Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 08-01-2018, 11:33 PM   #1
babyteen9x
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Bài gởi: 8
Thanks: 4
Thanked 1 Time in 1 Post
Bất đẳng thức với ràng buộc $abc=a+b+c$

Cho các số thực dương $a;\,b;\,c$ thoả $abc=a+b+c$. Chứng minh rằng
\[\frac{{{a^2}}}{{a + bc}} + \frac{{{b^2}}}{{b + ca}} + \frac{{{c^2}}}{{c + ab}} \ge \frac{{a + b + c}}{4}.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
babyteen9x is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-01-2018, 11:44 PM   #2
Minh_Duy
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 6
Thanks: 6
Thanked 1 Time in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi babyteen9x View Post
Cho các số thực dương $a;\,b;\,c$ thoả $abc=a+b+c$. Chứng minh rằng
\[\frac{{{a^2}}}{{a + bc}} + \frac{{{b^2}}}{{b + ca}} + \frac{{{c^2}}}{{c + ab}} \ge \frac{{a + b + c}}{4}.\]
Theo Cauchy-Schwarz có
\[LH=\frac{{{a^2}}}{{a + bc}} + \frac{{{b^2}}}{{b + ca}} + \frac{{{c^2}}}{{c + ab}} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{a + bc + b + ca + c + ab}} = \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{{a + b + c}}{{a + b + c + 1}}} \right);\quad (*).\]
Theo AM-GM có
\[a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} = 3\sqrt[3]{{ab + bc + ca}} \ge 3\sqrt[9]{{3{{\left( {abc} \right)}^2}}}.\]
Từ đó sẽ có được $\sqrt[3]{{abc}}\ge 3$ và vì thế
\[a+b+c\ge 9.\]
Điều đó sẽ dẫn đến
\[\frac{{a + b + c}}{{a + b + c + 1}} = 1 - \frac{1}{{a + b + c + 1}} \ge 1 - \frac{1}{{9 + 1}} > \frac{1}{4}.\]
Và kết hợp với khẳng đinh $(*)$ cho ta điều cần phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Minh_Duy is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Minh_Duy For This Useful Post:
vnt.hnue (09-01-2018)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:28 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 41.50 k/45.62 k (9.04%)]