Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 19-08-2015, 06:01 PM   #1
phongthan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2015
Bài gởi: 4
Thanks: 1
Thanked 0 Times in 0 Posts
Bài đa thức

Cho đa thức hệ số nguyên $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.Giả sử tồn tại vô hạn cặp số nguyên $x,y$ phân biệt thỏa mãn: $xP(x)=yP(y)$. Chứng minh rằng: $P(x)=0$ có một nghiệm nguyên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
ghé thăm tôi ở:
https://www.facebook.com/pages/Mathematics-in-Olympiad-Now-and-Future/863512903730229?fref=ts
phongthan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-10-2017, 09:08 AM   #2
tikita
Administrator

 
Tham gia ngày: Jun 2012
Bài gởi: 157
Thanks: 2
Thanked 83 Times in 53 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi phongthan View Post
Cho đa thức hệ số nguyên $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.Giả sử tồn tại vô hạn cặp số nguyên $x,y$ phân biệt thỏa mãn: $xP(x)=yP(y)$. Chứng minh rằng: $P(x)=0$ có một nghiệm nguyên
Ta sẽ chứng minh bài toán cũng đúng khi thay số $3$ (bậc $3$) bằng số $2k+1$ (bậc lẻ). Kí hiệu $P(x)=a.x^{2k+1}+Q(x)$ với $(Q(x)$ có bậc bé hơn hoặc bằng $2k$). Từ giả thiết, không giảm tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại hai dãy số nguyên $(x_n)_n$ tăng và $(y_n)_n$ giảm sao cho $x_n>0,\forall n$, $y_n<0,\forall n$ và $x_nP(x_n)=y_nP(y_n),\forall n$. Ta có các kết quả sau:
  1. $\lim x_n=+\infty$, $\lim y_n=-\infty$,
  2. Do $x_nP(x_n)=y_nP(y_n),\forall n$ suy ra $\dfrac{x_n}{y_n}.\dfrac{P(x_n)}{P(y_n)}=1$ nên $\lim\dfrac{x_n}{y_n}=-1$ và $\lim\dfrac{P(x_n)}{y_n^{2k+1}}= \lim\dfrac{P(y_n)}{x_n^{2k+1}}=a$,
  3. Cũng từ giả thiết ta có $(x_n+y_n)P(x_n)=y_n((P(x_n)+P(y_n))=y_n(a(x_n^{2k +1}+y_n^{2k+1})+Q(x_n)+Q(y_n))$. Hay
    $$x_n+y_n=\frac{y_n^{2k+1}}{P(x_n)}[a\frac{x_n^{2k+1}+y_n^{2k+1}}{y_n^{2k}}+\frac{Q(x_ n)}{y_n^{2k}}+\frac{Q(y_n)}{y_n^{2k}}].$$
    Do $\lim\dfrac{y_n^{2k+1}}{P(x_n)}=\dfrac{1}{a}$ , $\lim\dfrac{x_n^{2k+1}+y_n^{2k+1}}{y_n^{2k}(x_n+y_ n)}=\dfrac{1}{2k+1}$ và các giới hạn $\lim\dfrac{Q(x_n)}{y_n^{2k}}$, $\lim\dfrac{Q(y_n)}{y_n^{2k}}$ tồn tại và hữu hạn. Nên $\lim(x_n+y_n)$ tồn tại và hữu hạn.
    Đặt $\lim(x_n+y_n)=a$, từ đây suy ra $a$ là số nguyên và tồn tại $N_0$ sao cho với mọi $n>N_0$ thì $x_n+y_n=a$. Từ đây ta có
    $$x_nP(x_n)=(a-x_n)P(a-x_n),\forall n>N_0.$$
    Hay
    $$xP(x)=(a-x)P(a-x),\forall x\in\mathbb{R},(a\in\mathbb{Z})$$
    Cho $x=0$ suy ra $P(a)=0$. Hay ta có phương trình $P(x)=0$ luôn có nghiệm nguyên.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tikita is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to tikita For This Useful Post:
MATHSCOPE (16-10-2017)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:32 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 41.42 k/45.63 k (9.22%)]