theo hướng này, có vẻ đơn giản.
Giả sử n bạn nam theo thứ tự từ trái qua phải là $A_{1},A_2...A_n $ và bên trái $A_i $có $b_i $ bạn nữ,$ b_i $ tự nhiên, có thể là 0, không vượt quá n.
Số kẹo $A_i $ nhận là $b_i(n-b_i) $
Dễ thấy $b_1,b_2,...b_n $ là dãy tăng ( không nhất thiết nghiêm ngặt)
Giữa $A_i,A_{i+1} $ có $ b_{i+1}-b_i $ bạn nữ, mỗi bạn này nhận $i(n-i) $ kẹo( có thể không có bạn nữ nào)
Tổng số kẹo các bạn nữ nhận là:
S= $\sum_{1}^{n}( b_{i+1}-b_i)i(n-i) $
Số lần xuất hiện của $b_i $ trong S là $(i-1)(n-i+1)-i(n-i)=2i-1-n $, do vậy S= $\sum_{1}^{n}b_i(2i-1-n) $
Suy ra tổng số kẹo 2n bạn nhận là T=$\sum_{1}^{n}b_i(2i-1-b_i) $
Ta có $(b_i-i)(b_i-(i-1))\geq0 $ do $b_i $ nguyên, suy ra $i(i-1) \geq b_i(2i-1-b_i) $
Do vậy T không vượt quá $0.1+1.2+...+(n-1)n=\frac{n(n^2-1)}{3} $, có đpcm
Ta phải có S= $\sum_{i=1}^{n-1}( b_{i+1}-b_i)i(n-i) $
Ta biến tổng S như sau:
$S = n\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {\left( {i + 1} \right){b_{i + 1}} - i{b_i}} \right)} - n\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{b_{i + 1}}} - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {{{\left( {i + 1} \right)}^2}{b_{i + 1}} - {i^2}{b_i}} \right)} + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {2i + 1} \right){b_{i + 1}}} $
$={n^2}{b_n} - n{b_1} - n\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{b_{i + 1}}} - {n^2}{b_n} + {b_1} + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {2i + 1} \right){b_{i + 1}}} $
$= - n\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} + \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {2i - 1} \right){b_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}\left( {2i - 1 - n} \right)} $

Sau khi tính được tổng S như trên thì cách chứng minh tương tự lời giải của em.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: ThangToan, 13-01-2012 lúc 01:03 AM
ThangToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to ThangToan For This Useful Post:
nghiepdu-socap (13-01-2012)
Old 14-01-2012, 12:41 AM   #29
beyondinfinity
+Thành Viên+
 
beyondinfinity's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Bài gởi: 456
Thanks: 64
Thanked 215 Times in 143 Posts
Đại số nhiều hơn tổ hợp?
0 là nữ, 1 là nam.
Gọi $s_i $ là số số 0 ở trước số 1 thứ $i $.
Như vậy ta tính được:
Số kẹo trao cho những số 0 sẽ bằng các bộ 101 mà như thế thì ta sẽ có:
Với số 0 nằm giữa số 1 vị trí $i-1 $ và $i $ sẽ nhận:
$(i-1)(n-i+1) $
Tổng số kẹo này là:
$\sum_{i=1}^{n}{(s_i-s_{i-1})(i-1)(n-i+1)} $
Số kẹo trao cho những số 1 sẽ bằng các bộ 010 mà như thế thì ta sẽ có:
$s_i(n-s_i) $
Tổng số kẹo này là:
$\sum_{i=1}^n s_i(n-s_i) $
Vậy tất cả số kẹo là:
$\sum_{i=1}^{n}{(s_i-s_{i-1})(i-1)(n-i+1)}+\sum_{i=1}^n s_i(n-s_i) $
với $s_0=0 $.
Biến đổi tương đương:
$\sum_{i=1}^n s_i(2i-1-s_i)\leq \sum_{i=1}^n i(i-1)=\frac{n(n-1)(n+1)}{3} $.

Đẳng thức không chỉ xảy ra khi 0 và 1 xen kẽ nhau!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: beyondinfinity, 14-01-2012 lúc 11:58 PM
beyondinfinity is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to beyondinfinity For This Useful Post:
king_math96 (09-12-2013)
Old 14-01-2012, 04:03 PM   #30
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 727
Thanks: 602
Thanked 422 Times in 209 Posts
Anh P làm tắt kinh khủng ... anh ghi rõ hơn được ko anh?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:27 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 106.51 k/123.21 k (13.55%)]