Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2012

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 23-02-2012, 07:30 PM   #31
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Bài 9: (Gray Coding in Communication)

Cho $N $ là một số nguyên dương. Hãy chứng minh

a) Có thể điền các số từ $1, 2, ..., 2^N $ lên các đỉnh của một $2^N $ - giác đều, sao cho hai số đứng kề nhau có hiệu là một lũy thừa của 2. ( Chú ý số 1 cũng được xem là một lũy thừa của 2)

b) Có thể điền các số từ $1,2,...,4^N $ lên các ô vuông đơn vị của một bảng $2^N\times 2^N $ sao cho hai số ở hai ô cạnh nhau thì có hiệu là một lũy thừa của 2.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-02-2012, 09:39 PM   #32
kien10a1
+Thành Viên+
 
kien10a1's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc
Bài gởi: 371
Thanks: 43
Thanked 263 Times in 153 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kien10a1
Trích:
Nguyên văn bởi cleverboy View Post
Em xin giải bài 10. Em đánh vội nên nếu khó đọc thì mong thầy thông cảm cho em!
Em nghĩ có cách đơn giản hơn

Gọi K là trung điểm AI thì K thuộc (I), tiếp tuyến KS của (I) với S trên BC là trung trực AI, SK cắt lại cung AB không chứa C tại P thì C,I, P thẳng hàng.
vẽ SI cắt (CPS) tại O', suy ra O'P=O'C, và $\widehat{SO'C}= \widehat{SPC}=\widehat{NBC } $ nên O'ICB nội tiếp, dễ thấy O cũng thuộc trung trực PC, và $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}=120=\widehat{BIC} $ , nên O trùng O', suy ra ĐPCM
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Quay về với nơi bắt đầu
kien10a1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-02-2012, 10:52 PM   #33
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,062 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Các bạn thân mến, như vậy là đã có kết quả sơ bộ VMO (dù là từ các nguồn thông tin rời rạc). Có lẽ chỉ ngày mai thôi là sẽ có kết quả chính thức. Trong số các thí sinh, sẽ có những người đạt giải, được tham dự kỳ thi TST, có thí sinh chỉ đạt giải ba, giải KK, và cũng có rất nhiều thí sinh không đạt giải. Đó cũng là chuyện bình thường trong bất kỳ một cuộc thi nào. Có bạn nào đó sẽ cảm thấy nuối tiếc vì đã không làm bài đúng phong độ, đã trình bày không thật tốt, đã sai sót trong tính toán. Tuy nhiên, tất cả rồi sẽ qua đi và những điều tốt đẹp nhất sẽ vẫn còn đọng lại. Ôn luyện cho VMO, các bạn đã học được nhiều kiến thức mới, được thử thách với những bài toán khó, được tư duy, được làm việc và được chuẩn bị cho những thách thức lớn lao hơn còn ở phía trước.

Vì thế, sau khi biết kết quả chính thức VMO, hãy tiếp tục làm tốt các công việc của mình. Các bạn lọt vào Top 42 sẽ chuẩn bị cho kỳ thi chọn đội tuyển. Các bạn còn lại (lớp 12) sẽ ôn thi tốt nghiệp và ôn thi ĐH, các bạn lớp 11 sẽ tìm cách giữ lửa để tiếp tục cho kỳ thi năm sau (hoặc một số bạn sẽ chọn một con đường khác). Các bạn đã cố gắng làm tốt các công việc đã qua, vậy thì hãy tiếp tục cố gắng với những công việc đang tới. Luôn luôn gắng sức và luôn hướng về phía trước. Đó là bí quyết đơn giản của những người thành công.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-02-2012, 05:15 AM   #34
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,062 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Trích:
Nguyên văn bởi hotraitim View Post
Bài 8:Giải phương trình
$25x+9\sqrt{9x^{2}-4}=\frac{2}{x}+\frac{18x}{x^{2}+1} $
Bài này không hợp với màu sắc TST (từ rất lâu TST không có chủ đề phương trình thuần túy như thế này).

Cách giải:
1) Chứng minh phương trình không có nghiệm x >0 (khá dễ dàng)
2) Chứng minh vế trái trừ vế phải là hàm giảm với x < 0 (cái này cũng không khó lắm)
3) Nhận xét $-\frac{\sqrt{2}}{2} $ là nghiệm của phương trình (cái này khó nhất)

Các bạn cũng chú ý một chút về đánh số bài. Hiện giờ bắt đầu lộn xộn rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-02-2012, 10:33 AM   #35
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,397
Thanks: 2,158
Thanked 4,147 Times in 1,367 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi Traum View Post
Bài 9: (Gray Coding in Communication)

Cho $N $ là một số nguyên dương. Hãy chứng minh

a) Có thể điền các số từ $1, 2, ..., 2^N $ lên các đỉnh của một $2^N $ - giác đều, sao cho hai số đứng kề nhau có hiệu là một lũy thừa của 2. ( Chú ý số 1 cũng được xem là một lũy thừa của 2)

b) Có thể điền các số từ $1,2,...,4^N $ lên các ô vuông đơn vị của một bảng $2^N\times 2^N $ sao cho hai số ở hai ô cạnh nhau thì có hiệu là một lũy thừa của 2.
Câu a) thì có thể dùng quy nạp.
Để dự đoán, ta xếp thử vài trường hợp đơn giản:
$N=2 $ thì:
1 3
2 4
Với $N=3 $ thì xếp tương tự theo vòng trên (hình dung đa giác theo chiều từ trái sang đến hết hàng thứ nhất rồi từ phải sang đến hết hàng thứ hai):
4 2 1 3
8 6 5 7
Như thế, ta có thể giải như sau:

- Với $N=1 $, khẳng định hiển nhiên đúng.
- Giả sử khẳng định đúng đến $N=K \ge 1 $ và ta đã xếp được $1, 2, 3, ..., 2^k $ theo thứ tự $a_1, a_2, a_3, ..., a_{2^k} $ trên đa giác $2^k $ cạnh thoả mãn đề bài.
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $a_{2^k} = 2^k} $.
Ta cắt đa giác đó ngay tại số $2^k $ và đặt tất cả các số này lên đa giác $2^{k+1} $ cạnh với đúng thứ tự đó.
Ta cần điền các số từ $2^k+1, 2^k+2,..., 2^{k+1} $ lên các vị trí còn lại.
Ta điền các số lên, bắt đầu từ vị trí liền kề đầu mút là số $2^k $ theo thứ tự sau:
$a_{2^k} + 2^k, a_{2^k-1} + 2^k, a_{2^k-2} + 2^k, ..., a_{1} + 2^k $.
Nói chung là lấy đối xứng các số kia qua rồi công thêm $2^k $ vào từng số.
Như thế, ta đã điền được $2^k $ còn lại vào đa giác $2^{k+1} $ cạnh và khẳng định đúng trong trường hợp $N=k+1 $.
Theo quy nạp, ta có đpcm.

b) Giải tương tự theo ý tưởng quy nạp.
Đầu tiên, xếp các số vào bảng theo kiểu:
1 2
3 4
Sau đó xây dựng các bảng khác từ bảng con này theo đúng mô hình đó và chú ý lấy đối xứng qua như câu a ở trên.
VD xây dựng bảng 4x4 như sau:
1 2 6 5
3 4 8 7
11 12 16 15
9 10 14 13



P/s: Không ai quan tâm bài TST 1990 hết à. Hix!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
pco (03-03-2012)
Old 24-02-2012, 11:45 AM   #36
chemthan
Super Moderator
 
chemthan's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 334
Thanks: 0
Thanked 295 Times in 151 Posts
Bài 10. Với mỗi số nguyên dương $n $ tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình :
$x^2+15y^2=4^n $.
Bài 11. Tìm tất cả các đa thức $P(x) $ hệ số nguyên thỏa mãn :
$2^n|P(3^n) $, với mọi $n\in N* $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
chemthan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-02-2012, 11:47 AM   #37
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,062 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Bài của Traum câu a) có thể phát biểu là: Chứng minh hình lập phương n chiều $Q^n $ có chu trình Hamilton. Từ đó ý tưởng quy nạp là rất rõ ràng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-02-2012, 07:35 PM   #38
Win-DungDan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: Bốn ph­­ưong đều là nhà
Bài gởi: 9
Thanks: 9
Thanked 5 Times in 4 Posts
Tôi thấy có bài BDT rất khó của bạn Cẩn trên mathlinks xin đưa cùng các bạn trải nghiệm:
Bài 12: Cho các số thực dương sao cho a+b+c = 1 . Chứng minh rằng:
$\[\frac{36}{{{a}^{2}}b\text{+}{{b}^{2}}c\text{+}{{c} ^{2}}a}\text{+}\frac{1}{abc}\ge 343\] $ .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Đứa con của thần gió
Win-DungDan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Win-DungDan For This Useful Post:
than-dong (13-10-2013)
Old 24-02-2012, 07:43 PM   #39
than-dong
+Thành Viên+
 
than-dong's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: Gần tòa nhà cao nhất TP Hà Tĩnh
Bài gởi: 17
Thanks: 144
Thanked 4 Times in 4 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Win-DungDan View Post
Tôi thấy có bài BDT rất khó của bạn Cẩn trên mathlinks xin đưa cùng các bạn trải nghiệm:
Bài 12: Cho các số thực dương sao cho a+b+c = 1 . Chứng minh rằng:
$\[\frac{36}{{{a}^{2}}b\text{+}{{b}^{2}}c\text{+}{{c} ^{2}}a}\text{+}\frac{1}{abc}\ge 343\] $ .
Cảm ơn thầy đã đưa lên :
Bài này em thấy hình như dấu đẳng thức không xảy ra tại tâm , cụ thể hơn là $\[a\text{=}\frac{4}{7}{{\sin }^{2}}\frac{4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{7},b\text{=}\frac{4}{7}{{\sin }^{2}}\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{7},c\text{=}\frac{4}{7}{{\sin }^{2}}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{7}\] $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Thần Đồng

"Bâng khuâng trời rộng nhớ sông dài !"
Tại vì anh vô tâm hay tại anh
không quan tâm em mỗi ngày?
than-dong is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-02-2012, 08:20 PM   #40
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,062 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Trích:
Nguyên văn bởi chemthan View Post
Bài 10. Với mỗi số nguyên dương $n $ tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình :
$x^2+15y^2=4^n $.
Bài này liên quan đến bài 4 của VMO 2010 (năm chemthan đoạt HCV IMO). Đáp số có lẽ là n-1. Quy về việc chứng minh phương trình $x^2 + 15y^2 = 4^n $ có đúng 1 nghiệm với x lẻ với mọi $n \ge 2 $.
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi kien10a1 View Post
Em nghĩ có cách đơn giản hơn

Gọi K là trung điểm AI thì K thuộc (I), tiếp tuyến KS của (I) với S trên BC là trung trực AI, SK cắt lại cung AB không chứa C tại P thì C,I, P thẳng hàng.
vẽ SI cắt (CPS) tại O', suy ra O'P=O'C, và $\widehat{SO'C}= \widehat{SPC}=\widehat{NBC } $ nên O'ICB nội tiếp, dễ thấy O cũng thuộc trung trực PC, và $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}=120=\widehat{BIC} $ , nên O trùng O', suy ra ĐPCM
Cảm ơn Kiên. Đúng là có cách như vậy.

Bài này còn có một cách dùng tâm đẳng phương như sau: (do Trần Hoàng Bảo Linh, HS 11 chuyên toán trường PTNK đề xuất)

Nối dài BI cắt (O) tại D, CI cắt (O) tại E.

Khi đó ta có EA = EI, DA = DI (tính chất quen thuộc). Suy ra ED là trung trực AI.

Dùng góc (và điều kiện $A = 60^0 $) dễ dàng chứng minh được O, I, B, C cùng nằm trên 1 đường tròn (C1)và O, I, D, E cùng nằm trên một đường tròn (C2). Suy ra ED, OI, BC là các trục đẳng phương của (O) và (C2), (C1) và (C2), (O) và (C1) suy ra chúng đồng quy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-02-2012, 09:56 PM   #41
nghiepdu-socap
+Thành Viên+
 
nghiepdu-socap's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 193
Thanks: 195
Thanked 129 Times in 72 Posts
Em nghĩ câu b có bài 9 có thể quy nạp dựa vào câu a
Với bảng $2^N\times2^N $ ta xét dãy đã xây dựng ở câu a với độ dài $2^{2N} $
Gọi các số hạng là $a_1,a_2,a_3,...,a_{2^{2N}} $ Ta sắp xếp các số vào bảng như sau:
Ở hàng đầu tiên từ trái qua phải: $a_1,a_2,a_3,...,a_{2^N} $
Ở hàng thứ 2 từ phải sang trái: $a_{2^N+1}, a_{2^N+2},...,a_{2^{N+1}} $
Ở hàng thứ 3 từ trái sang phải ...........
VD vơi bảng $4\times4 $
4 2 1 3
8 6 5 7
16 14 13 15
12 10 9 11
Tương ứng với dãy: 4, 2, 3, 1, 5, 7, 6, 8, 16, 14, 13, 15, 11, 9, 10, 12.
Dễ thấy cách xây dựng bảng này thỏa mãn do cách xây dựng dãy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nghiepdu-socap is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-02-2012, 04:25 AM   #42
king_math96
+Thành Viên+
 
king_math96's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2010
Đến từ: huyện lặng gió, tỉnh quan họ
Bài gởi: 170
Thanks: 156
Thanked 87 Times in 50 Posts
Trích:
Bài 10: Với mỗi số nguyên dương n tìm số nghiệm của phương trình $x^2 + 15y^2 = 4^n $
Trích:
Nguyên văn bởi namdung View Post
Bài này liên quan đến bài 4 của VMO 2010 (năm chemthan đoạt HCV IMO). Đáp số có lẽ là n-1. Quy về việc chứng minh phương trình $x^2 + 15y^2 = 4^n $ có đúng 1 nghiệm với x lẻ với mọi $n \ge 2 $.
Thưa thầy, bài VMO là yêu cầu CM phương trình có ít nhất n nghiệm còn bài này là tìm số nghiệm của phương trình!
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$x^2+y^2+x+y+1=xyz $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Giang hồ đẫm máu anh không sợ
Chỉ sợ đường về vắng bóng em.
king_math96 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-02-2012, 06:34 AM   #43
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,062 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Trích:
Nguyên văn bởi king_math96 View Post
Thưa thầy, bài VMO là yêu cầu CM phương trình có ít nhất n nghiệm còn bài này là tìm số nghiệm của phương trình!
[/TEX]
Chào em, vì thế tôi mới nói là liên quan.

Chú ý là bài VMO yêu cầu chứng minh phương trình $x^2 + 15y^2 = 4^n $ có ít nhất n nghiệm tự nhiên. Trong số các nghiệm tự nhiên có 1 nghiệm với $xy = 0 $ là $(2^n, 0) $, do đó có ít nhất n-1 nghiệm nguyên dương (với $n \ge 2 $). Vấn đề của bài toán chemthan đặt ra là ngoài n-1 nghiệm này còn có nghiệm nào khác không?. (Xem lời giải VMO 2010 để biết cách xây dựng các nghiệm này).

Chú ý là nếu ta chứng minh được chỉ có n-1 nghiệm thì có khả năng sẽ mô tả được tất cả các nghiệm. Quả là rất thú vị. Cảm ơn chemthan!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-02-2012, 11:26 AM   #44
kien10a1
+Thành Viên+
 
kien10a1's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc
Bài gởi: 371
Thanks: 43
Thanked 263 Times in 153 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kien10a1
Bài 10: Theo em thì đáp số đúng là n-1 nghiệm nguyên dương, và ta cũng chỉ cần cm phương trình $x^{2}+15y^{2}=4^n $ có duy nhất nghiệm lẻ là đủ.
Từ phương trình có nếu x,y là nghiệm lẻ thì (x-y)(x+y) chia hết cho 16, suy ra hoặc x-y, hoặc x+y là bội của 8.
Giả sử có a,b,x,y nguyên dương lẻ mà $x^{2}+15y^{2}=4^n=a^{2}+15b^{2} $
Ta xét các trường hợp sau:
+, $a\equiv b(mod8),x\equiv y(mod8) $
Khi đó $ay+bx\equiv 2(mod4) $ mà ta lại có $(ay+bx)(ax+15by)= (a^{2}+15b^{2})xy+ ab(x^{2}+15y^{2})=4^n(xy+ab) $ nên ax+by là bội của 4^n, dễ dàng xử lí bằng cauchy- schawz để có a=x, b=y
+,$a\equiv- b(mod8),x\equiv -y(mod8) $, tương tự trên, vẫn có $ay+bx\equiv 2(mod4) $
+, cuối cùng, giả sử $a\equiv- b(mod8),x\equiv y(mod8) $
trường hợp này có thể lùi lại bằng 2 công thức trong bài VMO 2010, và suy ra pt $x^{2}+15y^{2}=4^(n-1) $ có 2 nghiệm lẻ phân biệt, vô lí.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Quay về với nơi bắt đầu
kien10a1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-02-2012, 02:30 PM   #45
VengefulSpirit
+Thành Viên+
 
VengefulSpirit's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: ĐHSP Hà Nội, nhưng sau này sẽ là CHV
Bài gởi: 15
Thanks: 0
Thanked 6 Times in 6 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi chemthan View Post
Bài 11. Tìm tất cả các đa thức $P(x) $ hệ số nguyên thỏa mãn :
$2^n|P(3^n) $, với mọi $n\in N* $.
Gọi $P(x)=(x-1)^kQ(x) $ với $Q(1)\neq 0 $
Ta có $v_2(3^{2^n}-1)=n+1 $ (*)
Mà $2^{2^n}\mid P(3^{2^n}) $ hay $2^{2^n}\mid(3^{2^n}-1)^kQ(3^{2^n}) $
Chọn $ n $ đủ lớn để $2^n>(n+1)k $ ta có:
$2^{2^n-nk}\mid Q(3^{2^n}) $
Ta có:$2^{n+1}\mid Q(3^{2^n})-Q(1) $
Nên$ 2^{2^n-nk}\mid Q(1) $
Mà $2^n-nk \to +\infty $nên $Q(1)=0 $ hay $Q(x)=const $ vậy
$P(x)=a(x-1)^k $ tiếp tục sử dụng (*) để biện luận $k $ là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
첸옥 H
VengefulSpirit is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:44 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 110.05 k/126.03 k (12.68%)]