Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 01-11-2017, 02:51 PM   #1
Cẩm Lynh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2017
Bài gởi: 3
Thanks: 2
Thanked 0 Times in 0 Posts
Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng
  1. $
    \dfrac{1}{\sin A}+\dfrac{1}{\sin B}+ \dfrac{1}{\sin C} \geq \dfrac{1}{\cos \frac{A}{2}}+\dfrac{1}{\cos \frac{B}{2}}+\dfrac{1}{\cos \frac{C}{2}}
    $.
  2. $\dfrac{1}{\sin^nA}+\dfrac{1}{\sin^nB}+\dfrac{1}{ \sin^n C} \geq \dfrac{1}{\cos^n \frac{A}{2}}+\dfrac{1}{\cos^n \frac{B}{2}}+\dfrac{1}{\cos^n \frac{C}{2}}, \ n \in \mathbb{N}^*$.

------------------------------
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: 2M, 03-11-2017 lúc 01:52 PM
Cẩm Lynh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-11-2017, 02:17 PM   #2
queen669
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 6
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Cẩm Lynh View Post
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
$
\dfrac{1}{sin A}+\dfrac{1}{sin B}+ \dfrac{1}{sin C} \geq \dfrac{1}{cos \frac{A}{2}}+\dfrac{1}{cos \frac{B}{2}}+\dfrac{1}{cos \frac{C}{2}}
$
------------------------------
$\dfrac{1}{sin^nA}+\dfrac{1}{sin^nB}+\dfrac{1}{sin^ nC} \geq \dfrac{1}{cos^n \frac{A}{2}}+\dfrac{1}{cos^n \frac{B}{2}}+\dfrac{1}{cos^n \frac{C}{2}}, \ n \in \mathbb{N}^* $
Với $x;\,y\in (0;\,\pi)$ do $\sin x;\,\sin y>0$ và bất đẳng thức trung bình điều hoà nên
\[\frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\sin y}} \ge \frac{4}{{\sin x + \sin y}} = \frac{2}{{\sin \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2}}} \ge \frac{2}{{\sin \frac{{x + y}}{2}}};\;(1)\]
Với các số thực $a;\,b>0$, lại theo bất đẳng thức Bernouli ta có
\[\begin{array}{l}
{a^n} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n} + n.{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{n - 1}}\left( {a - \frac{{a + b}}{2}} \right)\\
{b^n} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n} + n.{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{n - 1}}\left( {b - \frac{{a + b}}{2}} \right)
\end{array}\]
Cộng lại ta có được
\[{a^n} + {b^n} \ge 2.{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}\quad\forall\,a;\,b>0;\;(2)\]
Kết hợp $(1)$ và $(2)$ ta có
\[\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^n}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^n}B}}} \right) \ge {\left( {\frac{{\frac{1}{{\sin A}} + \frac{1}{{\sin B}}}}{2}} \right)^n} \ge {\left( {\frac{1}{{\sin \frac{{A + B}}{2}}}} \right)^n} \ge \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{C}{2}}}\]
Đánh giá tương tự để có
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^n}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^n}B}}} \right) \ge \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{C}{2}}}\\
\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^n}B}} + \frac{1}{{{{\sin }^n}C}}} \right) \ge \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{A}{2}}}\\
\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^n}C}} + \frac{1}{{{{\sin }^n}A}}} \right) \ge \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{B}{2}}}
\end{array}\]
Cộng lại ta có điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
queen669 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-11-2017, 02:30 PM   #3
babyteen9x
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Bài gởi: 8
Thanks: 4
Thanked 1 Time in 1 Post
Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\sin^nx}$ trên $(0;\,\pi)$ có
\[f^{"}\left( x \right) = \frac{{n\left( {n + 1} \right){{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^{n + 2}}x}} + \frac{n}{{{{\sin }^n}x}} > 0\quad\forall\,x\in (0;\,\pi)\]
Vậy, $f(x)$ là hàm lồi trên $(0;\,\pi )$ nên theo bất đẳng thức tiếp tuyến ta có
\[\begin{array}{l}
f\left( A \right) \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + f'\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\left( {A - \frac{{A + B}}{2}} \right)\\
f\left( B \right) \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + f'\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\left( {B - \frac{{A + B}}{2}} \right)
\end{array}\]
Cộng lại sẽ có được
\[\frac{{f\left( A \right) + f\left( B \right)}}{2} \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \frac{1}{{{{\sin }^n}\frac{{A + B}}{2}}} = \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{C}{2}}}\]
Tương tự rồi cộng lại sẽ có điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
babyteen9x is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-11-2017, 06:42 PM   #4
ThanhhThuyy
Moderator
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 2
Thanks: 1
Thanked 0 Times in 0 Posts
Chứng minh rằng

$\sum_{\text{cyc}} \dfrac{1}{\left(\alpha \sin A+\beta\right)^n} \geq \sum \dfrac{1}{\left(\alpha \cos \frac{A}{2}+\beta\right)^n} \ (\alpha, \beta>0, n \in \mathbb{N}^*) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ThanhhThuyy is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-11-2017, 01:05 AM   #5
312cr9
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2014
Bài gởi: 10
Thanks: 3
Thanked 2 Times in 2 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ThanhhThuyy View Post
$\sum_{\text{cyc}} \dfrac{1}{\left(\alpha \sin A+\beta\right)^n} \geq \sum \dfrac{1}{\left(\alpha \cos \frac{A}{2}+\beta\right)^n} \ (\alpha, \beta>0, n \in \mathbb{N}^*) $
Bài này cũng giải hệt như hai cách giải cho bài ban đầu thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
312cr9 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:22 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 53.78 k/60.57 k (11.21%)]