Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 01-11-2012, 12:41 PM   #1
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Topic giải bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng tính chất hàm số,đạo hàm.

Thưa các bạn/các anh trong diễn đàn,được sự đồng ý của hôm nay em xin lập topic này.Như mọi người đã biết thì phương pháp sử dụng tính chất của hàm số,đạo hàm để giải bất đẳng thức là một phương pháp khá hay,phù hợp với cả cho thi đại học và học sinh giỏi.Với phương pháp này các bài toán trở nên tự nhiên,đơn giản hơn trong các bước biến đổi.Topic này các bạn sẽ đăng bài và đưa ra những cách giải quyết bằng phương pháp hàm số,đạo hàm,nhầm giúp mọi người khoét sâu vào mảng này hơn đạt được kết quả học tập tốt hơn.
Các bạn đăng bài nhớ đánh số bài theo thứ tự
Rất mong nhận được sự tham gia trao đổi của các bạn,các anh chị
Sau đây mình xin mở đầu bằng 1 bài toán .Bài toán như sau:

Bài 1:Cho a,b,c là ba số thực không âm đội một khác nhau,tim min của P:
$P=\left [ (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \right ] $


Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \} $.Khi đó ta có $a-c\leq a $,$b-c\leq b $.Suy ra:

$P\geq \left [ (a+b)^2+b^2+a^2 \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2} \right ] $

$=\frac{2(a^2+b^2+ab)}{a^2-2ab+b^2}+\frac{2(a^2+ab+b^2)}{a^2}+\frac{2(a^2+ab+ b^2)}{b^2} $

$=2\left [ \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1}{\frac{a}{b}+\frac {b}{a}-2}+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )^{2}+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right ) \right ] $

Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t,t> 2 $.
Xét hàm số $f(t)=\frac{t+1}{t-2}+t^2+t $
có $f'(t)=\frac{-3}{(t-2)^2}+2t+1=0\Leftrightarrow 2t^3-7t^2+4t+1=0 $ do $t> 2 $ ta chỉ nhận nghiệm $t=\frac{5+\sqrt{33}}{4} $
Lập bảng biến thiên ta nhận được $minf(t)=\frac{59+11\sqrt{33}}{8} $ $\Rightarrow minP=\frac{59+11\sqrt{33}}{4} $
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}
c=0\\
\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5+\sqrt{33}}{4}
\end{matrix}\right. $ và các hoán vị.

Nhận xét với bài toán trên thật rất khó để dự đoán điểm rơi thì việc ta giải quyết nó bằng đạo hàm sẽ làm cho bước đi của ta tự nhiên hơn rất nhiều mà không cần dủng đến những bất đẳng thức phụ phức tạp khác.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 24 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post:
.::skyscape::. (19-03-2013), alentist (01-11-2012), Conan Edogawa (03-11-2012), congvan (15-11-2012), cool hunter (22-06-2013), Gravita (03-11-2012), happy fly (24-05-2013), hotraitim (01-11-2012), hxd (11-07-2013), khucyeuthuong (01-11-2012), ladykillah96 (30-05-2014), lexuanthang (18-12-2012), nanonanato (06-11-2012), ngocthi0101 (28-12-2012), nguoibimat (01-11-2012), nliem1995 (11-11-2012), philomath (01-11-2012), tangchauphong (01-11-2012), tantaria (01-11-2012), tffloorz (05-11-2012), traipro_139 (01-11-2012), Trànvănđức (06-11-2012), Trung_Tr.Anh (06-09-2013), vinh7aa (06-08-2013)
Old 01-11-2012, 07:22 PM   #2
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Bài 2: Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 1;3 \right ] $ và $x+y+2z=6 $.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
$P=x^3+y^3+5z^3 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post:
alentist (11-11-2012), hotraitim (08-11-2012), khanhphuong28 (02-11-2012), nguoibimat (02-11-2012), philomath (01-11-2012), vinh7aa (08-08-2013)
Old 02-11-2012, 12:52 AM   #3
khanhphuong28
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 10
Thanks: 3
Thanked 29 Times in 8 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kedaumat View Post
Bài 2: Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 1;3 \right ] $ và $x+y+2z=6 $.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
$P=x^3+y^3+5z^3 $
Từ giả thiết ta có: $4xy=4(3-z)^2-(x-y)^2 \le 4(3-z)^2 \Rightarrow xy \le (3-z)^2$.

Ta lại có: $(x-1)(y-1) \geq 0 \Rightarrow xy \geq x+y-1 = 5-2z \Rightarrow 5-2z \le xy \le (3-z)^2$.

Mặt khác ta có: $2z=6-x-y \le 4 \Rightarrow z \in[1;2]$.

Ta có: $P=(x+y)[(x+y)^2-3xy]+5z^3=2(3-z)[4(3-z)^2-3xy]+5z^3$

Vì $5-2z \le xy \le (3-z)^2 \Rightarrow 2(3-z)^3+5z^3 \le P \le 2(3-z)[4(3-z)^2+6z-15]+5z^3$, với $z \in[1;2]$.

$\Leftrightarrow 2(3-z)^3+5z^3 \le P \le -3z^3+60z^2-150z+126$, với $z\in[1;2]$

Đặt $f(z)=2(3-z)^3+5z^3 , g(z)=-3z^3+60z^2-150z+126$.

Xét hàm số $f(z), g(z)$ trên $\in[1;2]$ ta có $Min f(z)=210-60 \sqrt{10}$ tại $z=-2+ \sqrt{10} \Rightarrow x=y=5- \sqrt{10}$ và

$Max g(z)=42$ tại $z=2 \Rightarrow x=y=1$.

Vậy $MaxP=42$ khi $x=y=1, z=2$.

$MinP=210-60 \sqrt{10}$ khi $x=y=5- \sqrt{10}, z=-2+ \sqrt{10}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khanhphuong28 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 11 Users Say Thank You to khanhphuong28 For This Useful Post:
chuthanhtiep (22-07-2013), congvan (15-11-2012), cool hunter (22-06-2013), High high (02-11-2012), hxd (11-07-2013), nguoibimat (02-11-2012), NguyenThanhThi (02-11-2012), taitueltv (17-09-2014), tangchauphong (02-11-2012), thaygiaocht (02-11-2012), tops2liz (14-03-2013)
Old 02-11-2012, 12:14 PM   #4
nguoibimat
+Thành Viên+
 
nguoibimat's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp
Bài gởi: 373
Thanks: 174
Thanked 92 Times in 69 Posts
Mình nghĩ mỗi người giải bài toán xong nếu có thêm lời bình thì sẽ rút thêm được nhiều kinh nghiệm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Học toán là niềm hứng thú của đời tôi
nguoibimat is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to nguoibimat For This Useful Post:
NguyenThanhThi (02-11-2012), nliem1995 (11-11-2012), taitueltv (17-09-2014)
Old 02-11-2012, 01:53 PM   #5
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kedaumat View Post
Bài 2: Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 1;3 \right ] $ và $x+y+2z=6 $.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
$P=x^3+y^3+5z^3 $
Mình có hướng giải như sau,hơi khác bạn khanhphuong,nhưng cái này là theo ý tưởng của mình.Ta chia 2 trường hợp để làm cho nhẹ.
Trường hợp thứ nhất ta đi tìm max:

Ta có $1\leq x,y\leq 3$ suy ra $x^2\leq 4x-3\Rightarrow x^3\leq 13x-12$ tương tự ta có $y^3\leq 13y-12$

Với $z$ ta xử lí như sau do $x+y+2z=6$ mà $1\leq x,y\leq 3$ nên $1\leq z\leq 2$ suy ra $z^2\leq 3z-2 \Rightarrow z^3 \leq 6z-4$

Như vậy ta sẽ có $x^3+y^3+5z^3\leq 13(x+y+2z)+9z-54\leq 13.6+9.2-54=42$ đẳng thức xảy ra khi $a=b=1,c=2$

Trường hợp tìm min:
Ta có $P\geq \frac{(x+y)^3}{4}+5z^3=\frac{(6-2z)^3}{4}+5z^3=3z^3+18z^2-54z+54$

Khảo sát hàm số $f'(z)=3z^3+18z^2-54z+54$ trên đoạn $\left [ 1;2 \right ]$ ta sẽ nhận được

$MinP=210-60 \sqrt{10}$ khi $x=y=5- \sqrt{10}, z=-2+ \sqrt{10}$

Nhận xét:Thông thường với một bài toán bất đẳng thức thì điểm rơi của nó chỉ đẹp ở một chiều min,hoặc max,điểm rơi nhận được rất xấu sẽ giúp ta nảy lên ý tưởng "à!thế là bài này có thể giải bằng phương pháp đạo hàm,hàm số"
Rõ ràng có rất nhiều ý tưởng để đi chứng minh một bài toán,dù là cùng phương pháp vẫn có các cách khác nhau.Mình mong mọi người cùng tham gia nhiều hơn để khoét sâu vào mảng này,giúp ta có nhiều ý tưởng hơn khi làm bài!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì

thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 02-11-2012 lúc 10:45 PM
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 8 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post:
alentist (11-11-2012), Aponium (02-11-2012), congvan (15-11-2012), cool hunter (22-06-2013), hotraitim (03-11-2012), hxd (11-07-2013), nanonanato (06-11-2012), nguoibimat (02-11-2012)
Old 02-11-2012, 10:02 PM   #6
nguoibimat
+Thành Viên+
 
nguoibimat's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp
Bài gởi: 373
Thanks: 174
Thanked 92 Times in 69 Posts
Bài 3:Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$a^2+b^2+c^2+abc \ge 4$$
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi kedaumat View Post
Mình có hướng giải như sau,hơi khác bạn khanhphuong,nhưng cái này là theo ý tưởng của mình.Ta chia 2 trường hợp để làm cho nhẹ.
Trường hợp thứ nhất ta đi tìm max:

Ta có $1\leq x,y\leq 3$ suy ra $x^2\leq 4x-3\Rightarrow x^3\leq 13x-12$ tương tự ta có $y^3\leq 13y-12$

Với $z$ ta xử lí như sau do $x+y+2z=6$ mà $1\leq x,y\leq 3$ nên $1\leq z\leq 2$ suy ra $z^2\leq 3z-2 \Rightarrow z^3 \leq 6z-4$

Như vậy ta sẽ có $x^3+y^3+5z^3\leq 13(a+b+2c)+9c-54\leq 13.6+9.2-54=42$ đẳng thức xảy ra khi $a=b=1,c=2$

Trường hợp tìm min:
Ta có $P\geq \frac{(x+y)^3}{4}+5z^3=\frac{(6-2z)^3}{4}+5z^3=3z^3+18z^2-54z+54$

Khảo sát hàm số $f'(z)=3z^3+18z^2-54z+54$ trên đoạn $\left [ 1;2 \right ]$ ta sẽ nhận được

$MinP=210-60 \sqrt{10}$ khi $x=y=5- \sqrt{10}, z=-2+ \sqrt{10}$

Nhận xét:Thông thường với một bài toán bất đẳng thức thì điểm rơi của nó chỉ đẹp ở một chiều min,hoặc max,điểm rơi nhận được rất xấu sẽ giúp ta nảy lên ý tưởng "à!thế là bài này có thể giải bằng phương pháp đạo hàm,hàm số"
Rõ ràng có rất nhiều ý tưởng để đi chứng minh một bài toán,dù là cùng phương pháp vẫn có các cách khác nhau.Mình mong mọi người cùng tham gia nhiều hơn để khoét sâu vào mảng này,giúp ta có nhiều ý tưởng hơn khi làm bài!
Sữa lại đi bạn x,y,z rồi a,b,c
$x^3+y^3+5z^3\leq 13(a+b+2c)+9c-54\leq 13.6+9.2-54=42$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Học toán là niềm hứng thú của đời tôi

thay đổi nội dung bởi: nguoibimat, 02-11-2012 lúc 10:17 PM Lý do: Tự động gộp bài
nguoibimat is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to nguoibimat For This Useful Post:
congvan (16-11-2012), NguyenThanhThi (02-11-2012), SthgQuynh (10-01-2013)
Old 02-11-2012, 11:00 PM   #7
khanhphuong28
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 10
Thanks: 3
Thanked 29 Times in 8 Posts
[QUOTE=nguoibimat;175820]Bài 3:Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$a^2+b^2+c^2+abc \ge 4$$
------------------------------

Đặt $P=a^2+b^2+c^2+abc$
Từ giả thiết ta có $0 \le ab \le \dfrac{(3-c)^2}{4}$.
Ta lại có $c \in[0;3]$.
Ta có $P=(3-c)^2+c^2-ab(2-c)$.
Với $0 \le ab \le \dfrac{(3-c)^2}{4} \Rightarrow \dfrac{1}{4}(c^3-3c+18) \le P \le 2c^2-6c+9$.
Đặt $f(c)=\dfrac{1}{4}(c^3-3c+18), g(c)=2c^2-6c+9$.
Khảo sát hàm số $f(c)$ và $g(c)$ trên $ [0;3]$.
Ta có Min$f(c)=4$ tại $c=1$, Max$g(c)=9$ tại $c=0$ hoặc $c=3$.
Vậy Min$P=4$ khi $a=b=c=1.$
Max$P=9$ khi bộ $(a;b;c)$ là $(0;0;3)$ và các hoán vị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: khanhphuong28, 02-11-2012 lúc 11:02 PM
khanhphuong28 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to khanhphuong28 For This Useful Post:
.::skyscape::. (08-02-2013), congvan (15-11-2012), cool hunter (22-06-2013), nanonanato (06-11-2012), NguyenThanhThi (02-11-2012), Trànvănđức (06-11-2012)
Old 02-11-2012, 11:14 PM   #8
Lê Đình Mẫn
Moderator
 
Tham gia ngày: Mar 2012
Đến từ: Quảng Bình
Bài gởi: 19
Thanks: 17
Thanked 15 Times in 9 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi nguoibimat View Post
Bài 3:Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$a^2+b^2+c^2+abc \ge 4$$
Giả sử $c=\max \{a,b,c\}$. Suy ra $1\le c\le 3$. Lúc đó
Nếu $c\ge 2$ thì $$a^2+b^2+c^2+abc \ge c^2\ge 4$$
Ngược lại, nếu $1\le c\le 2$ thì
\[\begin{aligned}a^2+b^2+c^2+abc &=(a+b)^2+c^2+(c-2)ab\ge (a+b)^2+c^2+\dfrac{1}{4}(c-2)(a+b)^2\\ &=(3-c)^2+c^2+\dfrac{1}{4}(c-2)(3-c)^2= \dfrac{1}{4}(c-1)^2(c+2)+4\ge 4\end{aligned}\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Lê Đình Mẫn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to Lê Đình Mẫn For This Useful Post:
congvan (16-11-2012), cool hunter (22-06-2013), kynamsp (04-05-2014), nanonanato (06-11-2012), NguyenThanhThi (02-11-2012), taitueltv (17-09-2014)
Old 02-11-2012, 11:21 PM   #9
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Mình góp ý tí nhé:Nếu có thể thì các bạn đưa ra lời nhận xét của mình sau mỗi bài mình làm về bài tập đó,phương pháp,hướng đi đó như vậy sẽ giúp các bạn đọc dễ hình dung ra hướng đi hơn mà các bạn cũng không mất nhiều thời gian cho lắm

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì

thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 03-11-2012 lúc 12:20 PM
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post:
hotraitim (08-11-2012), nanonanato (06-11-2012), nguoibimat (03-11-2012)
Old 03-11-2012, 11:32 AM   #10
Snow Bell
+Thành Viên Danh Dự+
 
Tham gia ngày: Apr 2012
Đến từ: Heaven
Bài gởi: 579
Thanks: 10
Thanked 513 Times in 283 Posts
Ủng hộ bạn một bài.
Bài 4. Cho $ x, y, z $ là các số thực thỏa mãn $ 1 \le x, y, z \le 4 $ và $ x=\max(x, y, z) $. Tìm GTNN của:
$$ N=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}. $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: thephuong, 03-11-2012 lúc 12:12 PM
Snow Bell is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to Snow Bell For This Useful Post:
hotraitim (08-11-2012), khanhphuong28 (03-11-2012), nguoibimat (03-11-2012), NguyenThanhThi (03-11-2012), Ng_Anh_Hoang (25-08-2013)
Old 03-11-2012, 02:51 PM   #11
nguoibimat
+Thành Viên+
 
nguoibimat's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp
Bài gởi: 373
Thanks: 174
Thanked 92 Times in 69 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Snow Bell View Post
Ủng hộ bạn một bài.
Bài 4. Cho $ x, y, z $ là các số thực thỏa mãn $ 1 \le x, y, z \le 4 $ và $ x=\max(x, y, z) $. Tìm GTNN của:
$$ N=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}. $$
Đầu tiên ta có BDT sau:
Nếu $ab \geq 1$ thì $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{1+ab}$
Trở lại bài toán:
Ta đặt $a=\frac{y}{x}$ , $b=\frac{z}{y}$ , $c=\frac{x}{z}$, suy ra $a,b,c>0$ và $abc=1$, BDT trở thành:
$N=\frac{1}{2+3a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$
Do $bc=\frac{x}{y} \geq 1$ nên ta suy ra:
$\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \geq \frac{2}{1+/sqrt{bc}}$
Ta tiếp tục đặt $t=\sqrt{bc}$ , theo điều kiện ban đầu đề ta suy ra $t \in [1;2]$. Từ đó bài toán trở thành việc tìm GTNN của :
$N=\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{1+t}$ với $t \in [1;2].$
Bằng cách xét hàm ta tìm ra $minN=\frac{34}{22}$, xảy ra khi và chỉ khi $t=2=\sqrt{bc}$ và $b=c$ tức $\frac{x}{y}=4$ và $\frac{x}{z}=\frac{z}{y}$. Kết hợp với điều kiện ban đầu bài toán ta suy ra $x=4,y=1$ và $z=2$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Học toán là niềm hứng thú của đời tôi

thay đổi nội dung bởi: nguoibimat, 03-11-2012 lúc 04:33 PM
nguoibimat is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to nguoibimat For This Useful Post:
congvan (16-11-2012), nanonanato (06-11-2012), NguyenThanhThi (03-11-2012)
Old 03-11-2012, 03:16 PM   #12
khanhphuong28
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 10
Thanks: 3
Thanked 29 Times in 8 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Snow Bell View Post
Ủng hộ bạn một bài.
Bài 4. Cho $ x, y, z $ là các số thực thỏa mãn $ 1 \le x, y, z \le 4 $ và $ x=\max(x, y, z) $. Tìm GTNN của:
$$ N=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}. $$
Đặt $y=ax, z=bx \Rightarrow a,b \in[ \dfrac{1}{4};1]$
Biểu thức được viết lại $N= \dfrac{1}{2+3a}+ \dfrac{a}{a+b}+ \dfrac{b}{b+1}$.
$ \Rightarrow N'(b)=- \dfrac{a}{(a+b)^2}+ \dfrac{1}{(b+1)^2}$.
$N'(b)=0 \Rightarrow (a+b)^2-a(b+1)^2=0 \Leftrightarrow (1-a)(b^2-a)=0 \Rightarrow b= \sqrt{a}$
vì $b,a \in[ \dfrac{1}{4};1] \Rightarrow$ Min$N(b)=N( \sqrt{a})= \dfrac{1}{2+3a}- \dfrac{2}{1+ \sqrt{a}}+2$.
Đặt $t= \sqrt{a} \Rightarrow t \in[ \dfrac{1}{2};1]$
Xét hàm $N(t)=\dfrac{1}{2+3t^2}- \dfrac{2}{1+t}+2$
Ta có $N'(t)=- \dfrac{6t}{(2+3t^2)^2}+ \dfrac{2}{(1+t)^2}$
$N'(t)=0 \Leftrightarrow 2(2+3t^2)^2-6t(1+t)^2=0 \Leftrightarrow 18t^4-6t^3+12t^2-6t+8=0$. Vì $t \in[ \dfrac{1}{2};1] \Rightarrow 18t^4-6t^3+12t^2-6t+8>0 \Rightarrow N'(t)>0$ với mọi $t \in[ \dfrac{1}{2};1]$.
$ \Rightarrow N(t) \geq N( \dfrac{1}{2})= \dfrac{34}{33}$
Vậy Min$N= \dfrac{34}{33}$ khi $t= \dfrac{1}{2}$ hay $a= \dfrac{1}{4}, b= \dfrac{1}{2}$ hay $y= \dfrac{x}{4}, z= \dfrac{x}{2} \Rightarrow x=4,y=1,z=2$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: khanhphuong28, 03-11-2012 lúc 03:30 PM
khanhphuong28 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to khanhphuong28 For This Useful Post:
nanonanato (06-11-2012), NguyenThanhThi (03-11-2012)
Old 03-11-2012, 04:59 PM   #13
Conan Edogawa
+Thành Viên+
 
Conan Edogawa's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM
Bài gởi: 397
Thanks: 136
Thanked 303 Times in 150 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Snow Bell View Post
Bài 4. Cho $ x, y, z $ là các số thực thỏa mãn $ 1 \le x, y, z \le 4 $ và $ x=\max(x, y, z) $. Tìm GTNN của:
$$ N=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}. $$
Đây là Câu V trong đề thi tuyển sinh ĐH khối A năm 2011. [Only registered and activated users can see links. ] tập hợp được 6 cách giải cho bài này.

Bình luận cá nhân của mình thì các bài trong đây khá là khó, mình nghĩ các bạn cũng nên đưa bài khó bài dễ (là những bài phù hợp với thi ĐH) xen lẫn nhau cho thêm nhiều người hưởng ứng vì mình thấy phương pháp này khá hay và hoàn toàn phù hợp để giải những câu khó nhất trong thi ĐH.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Conan Edogawa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Conan Edogawa For This Useful Post:
congvan (16-11-2012), NguyenThanhThi (03-11-2012)
Old 03-11-2012, 05:45 PM   #14
nguoibimat
+Thành Viên+
 
nguoibimat's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp
Bài gởi: 373
Thanks: 174
Thanked 92 Times in 69 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Conan Edogawa View Post
Đây là Câu V trong đề thi tuyển sinh ĐH khối A năm 2011. [Only registered and activated users can see links. ] tập hợp được 6 cách giải cho bài này.

Bình luận cá nhân của mình thì các bài trong đây khá là khó, mình nghĩ các bạn cũng nên đưa bài khó bài dễ (là những bài phù hợp với thi ĐH) xen lẫn nhau cho thêm nhiều người hưởng ứng vì mình thấy phương pháp này khá hay và hoàn toàn phù hợp để giải những câu khó nhất trong thi ĐH.
Mình cũng nghĩ như bạn , nên đưa các câu phù hợp với đề thi Đại Học, và khi giải nên nêu ra hướng giải cũng như lời bình về nó để mọi người đúc kết, có lợi rất nhiều cho người giải bài khi mình giảng mà người ta hiểu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Học toán là niềm hứng thú của đời tôi
nguoibimat is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-11-2012, 08:47 PM   #15
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Bài 5: Cho $x,y\geq 1 $ thoả $3(x+y)=4xy $ . Tìm min, max của $P $:


$P=x^3+y^3+3\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right ) $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post:
hotraitim (08-11-2012), nanonanato (06-11-2012)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:12 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 127.34 k/144.66 k (11.97%)]