Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2012

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 12-01-2012, 11:36 AM   #1
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
[VMO 2012] Bài 6 - Số học

Bài 6 (7 điểm)

Xét các số tự nhiên lẻ $a,b $ mà $a $ là ước số của $b^2+2 $ và $b $ là ước số của $a^2+2 $. Chứng minh rằng $a $ và $b $ là các số hạng của dãy số tự nhiên $(v_n) $ xác định bởi
$v_1=v_2=1 $ và $v_n=4v_{n-1}-v_{n-2} $ với mọi $n \ge 3 $.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: truongvoki_bn, 12-01-2012 lúc 12:21 PM Lý do: Sửa lại đề
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
hoduckhanhgx (12-01-2012), nhox12764 (12-01-2012), sine (12-01-2012), vjpd3pz41iuai (12-01-2012)
Old 12-01-2012, 11:37 AM   #2
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,981
Thanked 2,534 Times in 1,008 Posts
Cái này chả là nghiệm của pt Markov $a^2+b^2+2=k.ab $ à
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 11:38 AM   #3
shido_soichua
Maths is my life
 
shido_soichua's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: Ninh Bình
Bài gởi: 300
Thanks: 31
Thanked 132 Times in 76 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới shido_soichua
Bài này quen quá mà :-ss
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
http://luongvantuy.org/forum.php
Chuyên Văn - Lương Văn Tụy
shido_soichua is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 11:40 AM   #4
vinvin
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2011
Bài gởi: 26
Thanks: 0
Thanked 12 Times in 9 Posts
Bài này Viet nhay khá là quen
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
vinvin is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 11:58 AM   #5
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,401
Thanks: 2,164
Thanked 4,152 Times in 1,370 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Bài 6 (7 điểm)

Xét các số tự nhiên lẻ $a,b $ mà $a $ là ước số của $b^2+2 $ và $b $ là ước số của $a^2+2 $. Chứng minh rằng $a $ và $b $ là các số hạng của dãy số tự nhiên $(v_n) $ xác định bởi
$v_1=v_2=1 $ và $v_n=4v_{n-2}-v_{n-2} $ với mọi $n \ge 3 $.
Bài này có thể dùng điều kiện cần và đủ để làm cho đầy đủ.
Điều kiện đủ là một kết quả quen thuộc về dãy số:
Các số hạng của dãy $(v_n) $ thoả mãn điều kiện: $v_{n}v_{n+2}=v^2_{n+1} +2 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 12:00 PM   #6
shido_soichua
Maths is my life
 
shido_soichua's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: Ninh Bình
Bài gởi: 300
Thanks: 31
Thanked 132 Times in 76 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới shido_soichua
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Bài này có thể dùng điều kiện cần và đủ để làm cho đầy đủ.
Điều kiện đủ là một kết quả quen thuộc về dãy số:
Các số hạng của dãy $(v_n) $ thoả mãn điều kiện:
$v_{n}v_{n+2}=v^2_{n+1} +2 $.
Chuyển về đưa về dạng $v_{n-2}=4v_{n-1}-v_n $ là thành điều kiện tương đương luôn mà anh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
http://luongvantuy.org/forum.php
Chuyên Văn - Lương Văn Tụy
shido_soichua is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 12:10 PM   #7
secret_secret
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 9
Thanks: 12
Thanked 1 Time in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Bài này có thể dùng điều kiện cần và đủ để làm cho đầy đủ.
Điều kiện đủ là một kết quả quen thuộc về dãy số:
Các số hạng của dãy $(v_n) $ thoả mãn điều kiện: $v_{n}v_{n+2}=v^2_{n+1} +2 $.
Vậy nếu viết được đến công thức này:
$v_{n}v_{n+2}=v^2_{n+1} +2 $
nhưng không chứng minh được phần sau thì có được điểm không ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
secret_secret is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 12:11 PM   #8
Thien tai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: vô gia cư
Bài gởi: 157
Thanks: 28
Thanked 55 Times in 36 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Bài 6 (7 điểm)

Xét các số tự nhiên lẻ $a,b $ mà $a $ là ước số của $b^2+2 $ và $b $ là ước số của $a^2+2 $. Chứng minh rằng $a $ và $b $ là các số hạng của dãy số tự nhiên $(v_n) $ xác định bởi
$v_1=v_2=1 $ và $v_n=4v_{n-2}-v_{n-2} $ với mọi $n \ge 3 $.
sai đề rùi tí làm tớ hoảng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
No spam!
Thien tai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 12:12 PM   #9
secret_secret
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 9
Thanks: 12
Thanked 1 Time in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Bài 6 (7 điểm)

Xét các số tự nhiên lẻ $a,b $ mà $a $ là ước số của $b^2+2 $ và $b $ là ước số của $a^2+2 $. Chứng minh rằng $a $ và $b $ là các số hạng của dãy số tự nhiên $(v_n) $ xác định bởi
$v_1=v_2=1 $ và $v_n=4v_{n-2}-v_{n-2} $ với mọi $n \ge 3 $.
Phải là
$v_1=v_2=1 $ và $v_n=4v_{n-1}-v_{n-2} $ với mọi $n \ge 3 $
mới đúng ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
secret_secret is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 03:20 PM   #10
crazy_nhox
+Thành Viên+
 
crazy_nhox's Avatar
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Đến từ: Heaven
Bài gởi: 166
Thanks: 44
Thanked 68 Times in 49 Posts
BÀi này mình chứng minh 3 bước:
i, Tất cả các cặp (a,b) thỏa mãn yêu cầu bài toán là nghiệm tự nhiên của phương trình $a^2+b^2-kab+2=0 $.
ii, k=4.
iii, Tất cả các nghiệm tự nhiên của phương trình $a^2+b^2-4ab+2=0 $ đều có dạng $\left ( v_n,v_{n+1} \right ) $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: crazy_nhox, 12-01-2012 lúc 05:07 PM
crazy_nhox is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 03:44 PM   #11
starfish74
+Thành Viên+
 
starfish74's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2011
Đến từ: Yên Bái
Bài gởi: 2
Thanks: 4
Thanked 1 Time in 1 Post
Các anh chị ơi nếu em chỉ xét rằng k chẵn, xét trường hợp k = 4 mà chưa chứng minh cho k=4 thì có được điểm nào không ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
starfish74 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2012, 04:53 PM   #12
anhdunghmd
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Kiên Giang
Bài gởi: 6
Thanks: 42
Thanked 4 Times in 3 Posts
Bài giải 6

Bài giải hơi dài, check hộ nhé.
Có cách nào ngắn hơn không nhỉ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : doc Bài 6.doc (88.0 KB, 209 lần tải)
anhdunghmd is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to anhdunghmd For This Useful Post:
Thanh vien (13-01-2012), TKT (12-01-2012)
Old 12-01-2012, 05:50 PM   #13
Phan Duy Anh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Việt Nam
Bài gởi: 5
Thanks: 28
Thanked 1 Time in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi crazy_nhox View Post
BÀi này mình chứng minh 3 bước:
i, Tất cả các cặp (a,b) thỏa mãn yêu cầu bài toán là nghiệm tự nhiên của phương trình $a^2+b^2-kab+2=0 $.
ii, k=4.
iii, Tất cả các nghiệm tự nhiên của phương trình $a^2+b^2-4ab+2=0 $ đều có dạng $\left ( v_n,v_{n+1} \right ) $.
Giống mình thế. Bạn là học sinh trường nào vậy?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Phan Duy Anh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Phan Duy Anh For This Useful Post:
cuongpbc (18-01-2012)
Old 12-01-2012, 06:04 PM   #14
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Ta chỉ xét trường hợp cả $a $ và $b $ đều > 1

Nhận xét 1: $(a,b) = 1 $

thật vậy nếu $(a,b) = d > 1 $ thì do $a $ và $b $ đều lẻ nên $d \ge 3 $. Mà theo đề bài thì $b^2 + 2 $ chia hết cho $a $, do đó $2 $ chia hết cho $d $. vô lý

Nhận xét 2: $a^2 + b^2 + 2 $ chia hết cho $ab $.
Thật vậy, do $a^2 + 2 $ chia hết cho $b $ nên $a^2 + b^2 + 2 $ chia hết cho $b $, tuông tự a^2 + b^2 + 2 chia hết cho a. Ngoài ra theo nhận xét $1 $ thì $(a,b) = 1 $, nên $a^2 + b^2 + 2 $ chia hết cho $ab $.

Hệ quả của nhận xét 2: $a^2 + b^2 + 2 = kab $ với $k $ nào đó nguyên dương.

Nhận xét 3: nếu $a>b $ thì $(k-1)b < a < kb $
Thật vậy, $a^2 - (k-1)ab = ab - b^2 - 2 = (a-b)b^2 - 2 > 0 $. nên $a > (k-1)b $. Và, $a^2 < kab $ nên $a < kb $

Nhận xét 4: nếu $(a_0,b_0) $ với $a_0 > b_0 $ thỏa mãn $a_0^2 + b_0^2 + 2 = ka_0b_0 $ thì $(b_0,kb_0-a_0) $ cũng thỏa mãn.

Với nhận xét 1 đến 4 thì ta sẽ thu được dãy $(a_n,b_n) $ với $a_{n+1} = b_n $ và $b_{n+1} = kb_n-a_n $.
Dãy đó sẽ dừng khi $b_n = 1 $ với $n = n_0 $ nào đó. Ta sẽ chứng minh lúc đó $a_n = 3 $. Thật vậy: $a_n^2 + b_n^2 + 2 = $ $ka_nb_n $ nên $a_n^2 + 3 = ka_n $. Do đó $a_n | 3 $ mà $a_n > 1 $ nên $a_n = 3 $. và $k = 4 $

Vậy ta có $a_{n_0} = 3, b_{n_0} = 1 $
Đặt $v_{1} = 1, v_{2} = b_{n_0} = 1 $.
Ta có $a_{n_0} = 3 = v_{3}. $
$ b_{n_0-1} = a_{n_0} = v_{3}; a_{n_0-1} = 4b_{n_0-1} - b_{n_0} = v_{4} $. Cứ như thế ta có $a_0 $ và $b_0 $ là phần tử của dãy $v_n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to Traum For This Useful Post:
anhdunghmd (12-01-2012), bboy114crew (20-08-2012), crazy_nhox (12-01-2012), iron-army (26-09-2012), supermouse (13-01-2012), TKT (12-01-2012)
Old 12-01-2012, 06:17 PM   #15
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Bạn nào cần tìm hiểu thêm về phương pháp trên có thể Google với từ "Vieta jumping".
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to n.t.tuan For This Useful Post:
AnhIsGod (12-01-2012)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 10:10 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 97.57 k/113.86 k (14.30%)]