Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 06-11-2012, 12:24 PM   #16
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi NguyenThanhThi View Post
Bài 5: Cho $x,y\geq 1 $ thoả $3(x+y)=4xy $ . Tìm min, max của $P $:


$P=x^3+y^3+3\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right ) $
Mình xin đưa ra lời giải như sau nhé


Đặt $x+y=a$ với $a\geq 2$.Khi đó $xy=\frac{3a}{4}$. Suy ra x,y là nghiệm của phương trình: $t^2-at+\frac{3a}{4}=0$

Xét $\Delta =a^2-3a\geq 0\Rightarrow a\geq 3$ vì $a \geq 2$

Vì $x,y\geq 1$ nên $(x-1)(y-1)\geq 0$ hay$xy-(x+y)+1\geq 0$ suy ra $a\leq 4$

Vậy $3\leq a\leq 4 $

Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{3}$

Suy ra $P=(x+y)^3-3xy(x+y)+3\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )-\frac{6}{xy}$

$=a^3-\frac{9}{4}a^2-\frac{8}{a}+\frac{16}{3}$

Xét hàm số$f(a)=a^3-\frac{9}{4}a^2-\frac{8}{a}+\frac{16}{3}$ với $a\in \left [ 3;4 \right ]$

Ta có $f'(a)=3a^2-\frac{9}{2}a+\frac{8}{a^2}$ trên đoạn $a\in \left [ 3;4 \right ]$ rõ ràng $f'(a)>0$ vậy $f(a)$ đồng biến vậy ta có:

$MinP=\frac{113}{12}$ khi $x=y=\frac{3}{2}$

$MaxP=\frac{94}{3}$ khi $x=1,y=3$ hoặc $x=3,y=1$

Nhận xét:Ngoài cách đặt đưa về hàm có ẩn là tích như trên vẫn có 1 cách làm đưa về hàm có ẩn là tổng,các bạn thử kiểm chứng nhé!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì

thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 06-11-2012 lúc 12:28 PM
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post:
alentist (11-11-2012), congvan (16-11-2012), hotraitim (08-11-2012), nanonanato (06-11-2012), tops2liz (13-03-2013)
Old 06-11-2012, 05:15 PM   #17
nguoibimat
+Thành Viên+
 
nguoibimat's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp
Bài gởi: 373
Thanks: 174
Thanked 92 Times in 69 Posts
Bài 6:
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2+z^2=1$.
Tìm GTLN của $$P=x^3+y^3+z^3-3xyz.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Học toán là niềm hứng thú của đời tôi
nguoibimat is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-11-2012, 10:14 PM   #18
dongoc_nam
+Thành Viên+
 
dongoc_nam's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2008
Bài gởi: 39
Thanks: 31
Thanked 6 Times in 4 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi nguoibimat View Post
Bài 6:
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2+z^2=1$.
Tìm GTLN của $$P=x^3+y^3+z^3-3xyz.$$
Mình nhớ có hằng đẳng thức: $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x + y + x)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) $ và $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx $.
Thế cho nên $2P = (x + y + z)(3 - (x+y+z)^2) = t(3-t^2) $ với $t = x+y+z $.
Ngoài ra từ giả thiết ta có: $t^2 \le 3(x^2+y^2+z^2) = 3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
dongoc_nam is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to dongoc_nam For This Useful Post:
.::skyscape::. (18-02-2013), congvan (16-11-2012), manuyoohee158 (09-11-2012)
Old 06-11-2012, 11:24 PM   #19
trungthu10t
+Thành Viên+
 
trungthu10t's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: Cao Lãnh
Bài gởi: 149
Thanks: 58
Thanked 76 Times in 36 Posts
Bài 7: Cho $x,y,z\in \left[ -1;1 \right] $ và thỏa mãn$xy+yz+zx=0 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P={{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y-2z $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Học,học nữa,học mãi.....mà cũng không tới đâu

thay đổi nội dung bởi: trungthu10t, 06-11-2012 lúc 11:29 PM
trungthu10t is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to trungthu10t For This Useful Post:
NguyenThanhThi (07-11-2012)
Old 08-11-2012, 12:23 PM   #20
trungthu10t
+Thành Viên+
 
trungthu10t's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: Cao Lãnh
Bài gởi: 149
Thanks: 58
Thanked 76 Times in 36 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi trungthu10t View Post
Bài 7: Cho $x,y,z\in \left[ -1;1 \right] $ và thỏa mãn$xy+yz+zx=0 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P={{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y-2z $
Ta có thể giải quyết bài toán bằng phương thức đạo hàm như sau:

$\bullet$ Với $y=z=0\Rightarrow P=4x$
Vậy với $x\in [-1;1] \Rightarrow P\ge P(-1)=-4$

$\bullet$ Với $y,z\ne 0$
Từ điều kiện $xy+yz+zx=0\Rightarrow x=\dfrac{-yz}{y+z}$
Thế vào $P$ ta được : $$P=y^2+z^2-2y-2z-\dfrac{4yz}{y+z}$$Ta có : $$P'(y)=2y-2-\dfrac{4z^2}{(y+z)^2}<0\qquad \forall x,y,z \in [-1;1]$$Vậy hàm số $P=y^2+z^2-2y-2z-\dfrac{4yz}{y+z}$ nghịch biến trên đoạn $[-1;1]$
Do đó $P(y)\ge P(1)=z^2-2z-1-\dfrac{4z}{1+z}=g(z)$

$\bullet $ Tương tự ta xét hàm số : $g(z)=z^2-2z-1-\dfrac{4z}{1+z} $
Có :
$g'(z)=2z-2-\dfrac{4z^2}{(1+z)^2}<0\qquad \forall x,y,z \in [-1;1]$
Do đó : $g(z)$ là hàm số nghịch biến trên $[-1;1] $
Vậy $g(z)\ge g(1)=-4$
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của $P=-4$ đạt được khi $\begin{cases} y=z=1\\ x=-\dfrac{1}{2} \end{cases} $ hoặc $\begin{cases} y=z=0 \\ x=-1\end{cases}\blacksquare$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Học,học nữa,học mãi.....mà cũng không tới đâu
trungthu10t is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to trungthu10t For This Useful Post:
alentist (11-11-2012), congvan (16-11-2012), hosyhaiql (27-11-2012), hotraitim (08-11-2012), NguyenThanhThi (08-11-2012)
Old 08-11-2012, 02:48 PM   #21
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Bài trên là một bài toán rất hay cảm ơn anh trungthu10t và sau đây chúng ta hãy về với một bài toán nhẹ hơn .
Bài 8: Cho hai số thực dương x,y thoả mãn $xy(x+y)=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=xy+2(x^3+y^3)-(x+y)^2$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post:
alentist (12-11-2012), hotraitim (08-11-2012)
Old 08-11-2012, 08:50 PM   #22
trungthu10t
+Thành Viên+
 
trungthu10t's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: Cao Lãnh
Bài gởi: 149
Thanks: 58
Thanked 76 Times in 36 Posts
Bài 9: Cho ba số thực $a,\,b,\,c $ thỏa mãn$ \begin{cases}0\leq a\leq b\leq c\\a^2+b^2+c^2=3\end{cases}. $
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A$=5a-4abc $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Học,học nữa,học mãi.....mà cũng không tới đâu
trungthu10t is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to trungthu10t For This Useful Post:
alentist (12-11-2012), NguyenThanhThi (08-11-2012)
Old 12-11-2012, 10:34 AM   #23
alentist
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Bài gởi: 40
Thanks: 23
Thanked 1 Time in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi NguyenThanhThi View Post
Bài trên là một bài toán rất hay cảm ơn anh trungthu10t và sau đây chúng ta hãy về với một bài toán nhẹ hơn .
Bài 8: Cho hai số thực dương x,y thoả mãn $xy(x+y)=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=xy+2(x^3+y^3)-(x+y)^2$$
Bài 8:
Đặt $t=x+y$. Ta có $xy=\dfrac{2}{t}$ và $t\ge 2$.
Khi đó $$P=f(t)=2t^3-t^2+\dfrac{2}{t}-12$$
Khảo sát hàm $f(t)$ với $t\ge 2$ ta được $f(t)\ge 1$ dấu đẳng thức khi $t=2$.
Vậy GTNN của $P$ là $1$ khi $x=y=1$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
alentist is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-11-2012, 04:04 PM   #24
Snow Bell
Moderator
 
Tham gia ngày: Apr 2012
Đến từ: Heaven
Bài gởi: 579
Thanks: 10
Thanked 513 Times in 283 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi trungthu10t View Post
Bài 9: Cho ba số thực $a,\,b,\,c $ thỏa mãn$ \begin{cases}0\leq a\leq b\leq c\\a^2+b^2+c^2=3\end{cases}. $
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A$=5a-4abc $
Trong [Only registered and activated users can see links. ] là lời giải của anh magician_141312, bạn vào đây xem nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 12-11-2012 lúc 04:45 PM
Snow Bell is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Snow Bell For This Useful Post:
NguyenThanhThi (12-11-2012)
Old 12-11-2012, 05:13 PM   #25
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi trungthu10t View Post
Bài 9: Cho ba số thực $a,\,b,\,c $ thỏa mãn$ \begin{cases}0\leq a\leq b\leq c\\a^2+b^2+c^2=3\end{cases}. $
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A$=5a-4abc $
Bài 9:trích bài giải của anh magician_14312
Ta đi tìm 1 biểu thức $f(a)$ sao cho $bc \ge f(a)$, rồi đưa bài toán về khảo sát hàm một biến theo $a$.

Cho $a=b$, có được $$2b^2+c^2=3 \Rightarrow c=\sqrt{3-2b^2}\Rightarrow bc=b\sqrt{3-2b^2}=a\sqrt{3-2a^2}$$


Với điều kiện $0 \le a \le b \le c$, dễ thấy bất đẳng thức $bc \geq a\sqrt{3-2a^2}$ luôn đúng.

Khảo sát hàm số $P(a)=5a-4a^2 \sqrt{3-2a^2}$ trên $[0,1]$ được $\max P(a)=1 $ tại $a=1$.

Vậy GTLN của $P=1$ khi $a=b=c=1$.


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì

thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 12-11-2012 lúc 08:20 PM
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post:
nanonanato (16-11-2012)
Old 14-11-2012, 08:36 PM   #26
nguoibimat
+Thành Viên+
 
nguoibimat's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp
Bài gởi: 373
Thanks: 174
Thanked 92 Times in 69 Posts
Bài 10:
Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$A={x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}-2x(x-y)(x-z)$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Học toán là niềm hứng thú của đời tôi
nguoibimat is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 14-11-2012, 10:58 PM   #27
trungthu10t
+Thành Viên+
 
trungthu10t's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: Cao Lãnh
Bài gởi: 149
Thanks: 58
Thanked 76 Times in 36 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi nguoibimat View Post
Bài 10:
Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$A={x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}-2x(x-y)(x-z)$$
Ta có:
$A={x+y+z}^{3}-6(x+y)(x+z)(z+y)-2x(x-y)(x-z)$
$= 27-6(x+y)(x+z)(z+y)-2x(x-y)(x-z)$
Bài toán quy về tìm $Min;Max$ của biểu thức $P=6(x+y)(x+z)(z+y)+2x(x-y)(x-z)$
Ta dễ dáng thấy $ 6(x+y)(x+z)(z+y)\geq 2x(y-x)(x-z)$
Do đó $P\geq0\Rightarrow MaxA=27$ khi $ x=y=0;z=3$
Về tim giá trị nhỏ nhất ,ta dự đoán $y=z$,từ đó ta làm như sau:
$P=6(x+y)(x+z)(z+y)+2x(x-y)(x-z)\leq 6{(\frac{2x+y+z}{2})}^{2}+2x{(\frac{2x-y-z}{2})}^{2}=3x^3-\frac{27}{2}x^2+18x+\frac{57}{2}$
Tới đây ta KSHS với $x\in \left [ 0;3 \right ]$
Ta tìm được GTNN của $P=-27[/TEX] khi [TEX]x=3;y=z=0$
------------------------------
Bài 11: Cho các số thực không âm $$a,\,b,\,c$$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $$c>0$$ và $$a^3+b^3=c(c-1).$$Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$\displaystyle P=\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Học,học nữa,học mãi.....mà cũng không tới đâu

thay đổi nội dung bởi: quocbaoct10, 12-05-2015 lúc 03:33 PM Lý do: Tự động gộp bài
trungthu10t is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to trungthu10t For This Useful Post:
congvan (16-11-2012), cool hunter (10-08-2013), xiloxila (15-11-2012)
Old 15-11-2012, 11:54 AM   #28
NguyenThanhThi
+Thành Viên+
 
NguyenThanhThi's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp
Bài gởi: 635
Thanks: 228
Thanked 451 Times in 213 Posts
Bài 11:
Ta có $P=1-\frac{2(ab+bc+ca)}{\left ( a+b+c \right )^2}\leq 1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=0,c=1$
------------------------------


Ta lại có
$\frac{2(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}=\frac{2(a+b)c}{(a+b +c)^2}+\frac{2ab}{(a+b+c)^2}\leq \frac{1}{2}+\frac{(a+b)^2}{2(a+b+c)^2}$

Mà $\frac{(a+b)^3}{4}\leq a^3+b^3=c(c-1)$ suy ra
$\left ( \frac{a+b}{c} \right )^{3}\leq 4\left ( \frac{c-1}{c^2} \right )\leq 1$

Vậy $a+b\leq c$

Từ đó $\frac{2(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} \leq \frac{1}{2}+\frac{(a+b)^2}{2(a+b+a+b)^2} \leq \frac{5}{8}$

Vậy $P \geq \frac{3}{8} $

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=1,c=2$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống luôn diệu kì
NguyenThanhThi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post:
congvan (16-11-2012), cool hunter (10-08-2013), xiloxila (15-11-2012)
Old 15-11-2012, 01:44 PM   #29
xiloxila
+Thành Viên+
 
xiloxila's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Đến từ: Lỗ đen của vũ trụ
Bài gởi: 52
Thanks: 19
Thanked 9 Times in 8 Posts
Baì 12: Cho $x,y,z>0 $ thỏa mãn $2x+4y+7z=2xyz $ Chứng minh $x+y+z\geq \frac{15}{2} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: xiloxila, 15-11-2012 lúc 01:48 PM
xiloxila is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 15-11-2012, 02:08 PM   #30
congvan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2012
Bài gởi: 14
Thanks: 37
Thanked 7 Times in 6 Posts
Bài 6 :Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn : $a+b+c=0$ và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$. Chứng minh rằng ${{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\le \frac{1}{54}$.
Mới tham gia !!!
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi congvan View Post
Bài 13 :Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn : $a+b+c=0$ và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$. Chứng minh rằng ${{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\le \frac{1}{54}$.
Mới tham gia !!!
Xin lỗi là bài 13
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: congvan, 15-11-2012 lúc 02:10 PM Lý do: Tự động gộp bài
congvan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:23 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 118.15 k/135.25 k (12.64%)]