Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2012

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 09-07-2012, 09:50 PM   #1
novae
Super Moderator
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
[IMO 2012] Bài 4 - Phương trình hàm trên tập số nguyên

Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ sao cho với mọi $a+b+c=0$ thì
$$ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2 = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a). $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.

thay đổi nội dung bởi: novae, 12-07-2012 lúc 12:27 AM
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to novae For This Useful Post:
boykhtna1 (12-07-2012), thiendieu96 (13-07-2012), tuanh208 (12-07-2012)
Old 12-07-2012, 01:37 AM   #2
Harry Potter
+Thành Viên+
 
Harry Potter's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Bài gởi: 32
Thanks: 24
Thanked 26 Times in 6 Posts
Th Mini Natal

Biến đổi biểu thức thành:
$(f(a) - f(b))^2 = f(c) (2f(a) + 2f(b) - f(c))$

Ta cho các giá trị của $a,b,c$ và nhận được $f$ như sau:
(i) $a = b = c = 0 \Rightarrow f(0) = 0$

(ii) $b = -a, c = 0 \Rightarrow f(-a) = f(a)$

(iii) $a = b = 1, c = -2 \Rightarrow f(2) = 0$ Hoặc $f(2) = 4f(1)$

1. Nếu: $f(2) = 0$
Ta dùng quy nạp để chứng minh: $\Rightarrow f(2n) = 0$

Thật vậy, nếu $f(2k) = 0$ ,
ta cho $a = 2, b = 2k, c = -2k-2 \Rightarrow f(2k+2) = 0$

Vậy: $\Rightarrow f(2n) = 0$ với mọi $n \in N$

Cho $a=2k+1,b=-(2k+3),c=2$ cùng với chú ý (ii) ta có:
$\Rightarrow$ với mọi cặp số lẻ $a, b$, $f(a) = f(b)$

Vây ở trường hợp này $f(x) = c$ với $x$ lẻ, $f(x) = 0$ với $x$ chẵn.

2. Nếu $f(2) = 4f(1)$
Vẫn dùng quy nạp:
Nếu $f(i) = i^2 f(1)$ với mọi $i \leq k$ thì cho $a = 1, b = k, c = -k-1 \Rightarrow f(k+1) = (k+1)^2 f(1)$ hoặc $f(k+1) = (k-1)^2 f(1)$

(*) Nếu $f(k+1) = (k-1)^2 f(1)$ thì cho $a=k+1, b=-k+1, c = -2 \Rightarrow f(1) = 0
\Rightarrow f(x) = 0$

(*) Nếu $f(k+1) = (k+1)^2 f(1)$ thì $f(x) = x^2 f(1)$ với mọi $x$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Harry Potter is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to Harry Potter For This Useful Post:
hoang_kkk (12-07-2012), huynhcongbang (12-07-2012), Kém Toán (12-07-2012), tangchauphong (12-07-2012)
Old 12-07-2012, 01:39 AM   #3
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,394
Thanks: 2,156
Thanked 4,143 Times in 1,365 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Mình thử bài này tí:

Đầu tiên, cho $a=b=c=0 $, ta có $3f^2(0)=6f^2(0) $ và do $f(0) \in \mathbb{Z} $ nên $f(0) = 0 $.

Cho $c=0 $ thì $f^2(a)+f^2(b) = 2f(a)f(b) $ suy ra $f(a)=f(b) $ hay $f(n)=f(-n) $ với mọi số nguyên n.

Cho $a=b=n, c = -2n, n \in \mathbb{Z}^+ $ thì
$2f^2(n)+f^2(2n) = 4f(n)f(2n)+2f^2(n) $ hay
$f^2(2n) = 4f(n)f(2n) \Leftrightarrow f(2n)(f(2n)-4f(n))=0 $ với mọi số nguyên dương n.

Ta xét 2 trường hợp:
- Nếu $f(2n) = 0 $ với mọi $n \ge 0 $ thì ta xét
$a=1, b=2n-1, c= -2n $, ta có:
$f^2(1)+f^2(2n-1)= 2f(1)f(2n-1) $, suy ra $f(1)=f(2n-1) $ với mọi $n $.
Đặt $f(1)=m $, ta được một hàm số thỏa mãn đề bài là:
$f(n)=m $ với $n $ lẻ và $f(n)=0 $ nếu $n $ chẵn.

- Nếu tồn tại $n_0 $ sao cho $f(2n_0) \neq 0 $ thì $n_0>0 $ và $f(2n_0)=4f(n_0) $.

Chọn $a=n_0, b=2n_0,c=-3n_0 $ thì
$f^2(n_0)+f^2(2n_0)+f^2(3n_0)=2f(n_0)f(2n_0)+2f(2n_ 0)f(3n_0)+2f(3n_0)f(n_0) $ hay
$9f^2(n_0)+f^2(3n_0) =10f(n_0)f(3n_0) $. Suy ra
$f(3n_0)=f(n_0) $ hoặc $f(3n_0)=9f(n_0) $.

Đến đây mình đang nghĩ tiếp, dự đoán là cần chứng minh không xảy ra $f(3n_0)=f(n_0) $ và với $f(3n_0)=9f(n_0) $ thì có thể hàm số là $f(n)=kn^2 $ với k là hằng số nguyên.

[Edit] Xét theo kiểu bạn Harry Potter ở trên để ra được $f(2)=4f(1) $ thì khỏe rồi, do không nghĩ đến chuyện quy nạp nên mình cứ xét tổng quát. Tuy nhiên, bài này mình nghĩ là thực sự không mới cho một kì thi như IMO.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Mèo ơi có nhớ có thương một mèo...

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 12-07-2012 lúc 02:04 AM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
bboy114crew (12-07-2012), Lan Phuog (12-07-2012), lexuanthang (12-07-2012)
Old 12-07-2012, 02:08 AM   #4
tuanh208
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2008
Bài gởi: 35
Thanks: 11
Thanked 25 Times in 13 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Harry Potter View Post
Biến đổi biểu thức thành:
$(f(a) - f(b))^2 = f(c) (2f(a) + 2f(b) - f(c))$

Ta cho các giá trị của $a,b,c$ và nhận được $f$ như sau:
(i) $a = b = c = 0 \Rightarrow f(0) = 0$

(ii) $b = -a, c = 0 \Rightarrow f(-a) = f(a)$

(iii) $a = b = 1, c = -2 \Rightarrow f(2) = 0$ Hoặc $f(2) = 4f(1)$

1. Nếu: $f(2) = 0$
Ta dùng quy nạp để chứng minh: $\Rightarrow f(2n) = 0$

Thật vậy, nếu $f(2k) = 0$ ,
ta cho $a = 2, b = 2k, c = -2k-2 \Rightarrow f(2k+2) = 0$

Vậy: $\Rightarrow f(2n) = 0$ với mọi $n \in N$

Cho $a=2k+1,b=-(2k+3),c=2$ cùng với chú ý (ii) ta có:
$\Rightarrow$ với mọi cặp số lẻ $a, b$, $f(a) = f(b)$

Vây ở trường hợp này $f(x) = c$ với $x$ lẻ, $f(x) = 0$ với $x$ chẵn.

2. Nếu $f(2) = 4f(1)$
Vẫn dùng quy nạp:
Nếu $f(i) = i^2 f(1)$ với mọi $i \leq k$ thì cho $a = 1, b = k, c = -k-1 \Rightarrow f(k+1) = (k+1)^2 f(1)$ hoặc $f(k+1) = (k-1)^2 f(1)$

(*) Nếu $f(k+1) = (k-1)^2 f(1)$ thì cho $a=k+1, b=-k+1, c = -2 \Rightarrow f(1) = 0
\Rightarrow f(x) = 0$

(*) Nếu $f(k+1) = (k+1)^2 f(1)$ thì $f(x) = x^2 f(1)$ với mọi $x$
Đoạn này
Trích:
(*) Nếu $f(k+1) = (k-1)^2 f(1)$ thì cho $a=k+1, b=-k+1, c = -2 \Rightarrow f(1) = 0
\Rightarrow f(x) = 0$
chỉ suy ra $ (k-1)^2 f(1)=f(1) $ do đó suy ra $f(1)=0 $ nếu $k\geq 3 $
Với $k=2 $ thì có 2 trường hợp:
1. $f(3)=f(1) $ suy ra $f(4)=4f(1) $ hoặc $f(4)=0 $
$(a) $nếu $f(4)=4f(1) $ suy ra $f(2)=f(4)=0 $ (vô lí).
$(b) $nếu $f(4)=0 $ thì suy ra $f(n+4)=f(n) $ với mọi $n $ từ đó suy ra hàm.
2.$f(3)=9f(1) $cm quy nạp được $f(n)=n^2f(1) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tuanh208 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-07-2012, 02:23 AM   #5
kien10a1
+Thành Viên+
 
kien10a1's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc
Bài gởi: 371
Thanks: 43
Thanked 263 Times in 153 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kien10a1
Em làm rất vất vả, nhưng có lẽ là đúng.

Trong đẳng thức cho $a=b=c=0 $ suy ra $f(0)=0 $.
Cho $c=0, b=-a $ suy ra $(f(a)-f(-a))^2=0 $, suy ra f chẵn.
Ta viết lại giả thiết: mọi $b,c $ nguyên thì $f^2(b+c)+f^2(b)+f^2(c)=2f(b)f(c) + 2[f(b)+f(c)]f(b+c) (1) $
+,Nếu $f(1)=0 $, cho$ b=c=1 $ có $f(2)=0 $, dễ thấy nếu $f(b)=f(c)=0 $ thì $f(b+c)=0 $, từ đây suy ra $f(n)=0 $ mọi n tự nhiên, suy ra f là hằng 0.
+,Nếu $f(1) $ khác $0 $. Cho $b=c=1 $ có $f(2)=4f(1) $ hoặc $f(2)=0 $.
Xét $f(2)=0 $ thì cho $c=2 $ trong $(2) $ được f tuần hoàn chu kì 2, dễ suy ra $f(x)=a $ với mọi $x $ lẻ, $f(x)=0 $ mọi x chẵn.
Nếu f(2) khác 0, ta lại xét tiếp 2 trường hợp:
+, f(4)=0 thì f tuần hoàn chu kì 4.
Thay b=1,c=3 được f(1)=f(3)
Vậy ta có hàm f(x)=a với x lẻ, $f(x)=4a $ với x chia 4 dư 2 và $f(x)= 0 $ với x chia hết cho 4.
+, $f(4) $ khác $0 $ thì $f(4)=4f(2) $
Cho b=1,c=2 suy ra hoặc $f(3)=9f(1) $ hoặc $f(3)=f(1) $.
Ta sẽ loại $f(3)=f(1) $. Thật vậy, khi đó cho $b=3,c=1 $ có $f(4)=4f(1)=f(2) $, điều này vô lí.
Vậy $f(3) $ khác $f(1) $. Đến đây mới có thể dùng quy nạp như Harryporter và suy ra $f(k)=k^2f(1) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Quay về với nơi bắt đầu

thay đổi nội dung bởi: kien10a1, 12-07-2012 lúc 02:26 AM
kien10a1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to kien10a1 For This Useful Post:
hoang_kkk (12-07-2012)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:32 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 61.67 k/69.15 k (10.81%)]